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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.2.1 導(dǎo)數(shù)的概念二教案 北師大選修1-1 一、教學(xué)過程： 教學(xué)環(huán)節(jié) 內(nèi) 容 師生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 一 復(fù) 習(xí) 引 入 提 出 問 題 【回顧1】 當(dāng)運(yùn)動(dòng)員從10米高臺(tái)跳水時(shí)，從騰空到進(jìn)入水面的過程中，不同時(shí)刻的速度是不同的.假設(shè)t秒后運(yùn)動(dòng)員相對(duì)地面的高度為：，問在2秒時(shí)運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度為多少？ 【回顧2】 已知曲線C是函數(shù)的圖象,求曲線上點(diǎn)P處的切線斜率. 【思考】對(duì)瞬時(shí)速度和切線的斜率兩個(gè)具體問題，解決方法上有什么共同之處？ 學(xué)生相互交流探討瞬時(shí)速度和切線的斜率兩個(gè)具體問題，解決方法上有什么共同之處. 針對(duì)新概念創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的學(xué)生熟悉的問題情境，讓學(xué)生從概念的現(xiàn)實(shí)原型，體驗(yàn)、感受直觀背景和概念間的關(guān)系，為學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)新知提供自然的生長點(diǎn). 類 比 探 索 形 成 概 念 ①歸納共性 揭示本質(zhì) 研究 對(duì)象 求解問題 求解方法 本質(zhì) 思想 具體例子 物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律 H=h(t) 物體在時(shí) 的瞬時(shí)速度 求時(shí)間 增量 求位移 增量 求平均 速度 求瞬時(shí)速度 平均速度 的極限 極限 思想 曲線 y=f(x) 曲線上P 點(diǎn)處切線的斜率 求橫坐標(biāo) 增量 求縱坐標(biāo) 增量 求割線的 斜率 求切線的斜率 割線斜率 的極限 極限 思想 一般情形 函數(shù) y=f(x) 函數(shù)在 處的變化率 ？ ？ ？ ？ ？ ？ 【師生活動(dòng)】將學(xué)生分成若干學(xué)習(xí)小組，以表格為載體為師生、生生互動(dòng)搭起積極交流的探究平臺(tái).教師巡視，鼓勵(lì)學(xué)生參與，對(duì)個(gè)別學(xué)有困難的小組加以指導(dǎo).探究后，共同歸納得出：兩個(gè)問題的解決在方法、本質(zhì)、思想上都有相同之處.一個(gè)是“位移改變量與時(shí)間改變量之比”的極限，一個(gè)是“縱坐標(biāo)改變量與橫坐標(biāo)改變量之比”的極限.如果舍去它們的具體含義，都可以概括為求平均變化率的極限. 【設(shè)計(jì)意圖】給學(xué)生創(chuàng)設(shè)探究的平臺(tái)，分析瞬時(shí)速度和切線的斜率兩個(gè)具體問題，討論解決這兩個(gè)問題的方法、本質(zhì)、思想上有什么共同之處，引導(dǎo)學(xué)生分析、觀察、歸納，打通揭示事物本質(zhì)的思維通道. 教學(xué)環(huán)節(jié) 內(nèi) 容 師生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 類 比 探 索 形 成 概 念 ②類比遷移 形成概念 【思考】考慮求一般函數(shù)y=f(x) 在點(diǎn)到+之間的平均變化率的極限問題，也就是怎樣計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)處的變化率？ 引出導(dǎo)數(shù)定義后，回歸問題情景，反思概念的“原型”解釋“切線的斜率”、“物體的瞬時(shí)速度”的本質(zhì). 引導(dǎo)學(xué)生利用求瞬時(shí)速度的方法和思想類比探究，猜想得出函數(shù)在點(diǎn)處的變化率 =,并對(duì)猜想的合理性進(jìn)行分析后，引出 定義1：（函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)及其導(dǎo)數(shù)） 用具體到抽象，特殊到一般的思維方式，利用瞬時(shí)速度進(jìn)行類比遷移，自然引出函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)和導(dǎo)數(shù)的概念. 由具體到抽象再回到具體的過程，感知上升到了理性，強(qiáng)化了對(duì)概念的理解. 類 比 探 索 形 成 概 念 ③剖析概念 加深理解 【探討1】 怎樣判斷函數(shù)在一點(diǎn)是否可導(dǎo)？ 判斷函數(shù)在點(diǎn)處是否可導(dǎo) 轉(zhuǎn)化 判斷極限 是否存在 【探討2】導(dǎo)數(shù)是什么？ 描述角度 本 質(zhì) 文字語言 瞬時(shí)變化率 符號(hào)語言 圖形語言 （切線斜率） 組織學(xué)生閱讀“導(dǎo)數(shù)”定義，抓住定義中的關(guān)鍵詞“可導(dǎo)”與“導(dǎo)數(shù)”交流探討，然后通過師生互動(dòng)挖掘這些概念之間的深層含義. 分析導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)后，同時(shí)簡單提及導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的時(shí)代背景. 引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)語言（文字語言、符號(hào)語言 、圖形語言）的理解、把握、運(yùn)用為切入點(diǎn)去揭示概念的內(nèi)涵與外延，提高學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀和自主學(xué)習(xí)的能力. 讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的熏陶，了解導(dǎo)數(shù)的文化價(jià)值、科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值. 教學(xué)環(huán) 節(jié) 內(nèi) 容 師生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 類 比 探 索 形 成 概 念 【探討3】求導(dǎo)數(shù)的方法是什么？ 【例1】求函數(shù)y=x2在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù). 