2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料《抽屜原理》.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料《抽屜原理》 “抽屜原理”最先是由19世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家迪里赫萊(Dirichlet)運用于解決數(shù)學(xué)問題的,所以又稱“迪里赫萊原理”,也有稱“鴿巢原理”的。這個原理可以簡單地敘述為“把10個蘋果,任意分放在9個抽屜里,則至少有一個抽屜里含有兩個或兩個以上的蘋果”。這個道理是非常明顯的,但應(yīng)用它卻可以解決許多有趣的問題,并且常常得到一些令人驚異的結(jié)果。抽屜原理是國際國內(nèi)各級各類數(shù)學(xué)競賽中的重要內(nèi)容,本講就來學(xué)習(xí)它的有關(guān)知識及其應(yīng)用。 (一) 抽屜原理的基本形式 定理1、如果把n+1個元素分成n個集合,那么不管怎么分,都存在一個集合,其中至少有兩個元素。 證明:(用反證法)若不存在至少有兩個元素的集合,則每個集合至多1個元素,從而n個集合至多有n個元素,此與共有n+1個元素矛盾,故命題成立。 在定理1的敘述中,可以把“元素”改為“物件”,把“集合”改成“抽屜”,抽屜原理正是由此得名。 同樣,可以把“元素”改成“鴿子”,把“分成n個集合”改成“飛進n個鴿籠中”?!傍澔\原理”由此得名。 例題講解 1. 已知在邊長為1的等邊三角形內(nèi)(包括邊界)有任意五個點(圖1)。證明:至少有兩個點之間的距離不大于 2.從1-100的自然數(shù)中,任意取出51個數(shù),證明其中一定有兩個數(shù),它們中的一個是另一個的整數(shù)倍。 3.從前25個自然數(shù)中任意取出7個數(shù),證明:取出的數(shù)中一定有兩個數(shù),這兩個數(shù)中大數(shù)不超過小數(shù)的1.5倍。 4.已給一個由10個互不相等的兩位十進制正整數(shù)組成的集合。求證:這個集合必有兩個無公共元素的子集合,各子集合中各數(shù)之和相等。 5.在坐標(biāo)平面上任取五個整點(該點的橫縱坐標(biāo)都取整數(shù)),證明:其中一定存在兩個整點,它們的連線中點仍是整點。 6.在任意給出的100個整數(shù)中,都可以找出若干個數(shù)來(可以是一個數(shù)),它們的和可被100整除。 7. 17名科學(xué)家中每兩名科學(xué)家都和其他科學(xué)家通信,在他們通信時,只討論三個題目,而且任意兩名科學(xué)家通信時只討論一個題目,證明:其中至少有三名科學(xué)家,他們相互通信時討論的是同一個題目。 課后練習(xí) 1.幼兒園買來了不少白兔、熊貓、長頸鹿塑料玩具,每個小朋友任意選擇兩件,那么不管怎樣挑選,在任意七個小朋友中總有兩個彼此選的玩具都相同,試說明道理. 2.正方體各面上涂上紅色或藍色的油漆(每面只涂一種色),證明正方體一定有三個面顏色相同. 3.把1到10的自然數(shù)擺成一個圓圈,證明一定存在在個相鄰的數(shù),它們的和數(shù)大于17. 4.有紅襪2雙,白襪3雙,黑襪4雙,黃襪5雙,藍襪6雙(每雙襪子包裝在一起)若取出9雙,證明其中必有黑襪或黃襪2雙. 5.在邊長為1的正方形內(nèi),任意給定13個點,試證:其中必有4個點,以此4點為頂點的四邊開面積不超過(假定四點在一直線上構(gòu)成面積為零的四邊形). 6.在一條筆直的馬路旁種樹,從起點起,每隔一米種一棵樹,如果把三塊“愛護樹木”的小牌分別掛在三棵樹上,那么不管怎樣掛,至少有兩棵掛牌的樹之間的距離是偶數(shù)(以米為單位),這是為什么? 課后練習(xí)答案 1.解 從三種玩具中挑選兩件,搭配方式只能是下面六種: (兔、兔),(兔、熊貓),(兔、長頸鹿),(熊貓、熊貓),(熊貓、長頸鹿),(長頸鹿、長頸鹿) 把每種搭配方式看作一個抽屜,把7個小朋友看作物體,那么根據(jù)原則1,至少有兩個物體要放進同一個抽屜里,也就是說,至少兩人挑選玩具采用同一搭配方式,選的玩具相同. 