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2019-2020年高三數(shù)學(xué)《第98課特征值與特征向量》基礎(chǔ)教案 一．課標(biāo)解讀 掌握二階矩陣特征值與特征向量的意義，會(huì)求二階矩陣特征值與特征向量，并能解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。 二．課前預(yù)習(xí) 1.矩陣A= 的特征值和特征向量 . 2.矩陣的特征值和特征向量 . 3.設(shè)是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到倍的伸壓變換． 則矩陣的特征值及相應(yīng)的特征向量為 ；逆矩陣 ；橢圓在的作用下的新曲線(xiàn)的方程 . 4.已知 ，，則 . 5. 已知方程AX=B，其中A= ，B＝，則X＝____________ 6. 已知向量，在矩陣 作用下得到向量，則△OPP’的面積____ 7.已知盒子A中裝有3只大小和重量相同的小球，其中2只黑色的，1只白色的，盒子B中裝有5只大小和重量相同的小球，其中3只黑色的，2只白色的.假定A，B兩個(gè)盒子很難分辨，而且可以任取一個(gè)，現(xiàn)在要求先取一個(gè)盒子，那么從中摸到一只黑色小球的概率有 。 8.A，B，C三個(gè)城市的交通情況，小月想從其中某一個(gè)城市出發(fā)直達(dá)另一個(gè)城市，她可以有幾種選擇？如果他想從某一個(gè)城市出發(fā)，先經(jīng)過(guò)一個(gè)城市，再到達(dá)另一個(gè)城市，她又可以有 種選擇。 三 典型例題 例1. 給定矩陣M＝ ，N＝ 及向量， （1）證明和同時(shí)是M和N的特征向量 （2）求出M和N的特征值。 例2.已知點(diǎn)列滿(mǎn)足，且，求 例3.在軍事密碼學(xué)中，密碼發(fā)送的流程如圖所示，它的數(shù)學(xué)原理是：發(fā)送方將要傳送的信息數(shù)字化后用一個(gè)矩陣X表示(不足的元素可以補(bǔ)上0，字與字之間的空格也以0記)，在矩陣的左邊乘上一個(gè)雙方約定好的可逆方陣A，得到B=AX，則B即為傳送出去的密碼。接受方收到密碼后，只需左乘A的逆矩陣，即可得到發(fā)送出去的明碼X=B。不妨以二階矩陣為例，先將英文字母數(shù)字化，讓?zhuān)纫阎l(fā)送方傳出的密碼為7，13，39，67，雙方約定的可逆矩陣為 ，試破解發(fā)送的密碼. 明碼 X 發(fā)送方加密 密碼B 接受方解密 明碼X 例4.自然界生物種群的成長(zhǎng)受到多種因素影響，比如出生率、死亡率、資源的可利用性與競(jìng)爭(zhēng)、捕食者的獵殺乃至自然災(zāi)害等等。因此，它們和周邊環(huán)境是一種既相生又相克的生存關(guān)系。但是，如果沒(méi)有任何限制，種群也會(huì)泛濫成災(zāi).現(xiàn)假設(shè)兩個(gè)相互影響的種群X，Y隨時(shí)間段變化的數(shù)量分別為，有關(guān)系式，其中，試分析20個(gè)時(shí)段后這兩個(gè)種群的數(shù)量變化趨勢(shì). 班級(jí)：________姓名：_____________學(xué)號(hào)：_____ 四.學(xué)生作業(yè) 1.矩陣A= 的特征值和特征向量 2. 矩陣B= 的特征值和特征向量 3.投影變換矩陣M= 的特征值和特征向量為 ， = 。 4.已知一級(jí)路矩陣 表示一個(gè)網(wǎng)絡(luò)圖，它們的結(jié)點(diǎn)分別是A，B，C，試畫(huà)出一個(gè)網(wǎng)絡(luò)圖. 5.證明：若是矩陣M對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，則也是矩陣M對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量. 6.給定矩陣 (1)求A的特征值 及對(duì)應(yīng)的特征向量 ； (2)求A4B． 7.已知點(diǎn)列滿(mǎn)足且。問(wèn)當(dāng)逐漸變大時(shí)，有何變化趨勢(shì). 8. 寫(xiě)出圖示網(wǎng)絡(luò)表示的一級(jí)路矩陣和二級(jí)路矩陣(圖(2)的圓圈表示自己到自己有1條線(xiàn)路). 9.已知甲、乙兩個(gè)種群相互影響，其數(shù)量分別為，，且有關(guān)系式，試求10個(gè)時(shí)段后甲、乙兩個(gè)種群的數(shù)量. 10.某運(yùn)動(dòng)服銷(xiāo)售店經(jīng)銷(xiāo)A，B，C，D四種品牌的運(yùn)動(dòng)服，其尺寸分別有S(小號(hào))、M(中號(hào))、L(大號(hào))、XL(特大號(hào))四種，一天內(nèi)該店的銷(xiāo)售情況如下表所示(單位：件)假設(shè)不同品牌的運(yùn)動(dòng)服的利潤(rùn)是A為20元/件，B為15元/件，C為30元/件，D為25元/件，請(qǐng)問(wèn)：M號(hào)的運(yùn)動(dòng)服在這天獲得的總利潤(rùn)是多少？ 型號(hào) 品牌 A B C D S 3 2 0 1 M 5 3 4 3 L 2 4 5 5 XL 1 0 1 1