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2019-2020年高中數(shù)學 第二章 統(tǒng)計 2.1 隨機抽樣 2.1.1 簡單隨機抽樣教學案 新人教A版必修3
預習課本P34～45，思考并完成以下問題
(1)如何求a，b，c的最大公約數(shù)？
(2)如何求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)？
1．輾轉(zhuǎn)相除法
(1)輾轉(zhuǎn)相除法，又叫歐幾里得算法，是一種求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的古老而有效的算法．
(2)輾轉(zhuǎn)相除法的算法步驟：
第一步，給定兩個正整數(shù)m，n.
第二步，計算m除以n所得的余數(shù)r.
第三步，m＝n，n＝r.
第四步，若r＝0，則m，n的最大公約數(shù)等于m；否則，返回第二步．
2．更相減損術(shù)
(1)更相減損術(shù)是我國古代數(shù)學專著《九章算術(shù)》中介紹的一種求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的算法．
(2)其基本過程是：
第一步，任意給定兩個正整數(shù)，判斷它們是否都是偶數(shù)．若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步．
第二步，以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)，繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)(等數(shù))或這個數(shù)與約簡的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù)．
[點睛]
輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別與聯(lián)系
兩種方法
輾轉(zhuǎn)相除法
更相減損術(shù)
計算法則
除法
減法
終止條件
余數(shù)為0
減數(shù)與差相等
最大公約數(shù)的選取
最后一步中的除數(shù)
最后一步中的減數(shù)
計算特點
步驟較少，運算復雜
步驟較多，運算簡單
相同點
同為求兩個正整數(shù)最大公約數(shù)的方法，都是遞歸過程
3．秦九韶算法
把一個n次多項式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改寫成如下形式：f(x)＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.求多項式的值時，首先計算最內(nèi)層括號內(nèi)一次多項式的值，即v1＝anx＋an－1，然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…，vn＝vn－1x＋a0，這種求n次多項式f(x)的值的方法叫秦九韶算法．
1．用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù)時，需做減法的次數(shù)為( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：選C (98,63)→(35,63)→(35,28)→(7,28)→(7,21)→(7,14)→(7,7)，∴共進行6次減法．
2．用“輾轉(zhuǎn)相除法”求得168與486的最大公約數(shù)是( )
A．3 B．4
C．6 D．16
解析：選C 486＝1682＋150,168＝1501＋18,150＝188＋6,18＝36，故168與486的最大公約數(shù)為6.
3．有關(guān)輾轉(zhuǎn)相除法下列說法正確的是( )
A．它和更相減損之術(shù)一樣是求多項式值的一種方法
B．基本步驟是用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到除式m＝nq＋r，直至r
77，所以210(6)>85(9)．
十進制數(shù)轉(zhuǎn)化為其他進制數(shù)的方法步驟
[活學活用]
(1)將101 111 011(2)轉(zhuǎn)化為十進制的數(shù)；
(2)將235(7)轉(zhuǎn)化為十進制的數(shù)；
(3)將137(10)轉(zhuǎn)化為六進制的數(shù)；
(4)將53(8)轉(zhuǎn)化為二進制的數(shù)．
解：(1)101 111 011(2)＝128＋027＋126＋125＋124＋123＋022＋121＋120＝379(10)．
(2)235(7)＝272＋371＋570＝124(10)．
(3)
∴137(10)＝345(6)．
(4)53(8)＝581＋380＝43(10)．
∴53(8)＝101 011(2)．
[層級一 學業(yè)水平達標]
1．用輾轉(zhuǎn)相除法求294和84的最大公約數(shù)時，需要做除法運算的次數(shù)是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選B 294＝843＋42,84＝422，故需要做2次除法運算．
2．三位四進制數(shù)中的最大數(shù)等于十進制數(shù)的( )
A．63 B．83
C．189 D．252
解析：選A 三位四進制數(shù)中的最大數(shù)為333(4)，則333(4)＝342＋341＋3＝63.
3．把389化為四進制數(shù)，則該數(shù)的末位是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選A 由389＝497＋1,97＝424＋1,24＝46＋0,6＝41＋2,1＝40＋1,389化為四進制數(shù)的末位是第一個除法代數(shù)式中的余數(shù)1.
