2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 統(tǒng)計 2.1 隨機抽樣 2.1.1 簡單隨機抽樣教學(xué)案 新人教A版必修3 預(yù)習(xí)課本P34～45，思考并完成以下問題 (1)如何求a，b，c的最大公約數(shù)？ 　 　 (2)如何求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)？ 　 　　　　 1．輾轉(zhuǎn)相除法 (1)輾轉(zhuǎn)相除法，又叫歐幾里得算法，是一種求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的古老而有效的算法． (2)輾轉(zhuǎn)相除法的算法步驟： 第一步，給定兩個正整數(shù)m，n. 第二步，計算m除以n所得的余數(shù)r. 第三步，m＝n，n＝r. 第四步，若r＝0，則m，n的最大公約數(shù)等于m；否則，返回第二步． 2．更相減損術(shù) (1)更相減損術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中介紹的一種求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的算法． (2)其基本過程是： 第一步，任意給定兩個正整數(shù)，判斷它們是否都是偶數(shù)．若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步． 第二步，以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)，繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)(等數(shù))或這個數(shù)與約簡的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù)． [點睛]　 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別與聯(lián)系 兩種方法 輾轉(zhuǎn)相除法 更相減損術(shù) 計算法則 除法 減法 終止條件 余數(shù)為0 減數(shù)與差相等 最大公約數(shù)的選取 最后一步中的除數(shù) 最后一步中的減數(shù) 計算特點 步驟較少，運算復(fù)雜 步驟較多，運算簡單 相同點 同為求兩個正整數(shù)最大公約數(shù)的方法，都是遞歸過程 3．秦九韶算法 把一個n次多項式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改寫成如下形式：f(x)＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.求多項式的值時，首先計算最內(nèi)層括號內(nèi)一次多項式的值，即v1＝anx＋an－1，然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…，vn＝vn－1x＋a0，這種求n次多項式f(x)的值的方法叫秦九韶算法． 1．用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù)時，需做減法的次數(shù)為(　　) A．4　　 　　　　　　　　　 B．5 C．6 D．7 解析：選C　(98,63)→(35,63)→(35,28)→(7,28)→(7,21)→(7,14)→(7,7)，∴共進(jìn)行6次減法． 2．用“輾轉(zhuǎn)相除法”求得168與486的最大公約數(shù)是(　　) A．3 B．4 C．6 D．16 解析：選C　486＝1682＋150,168＝1501＋18,150＝188＋6,18＝36，故168與486的最大公約數(shù)為6. 3．有關(guān)輾轉(zhuǎn)相除法下列說法正確的是(　　) A．它和更相減損之術(shù)一樣是求多項式值的一種方法 B．基本步驟是用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到除式m＝nq＋r，直至r<n為止 C．基本步驟是用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到除式m＝nq＋r(0≤r<n)，反復(fù)進(jìn)行，直到r＝0為止 D．以上說法皆錯 解析：選C　輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損之術(shù)都是求最大公約數(shù)的方法，故A錯，而C中0≤r<n且除到r＝0為止，C對．B錯，故選C. 4．已知多項式f(x)＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－，用秦九韶算法求f(－2)等于(　　) A．－ B. C. D．－ 解析：選A　∵f(x)＝((((4x＋3)x＋2)x－1)x－1)x－，∴f(－2)＝－. 求最大公約數(shù) [典例]　求228與1 995的最大公約數(shù)． [解]　法一：(輾轉(zhuǎn)相除法)1 995＝8228＋171,228＝1171＋57,171＝357， 所以228與1 995的最大公約數(shù)為57. 