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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《函數(shù)模型及其應(yīng)用》教案8 新人教A版必修1 1.幾類不同增長的函數(shù)模型：（1）一次函數(shù)模型：f(x)=kx+b (k,b為常數(shù),k≠0)；（2）反比例函數(shù)模型：f(x)=(k ,b為常數(shù),k≠0);(3)二次函數(shù)模型：f(x)= ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0);(4)指數(shù)函數(shù)模型：f(x)= abx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0,b>0,b≠1);(5)對數(shù)函數(shù)模型：f(x)=mlogax+n(m,n,a為常數(shù)，a>0，a≠1),(6)冪函數(shù)模型：f(x)=axn+b(m,n,b為常數(shù)，a≠0，n≠1). 注：學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)收集一些生活中普遍使用的函數(shù)模型（一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等）的實(shí)例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用. 2.幾類函數(shù)模型增長差異：在區(qū)間（0，+∞）上，盡管函數(shù)y=ax (a>1), y =㏒ax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函數(shù)，但他們的增長速度不同，隨著x的增大，y=ax (a>1)的增長速度越來越快，會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn(n>0)的增長速度，而且y = ㏒ax(a>1)的增長速度則會越來越慢.因此，總會存在一個(gè)x0,當(dāng)x> x0時(shí)，就有㏒ax< xn< ax. 注：以上結(jié)論要結(jié)合幾個(gè)特殊函數(shù)(y=2x, y=㏒2x和y=x2）的圖像進(jìn)行理解：如圖，剛開始函數(shù)y=㏒2x增長的最快，隨后增長的速度越來越慢；而函數(shù)y=2x剛開始增長得較慢，隨后增長的速度越來越快；函數(shù)y=x2增長的速度也是越來越快，但越來越不如y=2x增長得快，函數(shù)y=2x 和y=x2的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)（2，4）和（4，16）。在x∈（2，4）時(shí)，㏒2x<2x< x2,在x∈（0，2）∪（2，4）時(shí)，㏒2x< x2<2x ，所以，當(dāng)x>4時(shí)，總有㏒2x< x2<2x. 3.解函數(shù)應(yīng)用題的方法：一方面是利用已知函數(shù)模型解決問題，另一方面是建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并利用所得函數(shù)模型解釋有關(guān)現(xiàn)象。這一方法即是數(shù)學(xué)建模，這也是本節(jié)內(nèi)容的一個(gè)難點(diǎn). 數(shù)學(xué)建模的一般過程大致可以分為現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)化、模型求解、數(shù)學(xué)模型解答、現(xiàn)實(shí)問題解答驗(yàn)證四個(gè)階段。這四個(gè)階段實(shí)際上是完成從現(xiàn)實(shí)問題到數(shù)學(xué)模型，再從數(shù)學(xué)模型回到現(xiàn)實(shí)問題的不斷循環(huán)、不斷完善的過程，如圖所示： 實(shí)際應(yīng)用 （現(xiàn)實(shí)原型） 數(shù)學(xué)問題 （數(shù)學(xué)模型） 實(shí)際解答 （理論預(yù)期） 數(shù)學(xué)模型解答 　　　　　　　　　　　　　數(shù)學(xué)化 　　　　　　　　　　 　　　　驗(yàn)證　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求解　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　實(shí)際解釋 數(shù)學(xué)化是指根據(jù)數(shù)學(xué)建模的目的和所具備的數(shù)據(jù)、圖表、過程、現(xiàn)象等各種信息，將現(xiàn)實(shí)問題翻譯轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)語言將其準(zhǔn)確地表示出來. 求解是指利用已有的數(shù)學(xué)知識，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)解題策略，求出數(shù)學(xué)模型的解答. 