4．在對16和12求最大公約數(shù)時，整個操作如下：16－12＝4,12－4＝8,8－4＝4.由此可以看出12和16的最大公約數(shù)是( )
A．4 B．12
C．16 D．8
解析：選A 根據(jù)更相減損術(shù)的方法判斷．
[層級二 應試能力達標]
1．4 830與3 289的最大公約數(shù)為( )
A．23 B．35
C．11 D．13
解析：選A 4 830＝13 289＋1 541；
3 289＝21 541＋207；
1 541＝7207＋92；
207＝292＋23；92＝423；
∴23是4 830與3 289的最大公約數(shù)．
2．用輾轉(zhuǎn)相除法求72與120的最大公約數(shù)時，需要做除法次數(shù)為( )
A．4 B．3
C．5 D．6
解析：選B 120＝721＋48，
72＝481＋24，
48＝242.
3．用更相減損術(shù)求459與357的最大公約數(shù)，需要做減法的次數(shù)為( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：選B 459－357＝102,357－102＝255,255－102＝153,153－102＝51,102－51＝51，所以459與357的最大公約數(shù)為51，共做減法5次．
4．下列各數(shù)，化為十進制后，最大的為( )
A．101 010(2) B．111(5)
C．32(8) D．54(6)
解析：選A 101 010(2)＝125＋024＋123＋022＋121＋020＝42,111(5)＝152＋151＋150＝31,32(8)＝381＋280＝26,54(6)＝561＋460＝34.
故轉(zhuǎn)化為十進制后，最大的是101 010(2)．
5.閱讀程序框圖，利用秦九韶算法計算多項式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，當x＝x0時，框圖中A處應填入________．
解析：f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，先用秦九韶算法改為一次多項式，
f(x)＝(…((anx＋an －1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.
f1＝an；k＝1，f2＝f1x0＋an－1；
k＝2，f3＝f2x0＋an－2；…；
歸納得第k次fk＋1＝fkx0＋an－k.故A處應填an－k.
答案：an－k
6．三進制數(shù)2 012(3)化為六進制數(shù)為abc(6)，則a＋b＋c＝________.
解析：
2 012(3)＝233＋032＋131＋230＝59.
三進制數(shù)2 012(3)化為六進制數(shù)為135(6)，∴a＋b＋c＝9.
答案：9
7．三位七進制數(shù)表示的最大的十進制數(shù)是________．
解析：最大的三位七進制數(shù)表示的十進制數(shù)最大，最大的三位七進制數(shù)為666(7)，則666(7)＝672＋671＋670＝342.
答案：342
8．10x1(2)＝y(tǒng)02(3)，求數(shù)字x，y的值．
解：∵10x1(2)＝120＋x21＋022＋123＝9＋2x，
y02(3)＝230＋y32＝9y＋2，∴9＋2x＝9y＋2且x∈，y∈，所以x＝1，y＝1.
9．用秦九韶算法計算多項式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64，當x＝2時的值．
解：將f(x)改寫為f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64，v0＝1，v1＝12－12＝－10，v2＝－102＋60＝40，v3＝402－160＝－80，v4＝－802＋240＝80，v5＝802－192＝－32，v6＝－322＋64＝0.所以f(2)＝0，即x＝2時，原多項式的值為0.
(時間120分鐘，滿分150分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．下列關(guān)于賦值語句的說法錯誤的是( )
A．賦值語句先計算出賦值號右邊的表達式的值
B．賦值語句是把左邊變量的值賦給賦值號右邊的表達式
C．賦值語句是把右邊表達式的值賦給賦值號左邊的變量
D．在算法語句中，賦值語句是最基本的語句
解析：選B 賦值語句的一般格式是：變量名＝表達式，其作用是把右邊表達式的值賦給賦值號左邊的變量，故B錯誤．
2．閱讀如圖所示的程序框圖，下列說法正確的是( )
A．該框圖只含有順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)
B．該框圖只含有順序結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)
C．該框圖只含有條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)
D．該框圖包含順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)
解析：選D 閱讀程序框圖，可知該程序框圖含有順序結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)，故選D.
3．求下列函數(shù)的函數(shù)值時，其程序框圖中需要用到條件結(jié)構(gòu)的是( )
A．f(x)＝－2x2＋x B．f(x)＝－2x－5
C．f(x)＝ D．f(x)＝1－5x
解析：選C 只有選項C中函數(shù)f(x)是分段函數(shù)，需分類討論x的取值范圍，要用條件結(jié)構(gòu)來設(shè)計程序框圖，A、B、D項均不需要用條件結(jié)構(gòu)，故選C.