法二：(更相減損術(shù))1 995－228＝1 767,1 767－228＝1 539， 1 539－228＝1 311,1 311－228＝1 083， 1 083－228＝855,855－228＝627， 627－228＝399,399－228＝171， 228－171＝57,171－57＝114， 114－57＝57. 所以228與1 995的最大公約數(shù)為57. 輾轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)少，步驟簡捷，更相減損術(shù)計算次數(shù)多，步驟復(fù)雜，但是更相減損術(shù)每一步的計算都是減法，比做除法運算要簡單一些，一般當(dāng)數(shù)較小時可以考慮用更相減損術(shù)，當(dāng)數(shù)較大時可以考慮用輾轉(zhuǎn)相除法． [活學(xué)活用] 用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)求1 515與600的最大公約數(shù)，需要運算的次數(shù)分別為(　　) A．4,15　　　　　　　　　 B．5,14 C．5,13 D．4,12 解析：選B　輾轉(zhuǎn)相除法：1 515＝6002＋315；600＝3151＋285,315＝2851＋30,285＝309＋15,30＝152，故最大公約數(shù)為15，且需計算5次．用更相減損術(shù)：1 515－600＝915,915－600＝315,600－315＝285，315－285＝30,285－30＝255,255－30＝225，225－30＝195,195－30＝165,165－30＝135,135－30＝105，105－30＝75,75－30＝45,45－30＝15,30－15＝15.故最大公約數(shù)為15，且需計算14次. 秦九韶算法的應(yīng)用 [典例]　用秦九韶算法求多項式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1，當(dāng)x＝2時的值． [解]　根據(jù)秦九韶算法，把多項式改寫成如下形式： f(x)＝8x7＋5x6＋0x5＋3x4＋0x3＋0x2＋2x＋1＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1. 而x＝2，所以有 v0＝8， v1＝82＋5＝21， v2＝212＋0＝42， v3＝422＋3＝87， v4＝872＋0＝174， v5＝1742＋0＝348， v6＝3482＋2＝698， v7＝6982＋1＝1 397. 所以當(dāng)x＝2時，多項式的值為1 397. 應(yīng)用秦九韶算法計算多項式的值應(yīng)注意的3個問題 (1)要正確將多項式的形式進(jìn)行改寫． (2)計算應(yīng)由內(nèi)向外依次計算． (3)當(dāng)多項式函數(shù)中間出現(xiàn)空項時，要以系數(shù)為零的齊次項補充． [活學(xué)活用] 用秦九韶算法寫出當(dāng)x＝3時，f(x)＝2x5－4x3＋3x2－5x＋1的值． 解：因為f(x)＝((((2x＋0)x－4)x＋3)x－5)x＋1， v0＝2，v1＝23＋0＝6，v2＝63－4＝14，v3＝143＋3＝45，v4＝453－5＝130，v5＝1303＋1＝391， 所以f(3)＝391. 進(jìn)位制 [典例]　(1)把二進(jìn)制數(shù)101 101(2)化為十進(jìn)制數(shù)為________． (2)將十進(jìn)制數(shù)458轉(zhuǎn)化為四進(jìn)制數(shù)為________． (3)比較85(9)和210(6)的大小． [解析]　(1)101 101(2)＝125＋024＋123＋122＋021＋120＝32＋8＋4＋1＝45， 所以二進(jìn)制數(shù)101 101(2)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的數(shù)為45. (2) 所以458＝13 022(4)． 答案：(1)45　(2)13 022(4) (3)解：因為85(9)＝5＋89＝77， 210(6)＝0＋16＋262＝78， 而78>77，所以210(6)>85(9)． 十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為其他進(jìn)制數(shù)的方法步驟 [活學(xué)活用] (1)將101 111 011(2)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的數(shù)； (2)將235(7)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的數(shù)； (3)將137(10)轉(zhuǎn)化為六進(jìn)制的數(shù)； (4)將53(8)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制的數(shù)． 解：(1)101 111 011(2)＝128＋027＋126＋125＋124＋123＋022＋121＋120＝379(10)． (2)235(7)＝272＋371＋570＝124(10)． (3) ∴137(10)＝345(6)． (4)53(8)＝581＋380＝43(10)． ∴53(8)＝101 011(2)． [層級一　學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)] 1．