原則2 如果把mn+k(k≥1)個物體放進n個抽屜,則至少有一個抽屜至多放進m+1個物體.證明同原則相仿.若每個抽屜至多放進m個物體,那么n個抽屜至多放進mn個物體,與題設(shè)不符,故不可能. 原則1可看作原則2的物例(m=1) 2.證明把兩種顏色當(dāng)作兩個抽屜,把正方體六個面當(dāng)作物體,那么6=22+2,根據(jù)原則二,至少有三個面涂上相同的顏色. 3.證明 如圖12-1,設(shè)a1,a2,a3,…,a9,a10分別代表不超過10的十個自然數(shù),它們圍成一個圈,三個相鄰的數(shù)的組成是(a1,a2,a3),(a2,a3,a4),(a3,a4,a5),…,(a9,a10,a1),(a10,a1,a2)共十組.現(xiàn)把它們看作十個抽屜,每個抽屜的物體數(shù)是a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5,…a9+a10+a1,a10+a1+a2,由于 (a1+a2+a3)+(a2+a3+a4)+…+(a9+a10+a1)+(a10+a1+a2) =3(a1+a2+…+a9+a10) =3(1+2+…+9+10) 根據(jù)原則2,至少有一個括號內(nèi)的三數(shù)和不少于17,即至少有三個相鄰的數(shù)的和不小于17. 原則1、原則2可歸結(jié)到期更一般形式: 原則3把m1+m2+…+mn+k(k≥1)個物體放入n個抽屜里,那么或在第一個抽屜里至少放入m1+1個物體,或在第二個抽屜里至少放入m2+1個物體,……,或在第n個抽屜里至少放入mn+1個物體. 證明假定第一個抽屜放入物體的數(shù)不超過m1個,第二個抽屜放入物體的數(shù)不超過m2個,……,第n個抽屜放入物體的個數(shù)不超過mn,那么放入所有抽屜的物體總數(shù)不超過m1+m2+…+mn個,與題設(shè)矛盾. 4.證明 除可能取出紅襪、白襪3雙外.還至少從其它三種顏色的襪子里取出4雙,根據(jù)原理3,必在黑襪或黃襪、藍襪里取2雙. 上面數(shù)例論證的似乎都是“存在”、“總有”、“至少有”的問題,不錯,這正是抽屜原則的主要作用.需要說明的是,運用抽屜原則只是肯定了“存在”、“總有”、“至少有”,卻不能確切地指出哪個抽屜里存在多少. 制造抽屜是運用原則的一大關(guān)鍵 首先要指出的是,對于同一問題,常可依據(jù)情況,從不同角度設(shè)計抽屜,從而導(dǎo)致不同的制造抽屜的方式. 5.證明如圖12-2把正方形分成四個相同的小正方形. 因13=34+1,根據(jù)原則2,總有4點落在同一個小正方形內(nèi)(或邊界上),以此4點為頂點的四邊形的面積不超過小正方形的面積,也就不超過整個正方形面積的. 事實上,由于解決問題的核心在于將正方形分割成四個面積相等的部分,所以還可以把正方形按圖12-3(此處無圖)所示的形式分割. 合理地制造抽屜必須建立在充分考慮問題自身特點的基礎(chǔ)上. 6.解如圖12-4(設(shè)掛牌的三棵樹依次為A、B、C.AB=a,BC=b,若a、b中有一為偶數(shù),命題得證.否則a、b均為奇數(shù),則AC=a+b為偶數(shù),命題得證. 下面我們換一個角度考慮:給每棵樹上編上號,于是兩棵樹之間的距離就是號碼差,由于樹的號碼只能為奇數(shù)和偶數(shù)兩類,那么掛牌的三棵樹號碼至少有兩個同為奇數(shù)或偶數(shù),它們的差必為偶數(shù),問題得證. 后一證明十分巧妙,通過編號碼,將兩樹間距離轉(zhuǎn)化為號碼差.這種轉(zhuǎn)化的思想方法是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法 例題答案: 1. 分析:5個點的分布是任意的。如果要證明“在邊長為1的等邊三角形內(nèi)(包括邊界)有5個點,那么這5個點中一定有距離不大于的兩點”,則順次連接三角形三邊中點,即三角形的三條中位線,可以分原等邊三角形為4個全等的邊長為的小等邊三角形,則5個點中必有2點位于同一個小等邊三角形中(包括邊界),其距離便不大于。 