4．如果輸入A＝2 015，B＝2 016，則下面一段程序的輸出結(jié)果是( )
A．2 016,2 015 B．2 015,2 015
C．2 015,2 016 D．2 016,2 016
解析：選D 輸入A＝2 015，B＝2 016后，經(jīng)過兩個賦值語句，使得A，B中的值都為2 016.故選D.
5．運行如圖所示的程序，其結(jié)果為( )
A．192 B．3 840
C．384 D．1 920
解析：選C 程序的功能為計算8642的值，易知為384，故選C.
6．若運行如圖所示的程序，最后輸出y的值是7，那么應該輸入的t的值可以為( )
A．－3 B．3
C．3或－ 3 D．3或－3或5
解析：選D 程序中的函數(shù)為一個分段函數(shù)y＝若輸出7，則或解得t的值為3或－3或5，故選D.
7．閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，則輸出n的值為( )
A．7 B．6
C．5 D．4
解析：選B 第一次運行：S＝0＋(－1)11＝－1<3；第二次運行：n＝2，S＝－1＋(－1)22＝1<3；第三次運行：n＝3，S＝1＋(－1)33＝－2<3；第四次運行：n＝4，S＝－2＋(－1)44＝2<3；第五次運行：n＝5，S＝2＋(－1)55＝－3<3；第六次運行：n＝6，S＝－3＋(－1)66＝3，滿足S≥3.故輸出n的值為6，故選B.
8．閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，若輸出的結(jié)果是4，則程序框圖中的處理框“①”處應填寫的是( )
A．n＝n－1 B．n＝n－2
C．n＝n＋1 D．n＝n＋2
解析：選C 因為起始n＝1，輸出的n＝4，所以排除A、B.若“①”處填n＝n＋1.則S＝＝－1，n＝2，判斷－1≠2，繼續(xù)循環(huán)；S＝＝，n＝3，判斷≠2，繼續(xù)循環(huán)；S＝＝2，n＝4，判斷2＝2，則輸出n的值為4，故選C.
9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出S＝，則輸入整數(shù)n＝( )
A．8 B．9
C．10 D．8或9
解析：選D 在條件成立的情況下，執(zhí)行第一次循環(huán)后，S＝，i＝4；執(zhí)行第二次循環(huán)后，S＝，i＝6；執(zhí)行第三次循環(huán)后，S＝，i＝8；執(zhí)行第四次循環(huán)后，S＝，i＝10.若n＝8或n＝9，此時10≤n不成立，退出循環(huán)，輸出S＝，因此n＝8或n＝9，故選D.
10．用秦九韶算法計算多項式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1當x＝0.4時的值時，需要做乘法和加法的次數(shù)分別是( )
A．6,6 B．5,6
C．5,5 D．6,5
解析：選A 由f(x)＝(((((3x＋4)x＋5)x＋6)x＋7)x＋8)x＋1可以得知答案選A.
11．用秦九韶算法求多項式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6的值，當x＝－4時，v4的值為( )
A．－57 B．124
C．－845 D．220
解析：選D 依據(jù)秦九韶算法有v0＝a6＝3，v1＝v0x＋a5＝3(－4)＋5＝－7，v2＝v1x＋a4＝－7(－4)＋6＝34，v3＝v2x＋a3＝34(－4)＋79＝－57，v4＝v3x＋a2＝－57(－4)＋(－8)＝220，故選D.
12．下列各數(shù)中最小的數(shù)為( )
A．101 011(2) B．1 210(3)
C．110(8) D．68(12)
解析：選A 101 011(2)＝125＋123＋12＋1＝43,1 210(3)＝133＋232＋13＝48,110(8)＝182＋18＝72,68(12)＝612＋8＝80，故選A.
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．如圖程序中，要求從鍵盤輸入n，求1＋2＋3＋…＋n的和，則橫線上缺的程序項是①________，②________.
解析：程序應先輸入一個n的值，
確定要計算前多少項的和，
②處應確定計數(shù)變量i滿足的條件，
即確定終止條件．
答案：n i<＝n
14．執(zhí)行如圖所示的框圖所表達的算法，如果最后輸出的S值為，那么判斷框中實數(shù)a的取值范圍是________．
解析：當1≤a<2時，輸出的S值為＝；
當2≤a<3時，輸出的S值為＝；
當3≤a<4時，輸出的S值為＝；…；
當2 015≤a<2 016時，
輸出的S值為.
答案：[2 015,2 016)
15．如圖是計算1＋2＋＋3＋＋…＋2 014＋的值的程序框圖．圖中空白的判斷框應填________，處理框應填________．
解析：讀懂程序框圖后，即可知判斷框內(nèi)要填“i≤2 014？”或“i<2 015？”，處理框內(nèi)要填“S＝S＋i＋”．
答案：i≤2 014？(或i<2 015？) S＝S＋i＋
16．用更相減損術(shù)求36與134的最大公約數(shù)時，第一步應為________________________．
解析：∵36與134都是偶數(shù)，
∴第一步應為：先除以2，得到18與67.
答案：先除以2，得到18與67
三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分)寫出用輾轉(zhuǎn)相除法求下列兩組數(shù)的最大公約數(shù)的過程：
(1)8 251與6 105；
(2)6 731與2 809.
解：(1)8 251＝6 1051＋2 146；
6 105＝2 1462＋1 813；
2 146＝1 8131＋333；
1 813＝3335＋148；
333＝1482＋37；
148＝374.
∴最后的除數(shù)37就是8 251和6 105的最大公約數(shù)．
(2)6 731＝2 8092＋1 113；
2 809＝1 1132＋583；
1 113＝5831＋530；
583＝5301＋53；
530＝5310.
∴6 731與2 809的最大公約數(shù)為53.
18．(本小題滿分12分)寫出下面程序運行的過程，并寫出運行結(jié)果．
解：運行過程如下：
i＝1，S＝0時，執(zhí)行S＝0＋1＝1，i＝2；
由于S＝1≤20，因此繼續(xù)執(zhí)行S＝1＋2＝3，i＝3；
由于S＝3≤20，因此繼續(xù)執(zhí)行S＝3＋3＝6，i＝4；
由于S＝6≤20，因此繼續(xù)執(zhí)行S＝6＋4＝10，i＝5；
由于S＝10≤20，因此繼續(xù)執(zhí)行S＝10＋5＝15，i＝6；
由于S＝15≤20，因此繼續(xù)執(zhí)行S＝15＋6＝21，i＝7；
這時S＝21>20，結(jié)束循環(huán)，執(zhí)行WEND后面的語句，因此程序的運行結(jié)果為7.
19．(本小題滿分12分)用秦九韶算法求f(x)＝3x5＋8x4－3x3＋5x2＋12x－6當x＝2時的值．
解：根據(jù)秦九韶算法，把多項式改寫成如下形式：
f(x)＝((((3x＋8)x－3)x＋5)x＋12)x－6，按照從內(nèi)到外的順序，依次計算一次多項式當x＝2時的值．
v0＝3，
v1＝v02＋8＝32＋8＝14，
v2＝v12－3＝142－3＝25，
v3＝v22＋5＝252＋5＝55，
v4＝v32＋12＝552＋12＝122，
v5＝v42－6＝1222－6＝238，
所以當x＝2時，多項式的f(x)值為238.
20.(本小題滿分12分)如圖所示，在邊長為4的正方形ABCD的邊上有一點P，沿著邊線BCDA由點B(起點)向點A(終點)運動．設(shè)點P運動的路程為x，△APB的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式并畫出程序框圖．
解：函數(shù)關(guān)系式為
y＝
程序框圖如圖所示：
21．(本小題滿分12分)用二分法求f(x)＝x2－2(x>0)近似零點的程序框圖如下圖所示．
(1)請在圖中判斷框內(nèi)填上合適的語句，使之能完成該題算法功能；
(2)根據(jù)程序框圖寫出程序．
解：(1)判斷框內(nèi)應填循環(huán)終止的條件：|a－b|
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2019-2020年高中數(shù)學
第二章
統(tǒng)計
2.1
隨機抽樣
2.1.1
簡單隨機抽樣教學案
新人教A版必修3
2019
2020
年高
數(shù)學
第二
隨機
抽樣
簡單
教學
新人
必修
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2019-2020年高中數(shù)學 第二章 統(tǒng)計 2.1 隨機抽樣 2.1.1 簡單隨機抽樣教學案 新人教A版必修3.doc
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