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2019-2020年高三數(shù)學(xué) 第80課時 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教案 教學(xué)目標(biāo)：理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件(導(dǎo)數(shù)在極值點兩側(cè)異號)；會求一些實際問題(一般指單峰函數(shù))的最大值和最小值. （一） 主要知識及主要方法： 利用導(dǎo)數(shù)研究多項式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟: 求;確定在內(nèi)符號;若在上恒成立，則在上是增函數(shù)；若在上恒成立，則在上是減函數(shù) ①為增函數(shù)（為減函數(shù)）. ②在區(qū)間上是增函數(shù)≥在上恒成立； 在區(qū)間上為減函數(shù)≤在上恒成立. 極大值： 一般地，設(shè)函數(shù)在點附近有定義，如果對附近的所有的點，都有，就說是函數(shù)的一個極大值，記作極大值，是極大值點. 極小值：一般地，設(shè)函數(shù)在附近有定義，如果對附近的所有的點，都有就說是函數(shù)的一個極小值，記作極小值，是極小值點. 極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值請注意以下幾點： （）極值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小.并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小. （）函數(shù)的極值不是唯一的即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極xs大值或極小值可以不止一個. （）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點，是極小值點，而>. （）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點. 當(dāng)在點連續(xù)時，判別是極大、極小值的方法: 若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則是的極小值點，是極小值. 求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟: 確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)求方程的根 用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么在這個根處無極值.如果函數(shù)在某些點處連續(xù)但不可導(dǎo)，也需要考慮這些點是否是極值點 . 函數(shù)的最大值和最小值: 一般地，在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在上必有最大值與最小值． 說明：在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值； 函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的． 函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件． 函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個. 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟: 由上面函數(shù)的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，就可以得出函數(shù)的最值了． 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則求在上的最大值與最小值的步驟如下：求在內(nèi)的極值； 將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值p 求參數(shù)范圍的方法：①分離變量法；②構(gòu)造（差）函數(shù)法. 構(gòu)造函數(shù)法是證明不等式的常用方法：構(gòu)造時要注意四變原則：變具體為抽象，變常量為變量，變主元為輔元，變分式為整式. 通過求導(dǎo)求函數(shù)不等式的基本思路是：以導(dǎo)函數(shù)和不等式為基礎(chǔ)，單調(diào)性為主線，最(極值）為助手，從數(shù)形結(jié)合、分類討論等多視角進行綜合探索. （二）典例分析： 問題1．（屆云南平遠(yuǎn)一中五模）函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為 已知，的反函數(shù)為，則 （大連一模）設(shè)均是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時， ，且，則不等式的解集是 問題2．如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，并且方程的根都在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍為 （屆高三浙江上虞市調(diào)研）已知，那么 在區(qū)間上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞增 函數(shù)， （Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和極值； （Ⅱ）若關(guān)于的方程有個不同實根，求實數(shù)的取值范圍. （Ⅲ）已知當(dāng)時，≥恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 問題3．（天津）已知函數(shù)，其中． （Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值． 問題4．（湖北）已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設(shè)兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．（Ⅰ）用表示，并求的最大值；（Ⅱ）求證：≥（）． 問題5．利用導(dǎo)數(shù)求和： （, ）. （）. （三）課后作業(yè)： 已知函數(shù)，則方程在區(qū)間上的根有 個 個 個 個 （鄭州一中等四校聯(lián)考）若函數(shù)在上可導(dǎo)且滿足不等式 恒成立，且常數(shù)滿足，則下列不等式一定成立的是 求滿足條件的的范圍： 使為上增函數(shù)，則的范圍是 使為上增函數(shù)，則的范圍是 使為上增函數(shù)，則的范圍是 證明方程在上至多有一實根. （屆高三陜師大附中八模）如果是二次函數(shù), 且的圖象開口向上, 頂點坐標(biāo)為, 那么曲線上任一點的切線的傾斜角的取值范圍是 （屆廈門雙十中學(xué)高三月考）如圖，是函數(shù) 的大致圖像，則等于 （天津）函數(shù)的定義域是開區(qū)間, 導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù) 在開區(qū)間內(nèi)有極小值點 個 個 個 個 （屆高三哈爾濱第三中學(xué)第一次月考） 函數(shù)的圖象如圖所示， 且，則有 已知：，證明不等式： 設(shè)恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定的取值范圍，并求出這三個單調(diào)區(qū)間 （屆高三福建質(zhì)檢）已知函數(shù)在處取得極值．求實數(shù)的值；若關(guān)于的方程 在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；證明：對任意的正整數(shù)，不等式都成立． （四）走向高考： （陜西）是定義在上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足≤． 對任意正數(shù)，若，則必有 ≤ ≤ ≤ ≤ (江蘇)已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，對于任意實數(shù)，有≥，則的最小值為 （全國）函數(shù)在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù) （重慶）曲線在點處的切線與軸、直線所圍成的三角形的面積為，則 （全國）已知是正整數(shù)且，求證： （重慶）已知函數(shù)在處取得極值，其中為常數(shù)．（Ⅰ）試確定的值；（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅲ）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍． （海南）設(shè)函數(shù) （Ⅰ）若當(dāng)時，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性； （Ⅱ）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于． （全國Ⅰ）設(shè)函數(shù)． （Ⅰ）證明：的導(dǎo)數(shù)； （Ⅱ）若對所有都有，求的取值范圍． （全國Ⅱ文）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，試求實數(shù)的取值范圍.