以上結(jié)論要由定理“三角形內(nèi)(包括邊界)任意兩點間的距離不大于其最大邊長”來保證,下面我們就來證明這個定理。 如圖2,設(shè)BC是△ABC的最大邊,P,M是△ABC內(nèi)(包括邊界)任意兩點,連接PM,過P分別作AB、BC邊的平行線,過M作AC邊的平行線,設(shè)各平行線交點為P、Q、N,那么 ∠PQN=∠C,∠QNP=∠A 因為BC≥AB,所以∠A≥∠C,則∠QNP≥∠PQN,而∠QMP≥∠QNP≥∠PQN(三角形的外角大于不相鄰的內(nèi)角),所以 PQ≥PM。顯然BC≥PQ,故BC≥PM。 由此我們可以推知,邊長為的等邊三角形內(nèi)(包括邊界)兩點間的距離不大于。 說明: (1)這里是用等分三角形的方法來構(gòu)造“抽屜”。類似地,還可以利用等分線段、等分正方形的方法來構(gòu)造“抽屜”。例如“任取n+1個正數(shù)ai,滿足0<ai≤1(i=1,2,…,n+1),試證明:這n+1個數(shù)中必存在兩個數(shù),其差的絕對值小于”。又如:“在邊長為1的正方形內(nèi)任意放置五個點,求證:其中必有兩點,這兩點之間的距離不大于。 ?。?)例1中,如果把條件(包括邊界)去掉,則結(jié)論可以修改為:至少有兩個點之間的距離小于",請讀者試證之,并比較證明的差別。 (3)用同樣的方法可證明以下結(jié)論: i)在邊長為1的等邊三角形中有n2+1個點,這n2+1個點中一定有距離不大于的兩點。 ii)在邊長為1的等邊三角形內(nèi)有n2+1個點,這n2+1個點中一定有距離小于的兩點。 ?。?)將(3)中兩個命題中的等邊三角形換成正方形,相應(yīng)的結(jié)論中的換成,命 題仍然成立。 ?。?)讀者還可以考慮相反的問題:一般地,“至少需要多少個點,才能夠使得邊長 為1的正三角形內(nèi)(包括邊界)有兩點其距離不超過”。 2.分析:本題似乎茫無頭緒,從何入手?其關(guān)鍵何在?其實就在“兩個數(shù)”,其中一個是另一個的整數(shù)倍。我們要構(gòu)造“抽屜”,使得每個抽屜里任取兩個數(shù),都有一個是另一個的整數(shù)倍,這只有把公比是正整數(shù)的整個等比數(shù)列都放進去同一個抽屜才行,這里用得到一個自然數(shù)分類的基本知識:任何一個正整數(shù)都可以表示成一個奇數(shù)與2的方冪的積,即若m∈N+,K∈N+,n∈N,則m=(2k-1)2n,并且這種表示方式是唯一的,如1=12,2=121,3=32,…… 證明:因為任何一個正整數(shù)都能表示成一個奇數(shù)乘2的方冪,并且這種表示方法是唯一的,所以我們可把1-100的正整數(shù)分成如下50個抽屜(因為1-100中共有50個奇數(shù)): (1){1,12,122,123,124,125,126}; ?。?){3,32,322,323,324,325}; (3){5,52,522,523,524}; ?。?){7,72,722,723}; ?。?){9,92,922,923}; (6){11,112,1122,1123}; …… ?。?5){49,492}; ?。?6){51}; …… ?。?0){99}。 這樣,1-100的正整數(shù)就無重復(fù),無遺漏地放進這50個抽屜內(nèi)了。從這100個數(shù)中任取51個數(shù),也即從這50個抽屜內(nèi)任取51個數(shù),根據(jù)抽屜原則,其中必定至少有兩個數(shù)屬于同一個抽屜,即屬于(1)-(25)號中的某一個抽屜,顯然,在這25個抽屜中的任何同一個抽屜內(nèi)的兩個數(shù)中,一個是另一個的整數(shù)倍。 說明: ?。?)從上面的證明中可以看出,本題能夠推廣到一般情形:從1-2n的自然數(shù)中,任意取出n+1個數(shù),則其中必有兩個數(shù),它們中的一個是另一個的整數(shù)倍。想一想,為什么?因為1-2n中共含1,3,…,2n-1這n個奇數(shù),因此可以制造n個抽屜,而n+1>n,由抽屜原則,結(jié)論就是必然的了。給n以具體值,就可以構(gòu)造出不同的題目。