用輾轉(zhuǎn)相除法求294和84的最大公約數(shù)時，需要做除法運算的次數(shù)是(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：選B　294＝843＋42,84＝422，故需要做2次除法運算． 2．三位四進(jìn)制數(shù)中的最大數(shù)等于十進(jìn)制數(shù)的(　　) A．63 B．83 C．189 D．252 解析：選A　三位四進(jìn)制數(shù)中的最大數(shù)為333(4)，則333(4)＝342＋341＋3＝63. 3．把389化為四進(jìn)制數(shù)，則該數(shù)的末位是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選A　由389＝497＋1,97＝424＋1,24＝46＋0,6＝41＋2,1＝40＋1,389化為四進(jìn)制數(shù)的末位是第一個除法代數(shù)式中的余數(shù)1. 4．在對16和12求最大公約數(shù)時，整個操作如下：16－12＝4,12－4＝8,8－4＝4.由此可以看出12和16的最大公約數(shù)是(　　) A．4 B．12 C．16 D．8 解析：選A　根據(jù)更相減損術(shù)的方法判斷． [層級二　應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)] 1．4 830與3 289的最大公約數(shù)為(　　) A．23　　　　　　　　　　 B．35 C．11 D．13 解析：選A　4 830＝13 289＋1 541； 3 289＝21 541＋207； 1 541＝7207＋92； 207＝292＋23；92＝423； ∴23是4 830與3 289的最大公約數(shù)． 2．用輾轉(zhuǎn)相除法求72與120的最大公約數(shù)時，需要做除法次數(shù)為(　　) A．4 B．3 C．5 D．6 解析：選B　120＝721＋48， 72＝481＋24， 48＝242. 3．用更相減損術(shù)求459與357的最大公約數(shù)，需要做減法的次數(shù)為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：選B　459－357＝102,357－102＝255,255－102＝153,153－102＝51,102－51＝51，所以459與357的最大公約數(shù)為51，共做減法5次． 4．下列各數(shù)，化為十進(jìn)制后，最大的為(　　) A．101 010(2) B．111(5) C．32(8) D．54(6) 解析：選A　101 010(2)＝125＋024＋123＋022＋121＋020＝42,111(5)＝152＋151＋150＝31,32(8)＝381＋280＝26,54(6)＝561＋460＝34. 故轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制后，最大的是101 010(2)． 5.閱讀程序框圖，利用秦九韶算法計算多項式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，當(dāng)x＝x0時，框圖中A處應(yīng)填入________． 解析：f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，先用秦九韶算法改為一次多項式， f(x)＝(…((anx＋an －1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0. f1＝an；k＝1，f2＝f1x0＋an－1； k＝2，f3＝f2x0＋an－2；…； 歸納得第k次fk＋1＝fkx0＋an－k.故A處應(yīng)填an－k. 答案：an－k 6．三進(jìn)制數(shù)2 012(3)化為六進(jìn)制數(shù)為abc(6)，則a＋b＋c＝________. 解析： 2 012(3)＝233＋032＋131＋230＝59. 三進(jìn)制數(shù)2 012(3)化為六進(jìn)制數(shù)為135(6)，∴a＋b＋c＝9. 答案：9 7．三位七進(jìn)制數(shù)表示的最大的十進(jìn)制數(shù)是________． 解析：最大的三位七進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)最大，最大的三位七進(jìn)制數(shù)為666(7)，則666(7)＝672＋671＋670＝342. 答案：342 8．10x1(2)＝y(tǒng)02(3)，求數(shù)字x，y的值． 解：∵10x1(2)＝120＋x21＋022＋123＝9＋2x， y02(3)＝230＋y32＝9y＋2，∴9＋2x＝9y＋2且x∈，y∈，所以x＝1，y＝1. 9．用秦九韶算法計算多項式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64，當(dāng)x＝2時的值． 解：將f(x)改寫為f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64，v0＝1，v1＝12－12＝－10，v2＝－102＋60＝40，v3＝402－160＝－80，v4＝－802＋240＝80，v5＝802－192＝－32，v6＝－322＋64＝0.