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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.1.2《比較大小》教案 北師大版必修5 【教學(xué)目標(biāo)】 （1）【知識與技能目標(biāo)】 通過回憶初中內(nèi)容，結(jié)合數(shù)軸得了實數(shù)的基本性質(zhì)，能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大?。徽莆諏崝?shù)的運算性質(zhì)與大小順序間的關(guān)系。 （2）【過程方法目標(biāo)】 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，強(qiáng)化轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想的運用。 （3）【情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)】 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題的欲望，體會數(shù)學(xué)的奧妙與數(shù)學(xué)式子的結(jié)構(gòu)美、對稱美，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。 【教學(xué)重點】比較大小的基本步驟及其應(yīng)用。 【教學(xué)難點】準(zhǔn)確理解實數(shù)運算的符號法則及一些代數(shù)式的恒等變形。 【教學(xué)過程】 1、【創(chuàng)設(shè)情景】 大家先看右圖，這兩個人誰更漂亮？請說說你們的理由？ 左邊這個人再用動畫展示一下，讓學(xué)生從動畫中發(fā)現(xiàn)人的身材是否勻稱，其中有一關(guān)鍵點是比例問題。然后再給出問題的理論依據(jù)。 【理論依據(jù)】一般的人，下半身長與全身長的比值在0.57~0.60之間，當(dāng)這個比值越接近黃金分割值0.618時人的身材就越好。 2、【探究發(fā)現(xiàn)】 【探究1】為什么芭蕾舞演員在表演時，腳尖立起來給人以美的享受？ 大家能不能結(jié)合上述理論依據(jù)猜想一下理由？ 問：實際生活中，我們想追求這種美，有沒有什么簡單有效果辦法？（穿高跟鞋） 問：上述方法都是我們的猜想，能不能用數(shù)學(xué)知識來證明？ 這是一個實際問題，要用數(shù)學(xué)知識證明，必須先建立數(shù)學(xué)模型，就以穿高跟鞋為例。 已知某人下半身長為a(cm)，全身長為b(cm)，請問這個人穿上m(cm)的高跟鞋后，下半身長與全身長的比值會增加嗎？ 分析：沒穿高跟鞋時的比值為，穿高跟鞋之后的比值為，只要比較與的大小關(guān)系。 這個問題涉及到不等式知識，我們先來復(fù)習(xí)回顧不等式的的知識。 【不等式的性質(zhì)】：①若，則 ②若，，則 ③若，，則 ④若，，則（傳遞性） 注：不等式的傳遞性有很重要的作用，比如：比較， 的大小。我們可以找中間數(shù)0，其中， 【兩個實數(shù)如何比較大小】 比較大小常用它們的差與0的大小關(guān)系來確定 我們再回到上述問題，解答如下： 解：∵ 所以，穿上高跟鞋后，下半身長與全身長的比值會變大；穿上適當(dāng)?shù)母吒梢允谷说南掳肷黹L與全身長的比值接近黃金分割值，從而使得人更漂亮了。這也是女士們?yōu)槭裁聪矚g穿高跟鞋的原因。 其實藝術(shù)史上早就有這樣的例子，古希臘維納斯女神塑像及太陽神阿波羅塑像都通過故意延長雙腿，使之與身高的比值為0.618，從而創(chuàng)造藝術(shù)美之神話。 【歸納小結(jié)】 1、比較大小的基本步驟：作差→變形→判斷符號→下結(jié)論。 2、一般地，設(shè)為正實數(shù)，且，則有 【探究2】日常生活中，還有哪些實例滿足上述不等式？ （1）建筑設(shè)計規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積。但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，且這個比值越大，住宅的采光條件越好。試問：同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了？請說明理由。 通過上述兩張圖讓學(xué)生從視覺上理解課本例7所要表達(dá)的效果。 （2）糖水中加糖，糖水變甜。 3、【例題講解】 【例1】試比較與的大小 解：由于 ∴ 【練習(xí)1】已知，試比較與的大小。 解： 【練習(xí)2】設(shè)，，則a與b的大小關(guān)系為（ ） A、 B、 C、 D、與x有關(guān) 解： 【歸納小結(jié)】“變形”是作差比較大小的關(guān)鍵， “變形”的目的在于判斷差的符號，而不必考慮差的值是多少。 “變形”的常用方法有通分、因式分解、配方等。 4、【知識應(yīng)用】 【例】甲、乙兩人同時從A地出發(fā)沿同一路線走到B地，所用時間分別為t1、t2，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，且m≠n。試判斷甲、乙誰先到達(dá)B地。 解：設(shè)甲、乙所用的時間分別為t1、t2，從A地到B地的路程為S，則 甲： 乙： 故甲比乙先到B地 【練習(xí)】兩位采購員同去一家糧食銷售公司買了兩次糧食，兩次糧食的價格不同，兩位采購員的購糧方式也不同。其中，甲每次購買1000kg，乙每次購糧用去1000元錢，誰的購糧方式更合算？ 解：設(shè)前后兩次糧食的價格分別為x1、x2，甲、乙兩人購糧的平均價格為y1、y2 故乙的購糧方式更合算 5、【知識小結(jié)】 1、比較大小 （1）步 驟：作差→變形→判斷符號→下結(jié)論。 （2）關(guān)鍵點：變形是比較大小的關(guān)鍵，變形的目的在于判斷差的符號，而不必考慮差的值是多少。常用方法有通分、因式分解、配方等。 2、一般地，設(shè)為正實數(shù)，且，則有 3、應(yīng) 用：靈活地應(yīng)用比較大小的知識來解決實際生活中的問題。 6、【作業(yè)布置】 1、已知，試比較P，Q的大小。 2、已知，試比較與的大小。 3、對于同樣的距離，船在靜水中來回行駛一次所花的時間與在流水中來回行駛一次所花的時間是否相等？請說明理由。（船在靜水中的速度與在流水中的速度一致）