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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.5投影變換教案 湘教版選修4－2 教學(xué)目標(biāo): 一、知識(shí)與技能： 1、理解投影變換的定義及其幾何意義； 2、掌握投影變換的矩陣表達(dá)式，并能初步運(yùn)用； 3、理解可逆變換的存在條件 二、方法與過(guò)程 1、借助例題的探究，發(fā)現(xiàn)投影變換的矩陣形式，尋求逆變換的存在條件； 2、體會(huì)從具體到抽象再到具體的思想方法 三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀 1、培養(yǎng)學(xué)生探究精神和合作精神，體驗(yàn)探索的樂(lè)趣和成功的喜悅，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣； 2、讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的符號(hào)美，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)公式的美學(xué)意義。 教學(xué)重點(diǎn): 投影變換矩陣的表達(dá)式的推導(dǎo)和簡(jiǎn)單應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn)： 1、探索可逆變換的存在條件； 2、投影變換矩陣形式的生成思路。 教學(xué)過(guò)程 一、新課引入 在必修2中，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)立體幾何的平行投影，知道物體在燈光或者日光的照射下，會(huì)產(chǎn)生影子。如果把正午的太陽(yáng)光近似看作垂直向下的平行光，一排排樹(shù)木的影子會(huì)投影到各自的樹(shù)根處，而它們的正視圖可以用圖來(lái)表示。在圖中，樹(shù)木投影前后可以看作是一個(gè)平面幾何變換。 問(wèn)題：能用矩陣來(lái)刻畫(huà)這個(gè)幾何變換嗎？ 解：實(shí)際上，對(duì)平面上的任意一點(diǎn)（），它垂直投影到軸上時(shí)，橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)?，特殊地，軸上的點(diǎn)原地不動(dòng)。因此，垂直投影前后可以看作是一個(gè)幾何變換T，并且有。所以變換T對(duì)應(yīng)的矩陣為M= 二、講解新課： 1、投影變換 設(shè)平面上一條給定的直線，對(duì)平面上任意一點(diǎn)P，過(guò)P作PP`垂直于直線，與直線交于P`，則P`稱(chēng)為P在上的投影。將平面上每個(gè)點(diǎn)P變到它在上的投影的變換稱(chēng)為平面到直線上的投影變換。 在平面上建立了直角坐標(biāo)系，求平面到直線：的投影變換矩陣 解 如圖所示，設(shè)為P（）在直線上的投影為P`（）。（A，B）是直線的法向量?！危ˋ，B） 是待定系數(shù) P`（）在直線上，有 所求矩陣為 旋轉(zhuǎn)、反射、位似、伸縮變換都是將平面變到整個(gè)平面上不同的點(diǎn)。而投影變換則不同，它將整個(gè)平面變到一條直線上，而且，與直線垂直的任何一條直線上所有的點(diǎn)都被投影到直線上同一個(gè)點(diǎn)。 2、投影是否有逆變換 投影是否有逆變換？為什么？ 如圖，在任意一條垂直于的直線上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)P，P，則T將P，P變到上同一點(diǎn)P。（P是，的交點(diǎn)） 平面上任何一個(gè)變換T只能將P變到一個(gè)點(diǎn)，不可能將P同時(shí)送回到兩個(gè)不同的點(diǎn)P，P。因此T沒(méi)有逆變換。 由此可見(jiàn)，并非所有的由矩陣決定的變換都有逆變換，要使平面上的變換T有逆變換，必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件： 1、平面上不同的點(diǎn)被變換T變到不同的點(diǎn)； 2、變換T將平面變到整個(gè)平面，也就是說(shuō)：平面上每一個(gè)點(diǎn)Q都是平面上某一點(diǎn)P的像T（P）。 同時(shí)滿(mǎn)足這兩個(gè)條件的變換，稱(chēng)為可逆變換?？赡孀儞Q一定有逆變換。 如果T是由矩陣決定的變換，則變換前后的點(diǎn)的坐標(biāo)（），（）之間有關(guān)系 ① 如果對(duì)任意，將①看成以為未知數(shù)的二元一次方程都有唯一一組解，那么變換T就是可逆變換。 三、范例講解 例 設(shè)變換T是平面到直線：上的投影，求下列圖形在變換T作用下的像。 （1）直線：； （2）直線： （3）正方形OABC，其中O（0，0），A（2，1），C（，2） 解：直線方程，設(shè)變換T：P（）P`（）， 則有 ① （1）當(dāng)取遍全體實(shí)數(shù)時(shí)，點(diǎn)P（，）取遍直線上所有的點(diǎn)，將P的坐標(biāo)代入等式①得P`=T（P）的坐標(biāo) 當(dāng)取遍全體實(shí)數(shù)時(shí)，（）=（，）取遍直線上的所有的點(diǎn)。 因此，直線在直線上的投影是整條直線 （2）當(dāng)取遍全體實(shí)數(shù)時(shí)，點(diǎn)P（，）取遍直線上全體實(shí)數(shù)，P（，）的像P`（）的坐標(biāo)，P`（0，0）是原點(diǎn) 因此，直線的像為原點(diǎn)O （3）先求點(diǎn)B的坐標(biāo)。由（2，1）+（，2）=（1，3） 點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3） 將A，B，C的坐標(biāo)分別代入 ①，計(jì)算可得這三點(diǎn)的像A`，B`，C`的坐標(biāo)分別是A`（，）， B`（2，2），C`（，），點(diǎn)O的像是自己， 正方形OABC的像應(yīng)是四條邊的像OA`，A`B`，B`C`，C`O的并集，是OB`。 四、鞏固練習(xí)： 1、設(shè)變換T是平面到直線上的投影，求下列圖形在變換T的作用下的像 （1）直線；（2）直線 2、已知矩陣A=對(duì)應(yīng)的變換為T(mén)且變換后點(diǎn)的坐標(biāo)為（7，14），求原來(lái)點(diǎn)的坐標(biāo)，并判定變換是否可逆。 五、小結(jié) 1、圖形關(guān)于軸、軸的投影可以利用定義求解，也可以利用變換矩陣求解。 2、圖形關(guān)于直線的投影變換，主要是利用變換矩陣N= 3、投影變換沒(méi)有逆變換，而可逆變換一定可以求出逆變換矩陣。 六、課后作業(yè)： P24 習(xí)題5 教學(xué)反思：