2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 10雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課時(shí)作業(yè) 新人教A版選修2-1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 10雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課時(shí)作業(yè) 新人教A版選修2-1.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 10雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課時(shí)作業(yè) 新人教A版選修2-1
1.平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)F1(-5,0)和F2(5,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|=6,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是( )
A.-=1(x≤-4)
B.-=1(x≤-3)
C.-=1(x≥4)
D.-=1(x≥3)
解析:由已知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,且a=3,c=5,b2=c2-a2=16,
∴所求軌跡方程為-=1(x≥3).
答案:D
2.已知雙曲線-=1上的點(diǎn)P到(5,0)的距離為15,則點(diǎn)P到點(diǎn)(-5,0)的距離為( )
A.7 B.23 C.5或25 D.7或23
解析:設(shè)F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0),
則由雙曲線的定義知:||PF1|-|PF2||=2a=8,
而|PF2|=15,解得|PF1|=7或23.
答案:D
3.雙曲線-=1的焦距為10,則實(shí)數(shù)m的值為( )
A.-16 B.4 C.16 D.81
解析:∵2c=10,∴c2=25.
∴9+m=25,∴m=16.
答案:C
4.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,則方程表示的曲線是( )
A.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
B.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線
C.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓
D.焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線
解析:方程mx2-my2=n可化為-=1.
∵mn<0,∴<0,->0.
方程又可化為-=1,
∴方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線.
答案:D
5.已知雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0),A,B在雙曲線的右支上,線段AB經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)F2,|AB|=m,F(xiàn)1為另一焦點(diǎn),則△ABF1的周長為( )
A.2a+2m B.4a+2m
C.a(chǎn)+m D.2a+4m
解析:由雙曲線定義得|AF1|-|AF2|=2a,
|BF1|-|BF2|=2a,
∴|AF1|+|BF1|-(|AF2|+|BF2|)=4a.
∴|AF1|+|BF1|=4a+m.
∴△ABF1的周長是4a+2m.
答案:B
6.已知F1,F(xiàn)2為雙曲線C:x2-y2=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,∠F1PF2=60,則|PF1||PF2|等于( )
A.2 B.4
C.6 D.8
解析:在△PF1F2中,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1||PF2|,
即(2)2=22+|PF1||PF2|,
解得|PF1||PF2|=4.
答案:B
7.若雙曲線-=1的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),則m=__________.
解析:由已知a2=m,b2=3,∴m+3=9.∴m=6.
答案:6
8.一動(dòng)圓過定點(diǎn)A(-4,0),且與定圓B:(x-4)2+y2=16相外切,則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為________.
解析:設(shè)動(dòng)圓圓心為點(diǎn)P,則|PB|=|PA|+4,即|PB|-|PA|=4<|AB|=8.
∴點(diǎn)P的軌跡是以A,B為焦點(diǎn),且2a=4,a=2的雙曲線的左支.
又∵2c=8,∴c=4.
∴b2=c2-a2=12.
∴動(dòng)圓圓心的軌跡方程為-=1(x≤-2).
答案:-=1(x≤-2)
9.雙曲線-=1上有一點(diǎn)P,F(xiàn)1,F(xiàn)2是雙曲線的焦點(diǎn),且∠F1PF2=,則△PF1F2的面積為________.
解析:
∵
∴|PF1||PF2|=12,
∴S=|PF1||PF2|sin=3.
答案:3
10.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F1(-,0),點(diǎn)P位于雙曲線上,線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
解:設(shè)雙曲線方程為-=1(a>0,b>0).
因?yàn)閏=,c2=a2+b2,所以b2=5-a2,a2<5.
所以-=1.
由于線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),則P點(diǎn)坐標(biāo)為(,4),
代入雙曲線方程得-=1,解得a2=1(a2=25舍去).
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1.
11.已知F是雙曲線-=1的左焦點(diǎn),點(diǎn)A(1,4),P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn),則|PF|+|PA|的最小值為________.
解析:設(shè)右焦點(diǎn)為F′,依題意,
|PF|=|PF′|+4,
∴|PF|+|PA|=|PF′|+4+|PA|=|PF′|+|PA|+4≥|AF′|+4=5+4=9.
答案:9
12.已知方程+=1表示的曲線為C.給出以下四個(gè)判斷:
①當(dāng)1<t<4時(shí),曲線C表示橢圓;②當(dāng)t>4或t<1時(shí),曲線C表示雙曲線;③若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則1<t<;④若曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,則t>4.
其中判斷正確的是________(只填正確命題的序號(hào)).
解析:①錯(cuò)誤,當(dāng)t=時(shí),曲線C表示圓;②正確,若C為雙曲線,則(4-t)(t-1)<0,∴t<1或t>4;③正確,若C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則4-t>t-1>0.∴1<t<;④正確,若曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,則,∴t>4.
答案:②③④
13.動(dòng)圓C與定圓C1:(x+3)2+y2=9,C2:(x-3)2+y2=1都外切,求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程.
解:
如圖所示,由題意,得定圓圓心C1(-3,0),C2(3,0),半徑r1=3,r2=1,設(shè)動(dòng)圓圓心為C(x,y),半徑為r,則|CC1|=r+3,|CC2|=r+1.
兩式相減,得|CC1|-|CC2|=2,
∴C點(diǎn)的軌跡為以C1,C2為焦點(diǎn),實(shí)軸長為2的雙曲線的右支.
∵a=1,c=3,∴b2=c2-a2=8.∴方程為x2-=1(x≥1).
14.如圖,已知雙曲線-=1(a>0,b>0)中,半焦距c=2a,F(xiàn)1,F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn),P為雙曲線上的點(diǎn),∠F1PF2=60,=12,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
解:由題意,由于||PF1|-|PF2||=2a,在△F1PF2中,
由余弦定理,得
cos60==
∴|PF1||PF2|=4(c2-a2)=4b2.
∴=|PF1||PF2|sin60=2b2=b2.
∴b2=12,b2=12.
由c=2a,c2=a2+b2,得a2=4.
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.
15.若雙曲線-=1(a>0,b>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-2,0)和(2,0),且該雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P(3,1).
(1)求雙曲線的方程;
(2)若F是雙曲線的右焦點(diǎn),Q是雙曲線上的一點(diǎn),過點(diǎn)F,Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M,且+2=0,求直線l的斜率.
解析:
(1)依題意,得,解得.
于是,所求雙曲線的方程為-=1.
(2)∵點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0),∴可設(shè)直線l的方程為y=k(x-2),令x=0,得y=-2k,即M(0,-2k).
設(shè)Q(x0,y0),由+2=0,得(x0,y0+2k)+2(2-x0,-y0)=(0,0),
即(4-x0,2k-y0)=(0,0),故.
又Q是雙曲線上的一點(diǎn),∴-=1,
即-=1,解得k2=,∴k=.
故直線l的斜率為.