2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 10雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課時(shí)作業(yè) 新人教A版選修2-1 1．平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)F1(－5,0)和F2(5,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝6，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是(　　) A.－＝1(x≤－4) B.－＝1(x≤－3) C.－＝1(x≥4) D.－＝1(x≥3) 解析：由已知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且a＝3，c＝5，b2＝c2－a2＝16， ∴所求軌跡方程為－＝1(x≥3)． 答案：D 2．已知雙曲線－＝1上的點(diǎn)P到(5,0)的距離為15，則點(diǎn)P到點(diǎn)(－5,0)的距離為(　　) A．7 B．23 C．5或25 D．7或23 解析：設(shè)F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)， 則由雙曲線的定義知：||PF1|－|PF2||＝2a＝8， 而|PF2|＝15，解得|PF1|＝7或23. 答案：D 3．雙曲線－＝1的焦距為10，則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A．－16　　B．4 C．16 D．81 解析：∵2c＝10，∴c2＝25. ∴9＋m＝25，∴m＝16. 答案：C 4．在方程mx2－my2＝n中，若mn＜0，則方程表示的曲線是(　　) A．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 B．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線 C．焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 D．焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線 解析：方程mx2－my2＝n可化為－＝1. ∵mn＜0，∴＜0，－＞0. 方程又可化為－＝1， ∴方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線． 答案：D 5．已知雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，A，B在雙曲線的右支上，線段AB經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)F2，|AB|＝m，F(xiàn)1為另一焦點(diǎn)，則△ABF1的周長為(　　) A．2a＋2m B．4a＋2m C．a(chǎn)＋m D．2a＋4m 解析：由雙曲線定義得|AF1|－|AF2|＝2a， |BF1|－|BF2|＝2a， ∴|AF1|＋|BF1|－(|AF2|＋|BF2|)＝4a. ∴|AF1|＋|BF1|＝4a＋m. ∴△ABF1的周長是4a＋2m. 答案：B 6．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2＝60，則|PF1||PF2|等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：在△PF1F2中， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1||PF2|， 即(2)2＝22＋|PF1||PF2|， 解得|PF1||PF2|＝4. 答案：B 7．若雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，則m＝__________. 解析：由已知a2＝m，b2＝3，∴m＋3＝9.∴m＝6. 答案：6 8．一動(dòng)圓過定點(diǎn)A(－4,0)，且與定圓B：(x－4)2＋y2＝16相外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為________． 解析：設(shè)動(dòng)圓圓心為點(diǎn)P，則|PB|＝|PA|＋4，即|PB|－|PA|＝4＜|AB|＝8. ∴點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，且2a＝4，a＝2的雙曲線的左支． 又∵2c＝8，∴c＝4. ∴b2＝c2－a2＝12. ∴動(dòng)圓圓心的軌跡方程為－＝1(x≤－2)． 答案：－＝1(x≤－2) 9．雙曲線－＝1上有一點(diǎn)P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的焦點(diǎn)，且∠F1PF2＝，則△PF1F2的面積為________． 解析： ∵ ∴|PF1||PF2|＝12， ∴S＝|PF1||PF2|sin＝3. 答案：3 10．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F1(－，0)，點(diǎn)P位于雙曲線上，線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解：設(shè)雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)． 因?yàn)閏＝，c2＝a2＋b2，所以b2＝5－a2，a2＜5. 所以－＝1. 由于線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(，4)， 代入雙曲線方程得－＝1，解得a2＝1(a2＝25舍去)． 故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1. 11．已知F是雙曲線－＝1的左焦點(diǎn)，點(diǎn)A(1,4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值為________． 解析：設(shè)右焦點(diǎn)為F′，依題意， |PF|＝|PF′|＋4， ∴|PF|＋|PA|＝|PF′|＋4＋|PA|＝|PF′|＋|PA|＋4≥|AF′|＋4＝5＋4＝9. 答案：9 12．已知方程＋＝1表示的曲線為C.給出以下四個(gè)判斷： ①當(dāng)1＜t＜4時(shí)，曲線C表示橢圓；②當(dāng)t＞4或t＜1時(shí)，曲線C表示雙曲線；③若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則1＜t＜；④若曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則t＞4. 其中判斷正確的是________(只填正確命題的序號(hào))． 解析：①錯(cuò)誤，當(dāng)t＝時(shí)，曲線C表示圓；②正確，若C為雙曲線，則(4－t)(t－1)＜0，∴t＜1或t＞4；③正確，若C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則4－t＞t－1＞0.∴1＜t＜；④正確，若曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則，∴t＞4. 答案：②③④ 13．動(dòng)圓C與定圓C1：(x＋3)2＋y2＝9，C2：(x－3)2＋y2＝1都外切，求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程． 解： 如圖所示，由題意，得定圓圓心C1(－3,0)，C2(3,0)，半徑r1＝3，r2＝1，設(shè)動(dòng)圓圓心為C(x，y)，半徑為r，則|CC1|＝r＋3，|CC2|＝r＋1. 兩式相減，得|CC1|－|CC2|＝2， ∴C點(diǎn)的軌跡為以C1，C2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線的右支． ∵a＝1，c＝3，∴b2＝c2－a2＝8.∴方程為x2－＝1(x≥1)． 14．如圖，已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)中，半焦距c＝2a，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上的點(diǎn)，∠F1PF2＝60，＝12，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解：由題意，由于||PF1|－|PF2||＝2a，在△F1PF2中， 由余弦定理，得 cos60＝＝ ∴|PF1||PF2|＝4(c2－a2)＝4b2. ∴＝|PF1||PF2|sin60＝2b2＝b2. ∴b2＝12，b2＝12. 由c＝2a，c2＝a2＋b2，得a2＝4. ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 15．若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(－2，0)和(2，0)，且該雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P(3,1)． (1)求雙曲線的方程； (2)若F是雙曲線的右焦點(diǎn)，Q是雙曲線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)F，Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M，且＋2＝0，求直線l的斜率． 解析： (1)依題意，得，解得. 于是，所求雙曲線的方程為－＝1. (2)∵點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2，0)，∴可設(shè)直線l的方程為y＝k(x－2)，令x＝0，得y＝－2k，即M(0，－2k)． 設(shè)Q(x0，y0)，由＋2＝0，得(x0，y0＋2k)＋2(2－x0，－y0)＝(0,0)， 即(4－x0,2k－y0)＝(0,0)，故. 又Q是雙曲線上的一點(diǎn)，∴－＝1， 即－＝1，解得k2＝，∴k＝. 故直線l的斜率為.