例2中的n取值是50,還可以編制相反的題目,如:“從前30個自然數(shù)中最少要(不看這些數(shù)而以任意方式地)取出幾個數(shù),才能保證取出的數(shù)中能找到兩個數(shù),其中較大的數(shù)是較小的數(shù)的倍數(shù)?” (2)如下兩個問題的結(jié)論都是否定的(n均為正整數(shù))想一想,為什么? ?、購?,3,4,…,2n+1中任取n+1個數(shù),是否必有兩個數(shù),它們中的一個是另一個的整數(shù)倍? ?、趶?,2,3,…,2n+1中任取n+1個數(shù),是否必有兩個數(shù),它們中的一個是另一個的整數(shù)倍? 你能舉出反例,證明上述兩個問題的結(jié)論都是否定的嗎? (3)如果將(2)中兩個問題中任取的n+1個數(shù)增加1個,都改成任取n+2個數(shù),則它們的結(jié)論是肯定的還是否定的?你能判斷證明嗎? 3.證明:把前25個自然數(shù)分成下面6組: 1; ?、? 2,3; ② 4,5,6; ③ 7,8,9,10; ?、? 11,12,13,14,15,16; ⑤ 17,18,19,20,21,22,23, ?、? 因為從前25個自然數(shù)中任意取出7個數(shù),所以至少有兩個數(shù)取自上面第②組到第⑥組中的某同一組,這兩個數(shù)中大數(shù)就不超過小數(shù)的1.5倍。 說明: (1)本題可以改變敘述如下:在前25個自然數(shù)中任意取出7個數(shù),求證其中存在兩個數(shù),它們相互的比值在內(nèi)。 顯然,必須找出一種能把前25個自然數(shù)分成6(7-1=6)個集合的方法,不過分類時有一個限制條件:同一集合中任兩個數(shù)的比值在內(nèi),故同一集合中元素的數(shù)值差不得過大。這樣,我們可以用如上一種特殊的分類法:遞推分類法: 從1開始,顯然1只能單獨作為1個集合{1};否則不滿足限制條件。 能與2同屬于一個集合的數(shù)只有3,于是{2,3}為一集合。 如此依次遞推下去,使若干個連續(xù)的自然數(shù)屬于同一集合,其中最大的數(shù)不超過最小的數(shù)的倍,就可以得到滿足條件的六個集合。 ?。?)如果我們按照(1)中的遞推方法依次造“抽屜”,則第7個抽屜為 {26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39}; 第8個抽屜為:{40,41,42,…,60}; 第9個抽屜為:{61,62,63,…,90,91}; …… 那么我們可以將例3改造為如下一系列題目: ?。?)從前16個自然數(shù)中任取6個自然數(shù); ?。?)從前39個自然數(shù)中任取8個自然數(shù); ?。?)從前60個自然數(shù)中任取9個自然數(shù); ?。?)從前91個自然數(shù)中任取10個自然數(shù);… 都可以得到同一個結(jié)論:其中存在2個數(shù),它們相互的比值在]內(nèi)。 上述第(4)個命題,就是前蘇聯(lián)基輔第49屆數(shù)學(xué)競賽試題。如果我們改變區(qū)間[](p>q)端點的值,則又可以構(gòu)造出一系列的新題目來。 4.分析與解答:一個有著10個元素的集合,它共有多少個可能的子集呢?由于在組成一個子集的時候,每一個元素都有被取過來或者不被取過來兩種可能,因此,10個元素的集合就有210=1024個不同的構(gòu)造子集的方法,也就是,它一共有1024個不同的子集,包括空集和全集在內(nèi)??占c全集顯然不是考慮的對象,所以剩下1024-2=1022個非空真子集。 再來看各個真子集中一切數(shù)字之和。用N來記這個和數(shù),很明顯: 10≤N≤91+92+93+94+95+96+97+98+99=855 這表明N至多只有855-9=846種不同的情況。由于非空真子集的個數(shù)是1022,1022>846,所以一定存在兩個子集A與B, 使得A中各數(shù)之和=B中各數(shù)之和。 若A∩B=φ,則命題得證,若A∩B=C≠φ,即A與B有公共元素,這時只要剔除A與B中的一切公有元素,得出兩個不相交的子集A1與B1,很顯然 A1中各元素之和=B1中各元素之和,因此A1與B1就是符合題目要求的子集。 