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2019-2020年高三數(shù)學(xué)《圓的一般方程》教案 教材分析： 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：掌握?qǐng)A的一般方程，以及用待定系數(shù)法求圓的一般方程。 難點(diǎn)：二元二次方程與圓的一般方程的關(guān)系及求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 教學(xué)過(guò)程： 1、情境設(shè)置：?jiǎn)栴}提出 　方程表示什么圖形？方程表示什么圖形？（采用由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)知方式） 對(duì)給出的方程通過(guò)配方，化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，第一個(gè)方程為，它表示以(1，-2)為圓心，2為半徑的圓；第二個(gè)方程為，由于不存在點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足這個(gè)方程，所以它不表示任何圖形。 2、探索研究： 方程在什么條件下表示圓？ 配方得。(1)當(dāng)時(shí)，方程表示以為圓心，為半徑的圓； (2)當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn) ； (3) 當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖 形。 關(guān)于的二元二次方程 成為圓方程的充要條件是(1)和的系數(shù)相同且不等于0，即A=C0；(2)沒(méi)有這樣的二次項(xiàng)，即B=0；(3) 。 　　　對(duì)于圓的一般方程，要熟練地通過(guò)配方法，求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑。 　　　根據(jù)已知條件求圓的方程，仍然采用待定系數(shù)法，但要注意的是待定的方程是設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程還是設(shè)一般方程，這要根據(jù)已知條件而定。 3、思考交流 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程各有什么特點(diǎn)？ 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征明顯；圓的一般方程表明圓的方程是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯。圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以相互轉(zhuǎn)化。 例1：已知方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一個(gè)圓，求k的取值范圍。 分析：由二元二次方程成為圓方程的條件，得到關(guān)于k的不等式。 解：方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一個(gè)圓， 　　∴，解得 　　∴當(dāng)時(shí)，方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一個(gè)圓。 總結(jié)：在圓的一般方程中，系數(shù)D、E、F必須滿(mǎn)足。 例2：求經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A（1，－1）、B（1,4）、C（4，－2）的圓的方程。 解：設(shè)所求圓的方程為， 　　A（1，－1）、B（1,4）、C（4，－2）三點(diǎn)在圓上，代入圓的方程并化簡(jiǎn)，得 　　，解得D＝－7，E＝－3，F(xiàn)＝2 　　∴所求圓的方程為。 總結(jié)：待定系數(shù)法是求圓的方程最常見(jiàn)的方法，但是在求圓的方程時(shí)是設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程還是設(shè)一般方程，要由已知條件確定。一般地，如果由已知條件易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需要利用圓心坐標(biāo)或半徑列方程，常選用標(biāo)準(zhǔn)方程；如果已知條件與圓心坐標(biāo)、半徑無(wú)直接關(guān)系，常選用一般方程。 例3、已知線(xiàn)段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。 解析：如圖點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)A在已知圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程。建立點(diǎn)M與點(diǎn)A坐標(biāo)之間的關(guān)系，就可以建立點(diǎn)M的坐標(biāo)滿(mǎn)足的條件，求出點(diǎn)M的軌跡方程。 解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x,y）,點(diǎn)A的坐標(biāo)是 ① 上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程,即 ② 把①代入②，得 練習(xí)： 1、若（2m2+m-1）x2+(m2-m+2)y2+m+2=0的圖形表示一個(gè)圓，則m的值是＿＿＿。 2、已知ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(1,1)、B(3,1)、C(3,3)，求ABC外接圓的方程。 3、過(guò)圓外一點(diǎn)Q向圓O：作割線(xiàn)，交圓于A、B兩點(diǎn)，求弦AB中點(diǎn)M的軌跡。 小結(jié)： 1、“軌跡”與“軌跡方程”是不同的兩個(gè)概念，前者是圖形，要指出形狀、位置、大小（范圍）等特性；后者是方程（等式），不僅要給出方程，還要指出變量的取值范圍。 2、在探求點(diǎn)的軌跡時(shí)，可先用信息技術(shù)工具探究軌跡的形狀，對(duì)問(wèn)題有一個(gè)直觀(guān)的了解，然后再?gòu)谋举|(zhì)上分析軌跡形成的原因，找出解決問(wèn)題的方法，制訂合理的解題策略。 　 　 課后作業(yè) （C組題）１. 圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大值是（ ） A. B. C. D. （B組題）2將直線(xiàn)，沿軸向左平移個(gè)單位，所得直線(xiàn)與圓相切，則實(shí)數(shù)的值為（　?。? A. 　B. 　C. 　 D. （A組題）3. 已知圓和軸相切，圓心在直線(xiàn)上，且被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為，求圓的方程. 板書(shū)設(shè)計(jì) 圓的一般方程 課內(nèi)練習(xí) 例題 1、圓的一般方程為， 圓心坐標(biāo)，半徑為。 方程表示圓的充要條件是 2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系： 在圓內(nèi) 在圓上 在圓外