所以f(2)＝0，即x＝2時，原多項式的值為0. (時間120分鐘，滿分150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．下列關(guān)于賦值語句的說法錯誤的是(　　) A．賦值語句先計算出賦值號右邊的表達(dá)式的值 B．賦值語句是把左邊變量的值賦給賦值號右邊的表達(dá)式 C．賦值語句是把右邊表達(dá)式的值賦給賦值號左邊的變量 D．在算法語句中，賦值語句是最基本的語句 解析：選B　賦值語句的一般格式是：變量名＝表達(dá)式，其作用是把右邊表達(dá)式的值賦給賦值號左邊的變量，故B錯誤． 2．閱讀如圖所示的程序框圖，下列說法正確的是(　　) A．該框圖只含有順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu) B．該框圖只含有順序結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu) C．該框圖只含有條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu) D．該框圖包含順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu) 解析：選D　閱讀程序框圖，可知該程序框圖含有順序結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)，故選D. 3．求下列函數(shù)的函數(shù)值時，其程序框圖中需要用到條件結(jié)構(gòu)的是(　　) A．f(x)＝－2x2＋x　 　　　 B．f(x)＝－2x－5 C．f(x)＝ D．f(x)＝1－5x 解析：選C　只有選項C中函數(shù)f(x)是分段函數(shù)，需分類討論x的取值范圍，要用條件結(jié)構(gòu)來設(shè)計程序框圖，A、B、D項均不需要用條件結(jié)構(gòu)，故選C. 4．如果輸入A＝2 015，B＝2 016，則下面一段程序的輸出結(jié)果是(　　) A．2 016,2 015 B．2 015,2 015 C．2 015,2 016 D．2 016,2 016 解析：選D　輸入A＝2 015，B＝2 016后，經(jīng)過兩個賦值語句，使得A，B中的值都為2 016.故選D. 5．運行如圖所示的程序，其結(jié)果為(　　) A．192 B．3 840 C．384 D．1 920 解析：選C　程序的功能為計算8642的值，易知為384，故選C. 6．若運行如圖所示的程序，最后輸出y的值是7，那么應(yīng)該輸入的t的值可以為(　　) A．－3 B．3 C．3或－ 3 D．3或－3或5 解析：選D　程序中的函數(shù)為一個分段函數(shù)y＝若輸出7，則或解得t的值為3或－3或5，故選D. 7．閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出n的值為(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 解析：選B　第一次運行：S＝0＋(－1)11＝－1<3；第二次運行：n＝2，S＝－1＋(－1)22＝1<3；第三次運行：n＝3，S＝1＋(－1)33＝－2<3；第四次運行：n＝4，S＝－2＋(－1)44＝2<3；第五次運行：n＝5，S＝2＋(－1)55＝－3<3；第六次運行：n＝6，S＝－3＋(－1)66＝3，滿足S≥3.故輸出n的值為6，故選B. 8．閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，若輸出的結(jié)果是4，則程序框圖中的處理框“①”處應(yīng)填寫的是(　　) A．n＝n－1 B．n＝n－2 C．n＝n＋1 D．n＝n＋2 解析：選C　因為起始n＝1，輸出的n＝4，所以排除A、B.若“①”處填n＝n＋1.則S＝＝－1，n＝2，判斷－1≠2，繼續(xù)循環(huán)；S＝＝，n＝3，判斷≠2，繼續(xù)循環(huán)；S＝＝2，n＝4，判斷2＝2，則輸出n的值為4，故選C. 9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出S＝，則輸入整數(shù)n＝(　　) A．8 B．9 C．10 D．8或9 解析：選D　在條件成立的情況下，執(zhí)行第一次循環(huán)后，S＝，i＝4；執(zhí)行第二次循環(huán)后，S＝，i＝6；執(zhí)行第三次循環(huán)后，S＝，i＝8；執(zhí)行第四次循環(huán)后，S＝，i＝10.若n＝8或n＝9，此時10≤n不成立，退出循環(huán)，輸出S＝，因此n＝8或n＝9，故選D. 10．用秦九韶算法計算多項式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1當(dāng)x＝0.4時的值時，需要做乘法和加法的次數(shù)分別是(　　) A．6,6 B．5,6 C．5,5 D．6,5 解析：選A　由f(x)＝(((((3x＋4)x＋5)x＋6)x＋7)x＋8)x＋1可以得知答案選A. 11．用秦九韶算法求多項式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6的值，當(dāng)x＝－4時，v4的值為(　　) A．－57 B．124 C．－845 D．220 解析：選D　依據(jù)秦九韶算法有v0＝a6＝3，v1＝v0x＋a5＝3(－4)＋5＝－7，v2＝v1x＋a4＝－7(－4)＋6＝34，v3＝v2x＋a3＝34(－4)＋79＝－57，v4＝v3x＋a2＝－57(－4)＋(－8)＝220，故選D. 12．