說明:本例能否推廣為如下命題: 已給一個由m個互不相等的n位十進制正整數(shù)組成的集合。求證:這個集合必有兩個無公共元素的子集合,各子集合中各數(shù)之和相等。 請讀者自己來研究這個問題。 5.分析與解答:由中點坐標(biāo)公式知,坐標(biāo)平面兩點(x1,y1)、(x2,y2)的中點坐標(biāo)是。欲使都是整數(shù),必須而且只須x1與x2,y1與y2的奇偶性相同。坐標(biāo)平面上的任意整點按照橫縱兩個坐標(biāo)的奇偶性考慮有且只有如下四種:(奇數(shù)、奇數(shù)),(偶數(shù),偶數(shù)),(奇數(shù),偶數(shù)),(偶數(shù),奇數(shù))以此構(gòu)造四個“抽屜”,則在坐標(biāo)平面上任取五個整點,那么至少有兩個整點,屬于同一個“抽屜”因此它們連線的中點就必是整點。 說明:我們可以把整點的概念推廣:如果(x1,x2,…xn)是n維(元)有序數(shù)組,且x1,x2,…xn中的每一個數(shù)都是整數(shù),則稱(x1,x2,…xn)是一個n維整點(整點又稱格點)。如果對所有的n維整點按每一個xi的奇偶性來分類,由于每一個位置上有奇、偶兩種可能性,因此共可分為22…2=2n個類。這是對n維整點的一種分類方法。當(dāng)n=3時,23=8,此時可以構(gòu)造命題:“任意給定空間中九個整點,求證它們之中必有兩點存在,使連接這兩點的直線段的內(nèi)部含有整點”。這就是1971年的美國普特南數(shù)學(xué)競賽題。在n=2的情形,也可以構(gòu)造如下的命題:“平面上任意給定5個整點”,對“它們連線段中點為整點”的4個命題中,為真命題的是: (A)最少可為0個,最多只能是5個 (B)最少可為0個,最多可取10個 ?。–)最少為1個,最多為5個 (D)最少為1個,最多為10個 ?。ㄕ_答案(D)) 6.分析:本題也似乎是茫無頭緒,無從下手,其關(guān)鍵何在?仔細審題,它們的“和”能“被100整除”應(yīng)是做文章的地方。如果把這100個數(shù)排成一個數(shù)列,用Sm記其前m項的和,則其可構(gòu)造S1,S2,…S100共100個"和"數(shù)。討論這些“和數(shù)”被100除所得的余數(shù)。注意到S1,S2,…S100共有100個數(shù),一個數(shù)被100除所得的余數(shù)有0,1,2,…99共100種可能性?!疤O果”數(shù)與“抽屜”數(shù)一樣多,如何排除“故障”? 證明:設(shè)已知的整數(shù)為a1,a2,…a100考察數(shù)列a1,a2,…a100的前n項和構(gòu)成的數(shù)列S1,S2,…S100。 如果S1,S2,…S100中有某個數(shù)可被100整除,則命題得證。否則,即S1,S2,…S100均不能被100整除,這樣,它們被100除后余數(shù)必是{1,2,…,99}中的元素。由抽屜原理I知,S1,S2,…S100中必有兩個數(shù),它們被100除后具有相同的余數(shù)。不妨設(shè)這兩個數(shù)為Si,Sj(i<j),則100∣(Sj-Si),即100∣。命題得證。 說明:有時候直接對所給對象作某種劃分,是很難構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)某閷系摹_@時候,我們需要對所給對象先作一些變換,然后對變換得到的對象進行分類,就可以構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)某閷稀1绢}直接對{an}進行分類是很難奏效的。但由{an}構(gòu)造出{Sn}后,再對{Sn}進行分類就容易得多。 另外,對{Sn}按模100的剩余類劃分時,只能分成100個集合,而{Sn}只有100項,似乎不能應(yīng)用抽屜原則。但注意到余數(shù)為0的類恰使結(jié)論成立,于是通過分別情況討論后,就可去掉余數(shù)為0的類,從而轉(zhuǎn)化為100個數(shù)分配在剩下的99個類中。