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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 第63課時(shí)—空間中的角（2）教案 一．復(fù)習(xí)目標(biāo)：掌握二面角及二面角的平面角的概念；熟練掌握作二面角平面角的一般方法． 二．知識(shí)要點(diǎn)： 1．二面角的概念： ． 2．二面角的平面角： ． 3．求二面角平面角大小的一般方法： ． 三．課前預(yù)習(xí)： 1．二面角內(nèi)有一點(diǎn)，若到平面的距離分別是，且在平面的內(nèi)的射影的距離為，則二面角的度數(shù)是 （ ） 2．已知分別是正方體的棱的中點(diǎn)，則截面與底面所成二面角的正弦值是 （ ） 3．對(duì)于平面幾何中的命題：“如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”，在立體幾何中，類(lèi)比上述的命題，可以得到命題： ，這個(gè)命題的真假性是 ． 4．在四面體中，兩兩垂直，且，是中點(diǎn)，異面直線所成的角為，則二面角的大小為 ． 四．例題分析： A A1 B1 B C1 C M N P 例1．如圖，點(diǎn)為斜三棱柱的側(cè)棱上一點(diǎn)，交于點(diǎn)， 交于點(diǎn)，（1）求證：； （2）在任意中有余弦定理：. 拓展到空間，類(lèi)比三角形的余弦定理，寫(xiě)出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明． 例2．如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，側(cè)面底面． （1）與是否相互垂直，請(qǐng)證明你的結(jié)論； （2）求二面角的大??； （3）求證：平面⊥平面． 解：（1）與相互垂直.證明如下： 取的中點(diǎn)，連結(jié)，交于點(diǎn)；連結(jié)． ∵，∴．又∵平面⊥平面， 平面∩平面，∴⊥平面． 在梯形中，可得， ∴， 即， ∴ ． （2）連結(jié)， 由⊥平面，，可得， ∴為二面角的平面角， 設(shè)，則在中， ∴二面角為 ． （3）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由題意知：平面⊥平面， 則同“（1）”可得平面． 取的中點(diǎn)，連結(jié)，則由， ，得四邊形為平行四邊形. ∴， ∴⊥平面．∴平面⊥平面． 解答二： 取的中點(diǎn)，由側(cè)面⊥底面， 是等邊三角形， 得⊥底面． 以為原點(diǎn)，以所在直線為軸， 過(guò)點(diǎn)與平行的直線為軸， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)，則在直角梯形中，， 在等邊三角形中，．∴ （1）與相互垂直.證明如下：∵ ∴． （2）連結(jié)，設(shè)與相交于點(diǎn)；連結(jié)． 由得． 又∵為在平面內(nèi)的射影， ∴，為二面角的平面角． 在中，． 在中，． ∴二面角為． （3）取的中點(diǎn)，連結(jié)，則的坐標(biāo)為． 又，， ∴ ． ∴ ∴⊥平面． ∴平面⊥平面． 小結(jié)：三垂線定理是求二面角的平面角的又一常用方法． 五．課后作業(yè)： 班級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名 1．過(guò)正方形的頂點(diǎn)，引⊥平面，若，則平面和平面所成的二面角的大小是 （ ） 2．已知正三棱錐兩個(gè)相鄰側(cè)面所成二面角為，那么的取值范圍 （ ） 或 3．已知正方形，交于點(diǎn)，若將正方形沿折成的二面角，并給出四個(gè)結(jié)論：（1）；（2）；（3）為正三角形；（4），則其中正確命題的序號(hào)為 ． 4．平行六面體的底面是矩形，側(cè)棱長(zhǎng)為，點(diǎn)在底面上的射影是的中點(diǎn)，與底面成的角，二面角的平面角等于，求此平行六面體的表面積． 5．在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是中點(diǎn)，作交于． （1）證明平面：（2）證明平面；（3）求二面角的大小． 6．在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面平面，，分別是的中點(diǎn)． （1）證明；（2）求二面角的大?。唬?）求點(diǎn)到平面的距離．