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2019-2020年高中數(shù)學《函數(shù)模型及其應用》教案6 新人教A版必修1 教學目標 1．理解等比數(shù)列的定義，并能以方程思想作指導，理解和運用它的通項公式． 2．逐步體會類比、歸納的思想，進一步培養(yǎng)學生概括、抽象思維等能力． 3．培養(yǎng)學生嚴密的思維習慣，促進個性品質的良好發(fā)展． 教學重點和難點 重點：等比數(shù)列要領的形成及通項公式的應用． 難點：對要領的深刻理解． 教學過程設計 (一)引入新課 師：前面我們已經研究了一類特殊的數(shù)列──等差數(shù)列，今天我們一起研究第二類新的數(shù)列──等比數(shù)列． (板書)三 等比數(shù)列 (二)講解新課 師：等比數(shù)列與等差數(shù)列在名字上非常類似，只有一字之差，一個是差，一個是比，你能否仿照等差數(shù)列，舉列說明你對等比數(shù)列的理解． (要求學生能主動的用類比思想，通過具體例子說明對概念的理解) 生：數(shù)列1，3，9，27，… 師：你為什么認為它是等比數(shù)列呢？ 生：因為這個數(shù)列相鄰兩項的比都是相等的，所以是等比數(shù)列． (先引導學生用自己的語言描述等比數(shù)列的特征，但暫時不作評論，以防限制其他學生的思維) 師：這是你對等比數(shù)列的理解，不過這個例子中的項是一項比一項大，能否再舉一個一項比一項小的． 師：你對等比數(shù)列的理解呢？ 生：數(shù)列中每一項與前一項的比都是同一個常數(shù)． 師：他們對等比數(shù)列理解基本相同的，能否再換個樣子，舉一個例子． (若理解沒有什么變化，就不必讓學生再重復了) 師：下面再舉例子又增加點要求，既然要去研究它，說明它一定有實際應用價值，那么能否再舉一個生活中的等比數(shù)列例子． 生：如生物學中細胞分裂問題：1個細胞經過一次分裂變?yōu)?個細胞，這兩個細胞再繼續(xù)分裂成為4個細胞．這樣分裂繼續(xù)下去，細胞個數(shù)從1到2到4到8，把每次分裂后所得細胞個數(shù)排列好可形成一個數(shù)列1，2，4，8，16，…這個數(shù)列就是等比數(shù)列． 師：這個例子舉得很好，不僅能夠發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學問題，還能把數(shù)學知識應用在其它學科，其實等比數(shù)列的應用是非常廣泛的，說明它確有很高的研究價值． 說了這么多，也發(fā)現(xiàn)了等比數(shù)列的特征，能否試著給等比數(shù)列下個定義呢？ 生：如果一個數(shù)列的每一項與前一項的比都等于一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列． 師：作為定義這種敘述還有一點不足，為保證這樣比都作得出來，這每一項應從數(shù)列的第二項起，否則第一項沒有前一項，也就做不出這個比，調整之后，再找一位同學準確描述一下等比數(shù)列． 生：如果一個數(shù)列，從第二項起．每一項與前一項的比都等于一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列． 師：好，就把它作為等比數(shù)列的定義記錄下來． (板書)1．定義 如果一個數(shù)列，從第二項起，每一項與前一項的比都是同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做公比，記作q． (教師在敘述的同時，再強調為突出所做出的比都相等，應寫為同一個常數(shù)更準確) 師：記住這句話并不難，關鍵是如何理解它，并利用它解決問題，先回到剛才幾個例子看它們是否是等比數(shù)列，如果是，公比是多少？ 師：好，公比會找了，再來看這樣一件事，等比數(shù)列從定義上與等差數(shù)列有很多密切關系使我們想到，有沒有這樣的數(shù)列，它既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列呢？ 生：有，如數(shù)列1，1，1，1，…是一個以0為公差的等差數(shù)列，也是以1為公比的等比數(shù)列． 師：除了這個數(shù)列以外，還能再舉一個嗎？ 師：他們舉的例子都是對的，而且從例子中數(shù)列的特征，使我們聯(lián)想到，形如a，a，a，…(a∈R)的數(shù)列好像都滿足既是等差又是等比數(shù)列，是這樣嗎？ (可讓學生作短暫的討論，再找學生回答) 生：形如a，a，a，…這樣的數(shù)列一定是等差數(shù)列(這一點可以由等差數(shù)列的定義加以證明)．但它未必是等比數(shù)列． 師：能具體解釋一下嗎？ 生：當a=0時，數(shù)列每一項均為零，都不能作比，因此不是等比數(shù)列，a≠0時，此數(shù)列是等比數(shù)列． 師：這個回答非常準確，通過對這個問題的研究，對于我們進一步認識等比數(shù)列有什么幫助嗎？從中得到什么啟示嗎？ 生：等比數(shù)列中的每一項都不能為零，因為在定義中，數(shù)列中每一項都要做分母，所以均不能為零． 師：這一點實際上是隱含在定義的敘述之中的，從另一個角度上講，數(shù)列各項均不為零是這個數(shù)列成等比數(shù)列的什么條件呢？ 生：是必要非充分條件． 師：這是我們對等比數(shù)列進一步理解得到第一點共識． (板書)2．對定義的理解 (1)“an≠0”是數(shù)列｛an｝成等比數(shù)列的必要非充分條件． 師：這一點是對等比數(shù)列的項的特殊要求，這與等差數(shù)列也是不同的． 下面從另外一個角度研究一下定義，數(shù)學定義一般都是用文字語言敘述表達的，但是在使用時往往需要符號化，因此下面試用數(shù)學符號語言來描述它？ 師：這種描述過于具體，能否用簡單的一個式子來概括這么多個比的等． 師：由于n可取任意自然數(shù)，故an+1可表示數(shù)列中每一項，an可表示相應的前一項，因此這一個比可以代表無數(shù)多個比的相等，所以這個式子與定義是等價的． 師：這個比式也可作為我們判斷一個數(shù)列{an}是否是等比數(shù)列的依據(jù)．這樣我們就完成了對等比數(shù)列的定義的研究、回顧一下研究過程．主要做了這樣兩件事：一是利用類比方法得到了等比數(shù)列的定義；二是用抽象概括將定義翻譯為符號語言，并能利用它證明一個數(shù)列是否是等比數(shù)列． 下面要進一步研究等比數(shù)列，必須先搞清怎么表示一個等比數(shù)列，要表示數(shù)列，需先確定這個數(shù)列，確定一個等比數(shù)列幾個條件呢？ 生：兩個條件． 師：哪兩個條件？ 生：可以是首項和公比 師：如果等比數(shù)列｛an｝，首項為a1，公比為q，你會用什么方法來表示這個等比數(shù)列呢？ 生：可以表示為a1，a2，a3，a4…這是常用的列舉法 師：剛才舉例時用的就是這種表示方法，除此之外，還有其它表示法嗎？ 師：這兩種表示法各有所長，但使用最方便的還是通項公式法．即如果已知{an}是等比數(shù)列，首項是a1，公比是q，如何用n的解析式表示數(shù)列中的第n項呢？ (板書) 3．等比數(shù)列的通項公式 (1)已知等比數(shù)列｛an｝，首項為a1，公比為q，則an=？ 生：an=a1qn-1(n∈N+)． 師：你是怎么得到的． 生：根據(jù)已知條件，數(shù)列可以寫成a1，a1q，a1q2，a1q3，…從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出第n次an=a1qn-1． 師：歸納的結論是正確的，且用的方法，調動的知識都非常好，尋找通項即尋找項的一般規(guī)律，先看特殊項，寫出幾項，再歸納出一般結論．這種方法是不完全歸納法，因此這個結論的正確性是需要證明的(請同學們課下完成)． (板書)an=a1qn-1(n∈N+)． (2)對公式的認識與理解 師：對于這個通項公式，可以從幾個方面去認識它呢？ (這不是第一次遇到這類公式，學生應知道從什么角度去認識公式) 生：可以從函數(shù)觀點去認識，把通項公式看作關于n的解析式． 師：與什么函數(shù)的解析式相類似． 生：指數(shù)函數(shù)． 師：它類似于指數(shù)函數(shù)解析式，說明它在某些方面可能與指數(shù)函數(shù)有聯(lián)系． 生：還可以把它看作一個方程，用方程思想來求解其中的量． 師：方程中有四個量，知三求一是最簡單的公式應用，不過當已知a1，q和an，求n時，此時的方程是個指數(shù)方程，求解時需多加注意．如｛an｝是等比數(shù)列，首項是2，公比是2，那么256是數(shù)列中第幾項？ 生：因為an=a1qn-1，則an=22n-1=2n．又an=256，得256=2n．解得n=8． 師：其它的例子不再舉了．但如果只知二，那么就能求二，但求二恐怕一個方程就不能解決了，需要方程組才能解決．