這種處理問題的方法應(yīng)當(dāng)學(xué)會,它會助你從“山窮水盡疑無路”時,走入“柳暗花明又一村”中。 最后,本例的結(jié)論及證明可以推廣到一般情形(而且有加強的環(huán)節(jié)): 在任意給定的n個整數(shù)中,都可以找出若干個數(shù)來(可以是一個數(shù)),它們的和可被n整除,而且,在任意給定的排定順序的n個整數(shù)中,都可以找出若干個連續(xù)的項(可以是一項),它們的和可被n整除。 將以上一般結(jié)論中的n賦以相應(yīng)的年份的值如xx,xx,xx…,就可以編出相應(yīng)年份的試題來。如果再賦以特殊背景,則可以編出非常有趣的數(shù)學(xué)智力題來,如下題: 有100只猴子在吃花生,每只猴子至少吃了1粒花生,多者不限。請你證明:一定有若干只猴子(可以是一只),它們所吃的花生的粒數(shù)總和恰好是100的倍數(shù)。 7.證明:視17個科學(xué)家為17個點,每兩個點之間連一條線表示這兩個科學(xué)家在討論同一個問題,若討論第一個問題則在相應(yīng)兩點連紅線,若討論第2個問題則在相應(yīng)兩點連條黃線,若討論第3個問題則在相應(yīng)兩點連條藍線。三名科學(xué)家研究同一個問題就轉(zhuǎn)化為找到一個三邊同顏色的三角形。 考慮科學(xué)家A,他要與另外的16位科學(xué)家每人通信討論一個問題,相應(yīng)于從A出發(fā)引出16條線段,將它們?nèi)境?種顏色,而16=35+1,因而必有6=5+1條同色,不妨記為AB1,AB2,AB3,AB4,AB5,AB6同紅色,若Bi(i=1,2,…,6)之間有紅線,則出現(xiàn)紅色三角線,命題已成立;否則B1,B2,B3,B4,B5,B6之間的連線只染有黃藍兩色。 考慮從B1引出的5條線,B1B2,B1B3,B1B4,B1B5,B1B6,用兩種顏色染色,因為5=22+1,故必有3=2+1條線段同色,假設(shè)為黃色,并記它們?yōu)锽1B2,B1B3,B1B4。這時若B2,B3,B4之間有黃線,則有黃色三角形,命題也成立,若B2,B3,B4,之間無黃線,則△B2,B3,B4,必為藍色三角形,命題仍然成立。 說明:(1)本題源于一個古典問題--世界上任意6個人中必有3人互相認(rèn)識,或互相不認(rèn)識。(美國普特南數(shù)學(xué)競賽題)。 ?。?)將互相認(rèn)識用紅色表示,將互相不認(rèn)識用藍色表示,(1)將化為一個染色問題,成為一個圖論問題:空間六個點,任何三點不共線,四點不共面,每兩點之間連線都涂上紅色或藍色。求證:存在三點,它們所成的三角形三邊同色。 ?。?)問題(2)可以往兩個方向推廣:其一是顏色的種數(shù),其二是點數(shù)。 本例便是方向一的進展,其證明已知上述。如果繼續(xù)沿此方向前進,可有下題: 在66個科學(xué)家中,每個科學(xué)家都和其他科學(xué)家通信,在他們的通信中僅僅討論四個題目,而任何兩個科學(xué)家之間僅僅討論一個題目。證明至少有三個科學(xué)家,他們互相之間討論同一個題目。 ?。?)回顧上面證明過程,對于17點染3色問題可歸結(jié)為6點染2色問題,又可歸結(jié)為3點染一色問題。反過來,我們可以繼續(xù)推廣。從以上(3,1)→(6,2)→(17,3)的過程,易發(fā)現(xiàn) 6=(3-1)2+2,17=(6-1)3+2,66=(17-1)4+2, 同理可得(66-1)5+2=327,(327-1)6+2=1958…記為r1=3,r2=6,r3=17,r4=66,r5=327,r6=1958,… 我們可以得到遞推關(guān)系式:rn=n(rn-1-1)+2,n=2,3,4…這樣就可以構(gòu)造出327點染5色問題,1958點染6色問題,都必出現(xiàn)一個同色三角形。- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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