讓學(xué)生類比瞬時(shí)速度的問題，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義歸納出求函數(shù)在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的方法步驟： （1）求函數(shù)的增量； （2）求平均變化率； （3）取極限，得導(dǎo)數(shù). 學(xué)生動(dòng)手解答，老師強(qiáng)調(diào)符號(hào)語言的規(guī)范使用，對(duì)諸如忘寫括號(hào)的現(xiàn)象加以糾正. 用定義法求導(dǎo)數(shù)是本課的重點(diǎn)之一.有了可導(dǎo)這個(gè)邏輯基礎(chǔ)，導(dǎo)數(shù)成為可導(dǎo)的自然結(jié)果，求導(dǎo)數(shù)的方法則是對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解與應(yīng)用.讓學(xué)生積極主動(dòng)參與，進(jìn)行有意義的建構(gòu)，有利于重點(diǎn)知識(shí)的掌握. 本題是教材上的一道例題.在學(xué)生建立起導(dǎo)數(shù)概念，明確用定義求導(dǎo)數(shù)的方法之后,進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練, 滲透算法思想，加深對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解，強(qiáng)化對(duì)重點(diǎn)知識(shí)的鞏固. 引 申 拓 展 發(fā) 展 概 念 利用例1繼續(xù)設(shè)問，函數(shù)在處可導(dǎo)，那么，，這些點(diǎn)也可導(dǎo)嗎？從而引申拓展出定義2：（函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)） 【探討1】函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么對(duì)于每一個(gè)確定的值,都有唯一確定的導(dǎo)數(shù)值與之相對(duì)應(yīng)，這樣在開區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)映射嗎？ 【探討2】存在的這個(gè)映射是否構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)呢？若能，新函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則分別是什么呢？ 師生互動(dòng)，共同探討歸納函數(shù)在開區(qū)間的每一點(diǎn)可導(dǎo)，每一點(diǎn)就有確定的唯一的導(dǎo)數(shù).這樣在開區(qū)間內(nèi)構(gòu)成一個(gè)特殊的映射，這里的映射是數(shù)集到數(shù)集的映射，就是函數(shù)，我們把這個(gè)新函數(shù)叫做在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)。它的定義域是 通過層層展開的探討，激活學(xué)生知識(shí)思維的“最近發(fā)展區(qū)”，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)將新問題與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中函數(shù)的相關(guān)知識(shí)相聯(lián)系，自然引入導(dǎo)函數(shù)概念，從而完成從函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)的兩次拓展. 教學(xué)環(huán) 節(jié) 內(nèi) 容 師生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 引 申 拓 展 發(fā) 展 概 念 【探討3】怎樣求新函數(shù)的解析式？ 探討后引出定義3：（函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)） 【例2】已知y=，求（1）y′;（2）y′|x=2. 開區(qū)間，對(duì)應(yīng)法則是對(duì)開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)求導(dǎo).運(yùn)用函數(shù)思想，只要把求一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)替換成，就可以求出導(dǎo)函數(shù)的解析式. 分學(xué)習(xí)小組讓學(xué)生動(dòng)腦思考，動(dòng)手“操作”，相互交流。書面總結(jié)出兩小問的區(qū)別與聯(lián)系，選出代表作品用投影儀全班交流.完善后，屏幕顯示形成共識(shí)： 【區(qū)別】（1）函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，是在點(diǎn)處的變化率，是一個(gè)常數(shù)； （2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是對(duì)開區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)而言，是在開區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)的變化率，是一個(gè)函數(shù). 【聯(lián)系】一般而言，在處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在=處的函數(shù)值，表示為，這也是求的一種方法. 本例共兩個(gè)小問，第(1)小問是教材上的一道例題, 第(2)小問是補(bǔ)充題.兩問都是求導(dǎo)數(shù)，但它們有本質(zhì)上的區(qū)別！學(xué)生容易產(chǎn)生混淆.通過此題讓學(xué)生辨清“函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)”、“函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)”與“導(dǎo)數(shù)”三者的關(guān)系. 教學(xué) 環(huán)節(jié) 內(nèi) 容 設(shè)計(jì)意圖 練 習(xí) 反 饋 鞏 固 概 念 練習(xí)： 1．已知y=x3－2x+1，求y′，y′|x=2. 2．設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，則等于 A. f′(x0) B.0 C.2 f′(x0) D.－2 f′(x0) 3． 已知一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的位移S（m）與時(shí)間t（s）滿足關(guān)系S（t）＝-2t2+5t （1）求物體第5秒和第6秒的瞬時(shí)速度； （2）求物體在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度； （3）求物體t時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的加速度，并判斷物體作什么運(yùn)動(dòng)？ 