這也就是通項公式的不同層次的應用了，下面一起看這樣一個題目． (板書) 例1 一個等比數(shù)列的第二項是2，第三項與第四項的和是12，求它的第八項的值． 師：拿到這個題目，你打算怎樣設計你的求解方案，或者說對這個題目有什么想法． 生：想求出首項和公比． 師：為什么要求出它們呢？ 生：有了首項和公比，就有了通項公式，就可以求出數(shù)列中任何一項． 師：好，這就是計算中要抓基本量的思想．首項和公比就是等比數(shù)列的兩個基本量．下面我們具體開始解，大家共同完成這個題目的求解． 師：怎么解這個方程組呢？ 生：②①得q＋q2=6．解得q=－3或q=2． 師：最后結果是正確的，但在具體求解過程中還有值得改進的地方． 此題要求的是a8，即a1q7=a1qq6=2q6．故只要把q求出即可求出a8的值．這樣在解方程組時就不必求出a1，從而使運算過程得以簡化． (板書) 解：設等比數(shù)列的首項為a1，公比為q．則由已知得 ②①得q2＋q=6．解得q=－3或q=2．則a8=a1q7=a1qq6=2q6=2(－3)6=1458或a8=2q6=226=27=128．故數(shù)列第八項是1458或128． 師：通過這個小題的計算，發(fā)現(xiàn)這類型題目主要是方程思想的應用．應用過程中主要是三個基本步驟：設、列、求，通過剛才的實踐，你們覺得在這三步上應該注意什么呢？ 生：設未知數(shù)應注意設等比數(shù)列的基本量首項和公比．在解方程組時，通常會用到乘除消元的方法． 師：總結得不錯，在注意以上幾點的同時，還應注意利用分析綜合法尋求已知和所求之間的聯(lián)系，以達到簡化運算的目的． 下面我們一起看例2． (此題先讓學生講明思路，根據(jù)時間完成主要內容即可) 師：這個題目應從哪里入手解決呢？ 生：應先判斷這個數(shù)列是否是等比或等差數(shù)列． 師：為什么要做這件事呢？ 生：因為知道了是什么樣的數(shù)列，就可以找出其通項公式，就可以判斷某個數(shù)是否是數(shù)列中的項． 師：如果判斷它是否是等差或等比數(shù)列呢？ 師：好，這種思路是可行的，除此之外還有其他思路嗎？ 生：可以利用2an=3an+1(n∈N+)找到 2a1=3a2，2a2=3a3，… 2a4=3a5，可以找 師：這種方法把一般關系具體化，有一定可取之處，但有一定的偶然性，因此兩種思路比較而言，另一種方案更具一般性． 下面請同學把這種方案具體實施一下． (讓一個學生就說一個重要環(huán)節(jié)，并及時指出表述上的問題) 師：這兩步是等價的嗎？ 生：不等價，應保證an≠0才等價． 師：題目中能保證an≠0嗎？ 生：根據(jù)條件“各項均為負”可以保證an≠0． 師：在表述上應怎樣調整呢？ (提醒學生，開方時必須指明a1＜0，才能保證只有一解) 師：在這個題目求解過程中注意這樣幾點： (1)判斷數(shù)列是等比數(shù)列時，將條件變形為比的形式，注意變形的等價性； (2)判斷某個數(shù)是否是數(shù)列中的項，只需將該數(shù)代入通項公式，并解此方程，看是否有正整數(shù)解． (四)小結 師：這節(jié)課主要學習了一個重要概念等比數(shù)列和一個重要的公式等比數(shù)列的通項公式． (1)對于這個概念要注意與等差數(shù)列的類比中把握它們的區(qū)別與聯(lián)系． (2)對于通項公式除了記住內容，了解推導之外，關鍵是能用方程觀點去認識，并應用它解決有關問題． (五)布置作業(yè) 課本習題(略) 課堂教學設計說明 等比數(shù)列是在等差數(shù)列之后介紹的，因此它的數(shù)學方法不能簡單地重復等差數(shù)列．應當既(體現(xiàn))出兩者的聯(lián)系，又有所變化且有所提高．因此在教學方法上突出了類比思想的使用，教師為學生創(chuàng)造好使用的條件，引導學生自己研究相關內容如定義、表示方法．通項公式及對公式的認識，通過學生的研究，探索，加上老師概括總結，既充分發(fā)揮學生的主體作用又體現(xiàn)教師的主導作用． 等比數(shù)列的通項公式應用是等比數(shù)列這段知識的重點，也是本節(jié)課的重點，方程思想的應用是公式應用的核心和關鍵．所以必須了解方程思想應用的特點，首先必須用方程的觀點去認識等比數(shù)列的基礎知識；再從本質上把握公式．其次在運用方程思想解題時，對于設元要抓好其中的關鍵量；最后在運用方程思想時需恰當應用整體代入，設而不求，如例1的計算應注意把a2=2的條件整體代入到所求的a8中，從而使a1設而不求．