2019-2020年高中數(shù)學 第2章 圓錐曲線與方程 9直線與橢圓的位置關系課時作業(yè) 新人教A版選修2-1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學 第2章 圓錐曲線與方程 9直線與橢圓的位置關系課時作業(yè) 新人教A版選修2-1 1.已知F1、F2是橢圓的兩個焦點,滿足=0的點M總在橢圓內(nèi)部,則橢圓離心率的取值范圍是( ) A. (0,1) B. C. D. 解析:依題意得,c<b,即c2<b2,c2<a2-c2,2c2<a2,故離心率e=<, 又0<e<1,∴0<<. 答案:C 2.若直線y=kx+2與橢圓+=1相切,則斜率k的值是( ) A. B.- C. D. 解析:把y=kx+2代入+=1得,(3k2+2)x2+12kx+6=0,因為直線與橢圓相切,∴Δ=(12k)2-4(3k2+2)6=0,解得k=. 答案:C 3.已知橢圓+=1(a>b>0)的左焦點為F,右頂點為A,點B在橢圓上,且BF⊥x軸,直線AB交y軸于點P.若=2,則橢圓的離心率是( ) A. B. C. D. 解析:由題意知, F(-c,0),A(a,0),B. ∵BF⊥x軸,∴=. 又∵=2,∴=2即e==. 答案:D 4.過橢圓x2+2y2=4的左焦點F作傾斜角為的弦AB,則弦AB的長為( ) A. B. C. D. 解析:橢圓可化為+=1,∴F(-,0), 又∵直線AB的斜率為, ∴直線AB為y=x+ 由得7x2+12x+8=0 ∴|AB|==. 答案:B 5.過橢圓C:+=1的左焦點F作傾斜角為60的直線l與橢圓C交于A、B兩點,則+等于( ) A. B. C. D. 解析:由已知得直線l:y=(x+1). 聯(lián)立, 可得A(0,),B, 又F(-1,0),∴|AF|=2,|BF|=, ∴+=. 答案:A 6.橢圓mx2+ny2=1與直線y=1-x交于M,N兩點,過原點與線段MN中點所在直線的斜率為,則的值是( ) A. B. C. D. 解析:由消去y得(m+n)x2-2nx+n-1=0 設M(x1,y1),N(x2,y2) 則x1+x2=,y1+y2= ∴MN的中點為P 由題意知,kOP=∴=. 答案:A 7.已知點M(,0),直線y=k(x+)與橢圓+y2=1相交于A,B兩點,則△ABM的周長為________. 解析:由題意,橢圓+y2=1中a=1,b=1,c=, ∴點M(,0)為橢圓+y2=1的右焦點, 直線y=k(x+)過橢圓的左焦點, ∴由橢圓的定義,可得△ABM的周長為4a=42=8.故答案為8. 答案:8 8.已知以F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0)為焦點的橢圓與直線x+y+4=0有且僅有一個公共點,則橢圓的長軸長為________. 解析:由題意可設橢圓方程+=1, 聯(lián)立直線與橢圓方程,由Δ=0得a=. 答案:2 9.若直線y=2x+b與橢圓+y2=1無公共點,則b的取值范圍為________. 解析:由得+(2x+b)2=1. 整理得17x2+16bx+4b2-4=0. Δ=(16b)2-417(4b2-4)<0, 解得b>或b<-. 答案:(-∞,-)∪(,+∞) 10.過橢圓+=1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A,B兩點,O為坐標原點,求△OAB的面積. 解:橢圓的右焦點為F(1,0), ∴l(xiāng)AB:y=2x-2. 設A(x1,y1),B(x2,y2), 由 得3x2-5x=0, ∴x=0或x=, ∴A(0,-2),B, ∴S△AOB=|OF|(|yB|+|yA|)=1=. B組 能力提升 11.中心在原點,焦點坐標為(0,5)的橢圓被直線3x-y-2=0截得弦的中點的橫坐標為,則橢圓方程為________. 解析:橢圓焦點在y軸上,可設方程為+=1(a>b>0) 設直線3x-y-2=0交橢圓于A(x1,y1), B(x2,y2)兩點,則x1+x2=1,y1+y2=3(x1+x2)-4=-1,且 ①-②得+=0, =-, ∴-=-, ====3. ∴a2=75,b2=25. ∴橢圓方程為+=1. 答案:+=1 12.若直線y=kx+1與曲線x=有兩個不同的交點,則k的取值范圍是________. 解析:由x=,得x2+4y2=1(x≥0), 又∵直線y=kx+1過定點(0,1), 故問題轉(zhuǎn)化為過定點(0,1)的直線與橢圓在y軸右側(cè)的部分有兩個公共點, 當直線與橢圓(右側(cè)部分)相切時, k=-,則相交時k<-. 答案:(-∞,-) 13.已知橢圓C1:+y2=1,橢圓C2以C1的長軸為短軸,且與C1有相同的離心率. (1)求橢圓C2的方程; (2)設O為坐標原點,點A,B分別在橢圓C1和C2上,=2,求直線AB的方程. 解析: (1)由已知可設橢圓C2的方程為+=1(a>2). 其離心率為,故=,則a=4, 故橢圓C2的方程為+=1. (2)法一:A、B兩點的坐標分別記為(xA,yA),(xB,yB), 由=2及(1)知,O,A,B三點共線且點A,B不在y軸上, 因此可設直線AB的方程為y=kx. 將y=kx代入+y2=1中, 得(1+4k2)x2=4,所以x=, 將y=kx代入+=1中, 得(4+k2)x2=16,所以x=, 又由=2得x=4x, 即=, 解得k=1,故直線AB的方程為y=x或y=-x. 法二:A、B兩點的坐標分別記為(xA,yA),(xB,yB), 由=2及(1)知,O,A,B三點共線且點A,B不在y軸上, 因此可設直線AB的方程為y=kx. 將y=kx代入+y2=1中, 得(1+4k2)x2=4, 所以x=,由=2 得x=,y=, 將x,y代入+=1中, 得=1,即4+k2=1+4k2,解得k=1. 故直線AB的方程為y=x或y=-x. 14.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M,N. (1)求橢圓C的方程. (2)當△AMN的面積為時,求k的值. 解析: (1)由題意得解得b=. 所以橢圓C的方程為+=1. (2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. 設點M,N的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),則 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2=,x1x2=. 所以|MN|===. 又因為點A(2,0)到直線y=k(x-1)的距離d=, 所以△AMN的面積為 S=|MN|d=. 由=,解得k=1. 15.已知橢圓+=1(a>b>0),點P在橢圓上. (1)求橢圓的離心率; (2)設A為橢圓的左頂點,O為坐標原點,若點Q在橢圓上且滿足|AQ|=|AO|,求直線OQ的斜率的值. 解析: (1)因為點P在橢圓上,故+=1,可得=. 于是e2==1-=,所以橢圓的離心率e=. (2)設直線OQ的斜率為k,則其方程為y=kx. 設點Q的坐標為(x0,y0). 由條件得消去y0并整理得x=.?、? 由|AQ|=|AO|,A(-a,0)及y0=kx0得,(x0+a)2+k2x=a2, 整理得(1+k2)x+2ax0=0. 而x0≠0,故x0=. 代入①,整理得(1+k2)2=4k2+4. 由(1)知=,故(1+k2)2=k2+4, 即5k4-22k2-15=0,可得k2=5. ∴k=,所以直線OQ的斜率為.- 配套講稿:
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