解釋是指把數(shù)學(xué)語言表述的解答翻譯轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實(shí)問題，給出實(shí)際問題的解答. 驗(yàn)證是指用現(xiàn)實(shí)問題的各種信息檢驗(yàn)所得的實(shí)際問題的解答，以確認(rèn)解答的正確性和數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性. 上圖直觀地顯示了現(xiàn)實(shí)問題和數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系，即數(shù)學(xué)模型是將現(xiàn)實(shí)問題的信息加以數(shù)學(xué)化的產(chǎn)物，熟悉模型來源于現(xiàn)實(shí)、有超越于現(xiàn)實(shí)，它用精確的語言揭示了現(xiàn)實(shí)問題的內(nèi)在特性。數(shù)學(xué)模型經(jīng)過求解，得到數(shù)學(xué)形式的解答，再經(jīng)過一次轉(zhuǎn)化到現(xiàn)實(shí)問題，給出現(xiàn)實(shí)問題的決策、預(yù)報(bào)、分析等結(jié)果，最后這些結(jié)果還要經(jīng)受實(shí)踐的檢驗(yàn)，完成由實(shí)踐到理論再到實(shí)踐這樣一個(gè)不斷循環(huán)、不斷完善的過程，如果檢驗(yàn)結(jié)果基本正確或者與實(shí)際情況的擬合度非常高，就可以用來指導(dǎo)實(shí)踐，反之則應(yīng)重復(fù)上述過程重新建立模型或者修正模型. 4.根據(jù)收集的數(shù)據(jù)直接去解決問題的過程：通過收集數(shù)據(jù)直接去解決問題的一般過程如下：第一步：收集數(shù)據(jù)；第二步：根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出散點(diǎn)圖；第三步：根據(jù)點(diǎn)的分布特征，選擇一個(gè)能刻畫散點(diǎn)特征的函數(shù)模型；第四步：選擇其中的幾組數(shù)據(jù)求出函數(shù)模型；第五步：將已知數(shù)據(jù)代入所求的函數(shù)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否符合實(shí)際，若不符合實(shí)際，則重復(fù)第三、四、五步；如符合實(shí)際，則進(jìn)入下一步；第六步：用求得的函數(shù)模型去解決實(shí)際問題。舉例說明：根據(jù)下表給出的數(shù)據(jù)資料，確定該國人口增長規(guī)律，預(yù)測該國xx年的人口數(shù). 時(shí)間（年份） 人口數(shù)（百萬） 1830 3.930 1840 5.309 1850 7.241 1860 9.639 1870 12.867 1880 17.070 1890 23.193 1900 31.444 時(shí)間 (年份) 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 人口數(shù) (百萬） 38.559 50.156 62.949 75.996 91.973 105.712 122.712 131.670 142.698 分析：這是一個(gè)確定人口增長模型的問題。一個(gè)國家的人口數(shù)與眾多因素有關(guān)。為使問題簡化，我們作如下假設(shè)：（1）該國的政治、經(jīng)濟(jì)、社會環(huán)境穩(wěn)定；（2）該國的人口增長數(shù)由其人口的生育、死亡引起，與外界移民無關(guān)；（3）該國的人口數(shù)量變化是連續(xù)的；（4）該國的每一個(gè)人有相同的生育能力和死亡機(jī)率?；谏鲜黾僭O(shè)，我們認(rèn)為人口數(shù)量是時(shí)間的函數(shù).記時(shí)間為t,t時(shí)刻的人口數(shù)為P(t). 建模思路是，根據(jù)給出的數(shù)據(jù)資料繪出散點(diǎn)圖，然后找出一條直線或曲線，使它們盡可能與這些點(diǎn)吻合，該直線或曲線就被認(rèn)為近似地描述了該國人口增長規(guī)律，從而進(jìn)一步做出預(yù)測. 觀察散點(diǎn)圖，從整體趨勢看，可以認(rèn)為散點(diǎn)近似分布在一條以直線t=1830為對稱軸的拋物線上，選兩點(diǎn)（1830，3.930）、（1930，62.949） 可定出該拋物線方程為P(t)=3.930+0.0059(t-1830)2 ①此即欲建的人口增長拋物線模型. 我們還可以認(rèn)為散點(diǎn)近似分布在一條指數(shù)曲線上，我們?nèi)?970，1980這兩年確定方程（而用1990年的數(shù)據(jù)作檢驗(yàn)）。因此，過兩點(diǎn)（1970，122.776）,(1980,131.670)求得指數(shù)方程為P(t)=122.776，此即該國人口增長的指數(shù)模型. 通過1990年的人口數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)，其誤差分別為8.59%和1.07% .所以，我們認(rèn)為第二個(gè)模型精確度更好。選取第二個(gè)模型預(yù)測該國到xx年的人口預(yù)測數(shù)為P（xx）=157.824.