下列各數(shù)中最小的數(shù)為(　　) A．101 011(2) B．1 210(3) C．110(8) D．68(12) 解析：選A　101 011(2)＝125＋123＋12＋1＝43,1 210(3)＝133＋232＋13＝48,110(8)＝182＋18＝72,68(12)＝612＋8＝80，故選A. 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．如圖程序中，要求從鍵盤輸入n，求1＋2＋3＋…＋n的和，則橫線上缺的程序項是①________，②________. 解析：程序應(yīng)先輸入一個n的值， 確定要計算前多少項的和， ②處應(yīng)確定計數(shù)變量i滿足的條件， 即確定終止條件． 答案：n　i<＝n 14．執(zhí)行如圖所示的框圖所表達(dá)的算法，如果最后輸出的S值為，那么判斷框中實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：當(dāng)1≤a<2時，輸出的S值為＝； 當(dāng)2≤a<3時，輸出的S值為＝； 當(dāng)3≤a<4時，輸出的S值為＝；…； 當(dāng)2 015≤a<2 016時， 輸出的S值為. 答案：[2 015,2 016) 15．如圖是計算1＋2＋＋3＋＋…＋2 014＋的值的程序框圖．圖中空白的判斷框應(yīng)填________，處理框應(yīng)填________． 解析：讀懂程序框圖后，即可知判斷框內(nèi)要填“i≤2 014？”或“i<2 015？”，處理框內(nèi)要填“S＝S＋i＋”． 答案：i≤2 014？(或i<2 015？)　S＝S＋i＋ 16．用更相減損術(shù)求36與134的最大公約數(shù)時，第一步應(yīng)為________________________． 解析：∵36與134都是偶數(shù)， ∴第一步應(yīng)為：先除以2，得到18與67. 答案：先除以2，得到18與67 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)寫出用輾轉(zhuǎn)相除法求下列兩組數(shù)的最大公約數(shù)的過程： (1)8 251與6 105； (2)6 731與2 809. 解：(1)8 251＝6 1051＋2 146； 6 105＝2 1462＋1 813； 2 146＝1 8131＋333； 1 813＝3335＋148； 333＝1482＋37； 148＝374. ∴最后的除數(shù)37就是8 251和6 105的最大公約數(shù)． (2)6 731＝2 8092＋1 113； 2 809＝1 1132＋583； 1 113＝5831＋530； 583＝5301＋53； 530＝5310. ∴6 731與2 809的最大公約數(shù)為53. 18．(本小題滿分12分)寫出下面程序運行的過程，并寫出運行結(jié)果． 解：運行過程如下： i＝1，S＝0時，執(zhí)行S＝0＋1＝1，i＝2； 由于S＝1≤20，因此繼續(xù)執(zhí)行S＝1＋2＝3，i＝3； 由于S＝3≤20，因此繼續(xù)執(zhí)行S＝3＋3＝6，i＝4； 由于S＝6≤20，因此繼續(xù)執(zhí)行S＝6＋4＝10，i＝5； 由于S＝10≤20，因此繼續(xù)執(zhí)行S＝10＋5＝15，i＝6； 由于S＝15≤20，因此繼續(xù)執(zhí)行S＝15＋6＝21，i＝7； 這時S＝21>20，結(jié)束循環(huán)，執(zhí)行WEND后面的語句，因此程序的運行結(jié)果為7. 19．(本小題滿分12分)用秦九韶算法求f(x)＝3x5＋8x4－3x3＋5x2＋12x－6當(dāng)x＝2時的值． 解：根據(jù)秦九韶算法，把多項式改寫成如下形式： f(x)＝((((3x＋8)x－3)x＋5)x＋12)x－6，按照從內(nèi)到外的順序，依次計算一次多項式當(dāng)x＝2時的值． v0＝3， v1＝v02＋8＝32＋8＝14， v2＝v12－3＝142－3＝25， v3＝v22＋5＝252＋5＝55， v4＝v32＋12＝552＋12＝122， v5＝v42－6＝1222－6＝238， 所以當(dāng)x＝2時，多項式的f(x)值為238. 20.(本小題滿分12分)如圖所示，在邊長為4的正方形ABCD的邊上有一點P，沿著邊線BCDA由點B(起點)向點A(終點)運動．設(shè)點P運動的路程為x，△APB的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式并畫出程序框圖． 解：函數(shù)關(guān)系式為 y＝ 程序框圖如圖所示： 21．(本小題滿分12分)用二分法求f(x)＝x2－2(x>0)近似零點的程序框圖如下圖所示． (1)請在圖中判斷框內(nèi)填上合適的語句，使之能完成該題算法功能； (2)根據(jù)程序框圖寫出程序． 解：(1)判斷框內(nèi)應(yīng)填循環(huán)終止的條件：|a－b|<d或f(m)＝0？. (2)根據(jù)框圖，設(shè)計程序如下： 22．(本小題滿分12分)某商場第一年銷售計算機6 000臺，如果以后每年銷售比上一年增加12%，那么從第一年起，大約經(jīng)過幾年可使總銷量達(dá)到150 000臺？畫出解決此問題的程序框圖，并寫出程序． 解：程序框圖如圖所示： 程序如下：