設(shè)計(jì)練習(xí)1，鞏固求導(dǎo)方法； 設(shè)計(jì)練習(xí)2，通過適當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練，揭示概念的內(nèi)涵，提高學(xué)生的模式識(shí)別的能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和靈活性；設(shè)計(jì)練習(xí)3，體驗(yàn)實(shí)際應(yīng)用，展示概念的外延，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來源于生活并應(yīng)用于生活.通過練習(xí)，反饋學(xué)生對(duì)知識(shí)技能的掌握情況，以便及時(shí)調(diào)節(jié)教學(xué)，更好的達(dá)成教學(xué)目標(biāo). 小 結(jié) 整 理 形 成 系 統(tǒng) ①知識(shí)層面 ： ②方法層面：用定義求導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟 ③思想層面：極限思想、函數(shù)思想、類比思想、轉(zhuǎn)化思想 ④應(yīng)用層面：舉出生活中與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的實(shí)例（涉及變化率問題的問題可以考慮用導(dǎo)數(shù)解決）. 引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)、方法、思想和應(yīng)用四個(gè)層面進(jìn)行小結(jié)，理清知識(shí)結(jié)構(gòu)，提煉數(shù)學(xué)方法和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí). 分 層 作 業(yè) 深 化 概 念 必做題：1.教材習(xí)題3.1 1、2、3、4、5 2.已知曲線C是函數(shù)的圖象 （1）求點(diǎn)A(1,3)處的切線的斜率 （2）求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù) 選做題： 1.有條件的同學(xué)上網(wǎng)查閱有關(guān)微積分產(chǎn)生的時(shí)代背景和歷史意義的資料并交流討論. 彈性的分層作業(yè)，照顧到各種層次的學(xué)生.補(bǔ)充的必做3，為下節(jié)課研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義打下伏筆.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，設(shè)計(jì)成選作題，既不影響主體知識(shí)建構(gòu),又能使學(xué)有余力的學(xué)生得到進(jìn)一步的發(fā)展.利用網(wǎng)絡(luò)，便于學(xué)生開展自主學(xué)習(xí)，拓展學(xué)習(xí)方式和平臺(tái). 二、板書設(shè)計(jì)（板書附后） 【設(shè)計(jì)意圖】本課使用了電腦投影屏幕，黑板上的板書保留勾勒本課知識(shí)發(fā)展的主要線索，呈現(xiàn)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，用彩色粉筆突出重點(diǎn)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)新信息的納入，同時(shí)對(duì)新學(xué)的符號(hào)語言的規(guī)范使用進(jìn)行示范. 板書設(shè)計(jì)： 辨析： f ′(x0) 與 f ′(x) 課堂小結(jié) 函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 定義1 定義2 定義3 函數(shù)在點(diǎn)x可導(dǎo)及導(dǎo)數(shù) 函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) 例1．。。。。。。。 電子屏幕 例2.。。。。。。。。。。 課堂練習(xí) 導(dǎo)數(shù)的概念（第三課時(shí)） 布置作業(yè) 三、【教學(xué)反思】 一個(gè)概念的形成是螺旋式上升的，對(duì)新概念的抽象不僅是對(duì)結(jié)果的抽象，更是對(duì)方法和過程的抽象.本課設(shè)計(jì)上，把數(shù)學(xué)知識(shí)的“學(xué)術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)課堂的“教學(xué)形態(tài)”，返璞歸真，從兩個(gè)反應(yīng)概念現(xiàn)實(shí)原型的具體問題出發(fā)，引出函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)再到開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)完整的數(shù)學(xué)概念發(fā)生、發(fā)展的探究過程.提出問題、觀察歸納、概括抽象，拓展概念讓學(xué)生充分經(jīng)歷了具體到抽象，特殊到一般，感性到理性，直觀到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹R(shí)再發(fā)現(xiàn)過程，教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者創(chuàng)設(shè)機(jī)會(huì)和空間，激活學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，倡導(dǎo)學(xué)生積極參與，自主探究，發(fā)現(xiàn)知識(shí)，培養(yǎng)能力.把可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，設(shè)計(jì)成彈性化的選作題，既不影響主體知識(shí)建構(gòu),又能使學(xué)有余力的學(xué)生得到進(jìn)一步的發(fā)展.以上，體現(xiàn)了以學(xué)生的發(fā)展為本，不是教教材而是用教材教；教學(xué)中不是重結(jié)論，而是重過程和方法；不是采用接受式的學(xué)習(xí)方式，而是采用探究、交流的方式；不是統(tǒng)一要求，而是因材施教尊重個(gè)體差異.這樣的設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，促進(jìn)了個(gè)性化學(xué)習(xí)，更好地實(shí)現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo).