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2019-2020年高三數學第一輪復習單元講座 第28講 數列概念及等差數列教案 新人教版 一．課標要求： 1．數列的概念和簡單表示法；通過日常生活中的實例，了解數列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式），了解數列是一種特殊函數； 2．通過實例，理解等差數列的概念，探索并掌握等差數列的通項公式與前n項和的公式； 3．能在具體的問題情境中，發(fā)現數列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題。體會等差數列與一次函數的關系。 二．命題走向 數列在歷年高考都占有很重要的地位，一般情況下都是一至二個客觀性題目和一個解答題。對于本將來講，客觀性題目主要考察數列、等差數列的概念、性質、通項公式、前n項和公式等基本知識和基本性質的靈活應用，對基本的計算技能要求比較高。 預測07年高考： 1．題型既有靈活考察基礎知識的選擇、填空，又有關于數列推導能力或解決生產、生活中的實際問題的解答題； 2．知識交匯的題目一般是數列與函數、不等式、解析幾何、應用問題聯系的綜合題，還可能涉及部分考察證明的推理題。 三．要點精講 1．數列的概念 （1）數列定義：按一定次序排列的一列數叫做數列； 數列中的每個數都叫這個數列的項。記作，在數列第一個位置的項叫第1項（或首項），在第二個位置的叫第2項，……，序號為 的項叫第項（也叫通項）記作； 數列的一般形式：，，，……，，……，簡記作 。 （2）通項公式的定義：如果數列的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式。 例如，數列①的通項公式是= （7，），數列②的通項公式是= （）。 說明：①表示數列，表示數列中的第項，= 表示數列的通項公式；② 同一個數列的通項公式的形式不一定唯一。例如，= =； ③不是每個數列都有通項公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）數列的函數特征與圖象表示： 序號：1 2 3 4 5 6 項 ：4 5 6 7 8 9 上面每一項序號與這一項的對應關系可看成是一個序號集合到另一個數集的映射。從函數觀點看，數列實質上是定義域為正整數集（或它的有限子集）的函數當自變量從1開始依次取值時對應的一系列函數值……，，……．通常用來代替，其圖象是一群孤立點。 （4）數列分類：①按數列項數是有限還是無限分：有窮數列和無窮數列；②按數列項與項之間的大小關系分：單調數列（遞增數列、遞減數列）、常數列和擺動數列。 （5）遞推公式定義：如果已知數列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個 數列的遞推公式。 2．等差數列 （1）等差數列定義：一般地，如果一個數列從第項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。 （2）等差數列的通項公式：； 說明：等差數列（通常可稱為數列）的單調性：為遞增數列，為常數列， 為遞減數列。 （3）等差中項的概念： 定義：如果，，成等差數列，那么叫做與的等差中項。其中 ，，成等差數列。 （4）等差數列的前和的求和公式：。 四．典例解析 題型1：數列概念 例1．根據數列前4項，寫出它的通項公式： （1）1，3，5，7……； （2），，，； （3），，，。 解析：（1）=2； （2）= ； （3）= 。 點評：每一項序號與這一項的對應關系可看成是一個序號到另一個數集的對應關系，這對考生的歸納推理能力有較高的要求。 例2．數列中，已知， （1）寫出，，； （2）是否是數列中的項？若是，是第幾項？ 解析：（1）∵，∴， ，； （2）令，解方程得， ∵，∴， 即為該數列的第15項。 點評：該題考察數列通項的定義，會判斷數列項的歸屬。 題型2：數列的遞推公式 例3．如圖,一粒子在區(qū)域上運動,在第一秒內它從原點運動到點,接著按圖中箭頭所示方向在x軸、y軸及其平行方向上運動，且每秒移動一個單位長度。 （1）設粒子從原點到達點時，所經過的時間分別為，試寫出的通相公式； （2）求粒子從原點運動到點時所需的時間； （3）粒子從原點開始運動，求經過xx秒后，它所處的坐標。 解析：(1) 由圖形可設，當粒子從原點到達時，明顯有 …　　　　　　　　　　　　　… ∴＝, 。 , 。 , , 即。 （2）有圖形知，粒子從原點運動到點時所需的時間是到達點所經過得時間 再加（44－16）＝28秒， 所以秒。 （3）由xx，解得，取最大得n=44， 經計算，得＝19800， 又S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0， 由S7>S8，得a8<0，而C選項S9>S5，即a6+a7+a8+a9>02（a7+a8）>0， 由題設a7=0，a8<0，顯然C選項是錯誤的。 （2）答案：C 解法一：由題意得方程組， 視m為已知數，解得， ∴。 解法二：設前m項的和為b1，第m+1到2m項之和為b2，第2m+1到3m項之和為b3，則b1，b2，b3也成等差數列。 于是b1=30，b2=100－30=70，公差d=70－30=40。 ∴b3=b2+d=70+40=110 ∴前3m項之和S3m=b1+b2+b3=210. 解法三：取m=1，則a1=S1=30，a2=S2－S1=70，從而d=a2－a1=40。 于是a3=a2+d=70+40=110.∴S3=a1+a2+a3=210。 點評：本題考查等差數列的基本知識，及靈活運用等差數列解決問題的能力，解法二中是利用構造新數列研究問題，等比數列也有類似性質.解法三中，從題給選擇支獲得的信息可知，對任意變化的自然數m，題給數列前3m項的和是與m無關的不變量，在含有某種變化過程的數學問題，利用不變量的思想求解，立竿見影。 例14．（xx上海，21）在XOY平面上有一點列P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn），…，對每個自然數n，點Pn位于函數y=xx（）x（0＜a＜10＝的圖象上，且點Pn、點（n，0）與點（n+1，0）構成一個以Pn為頂點的等腰三角形。 （Ⅰ）求點Pn的縱坐標bn的表達式； （Ⅱ）若對每個自然數n，以bn，bn＋1，bn＋2為邊長能構成一個三角形，求a的取值范圍； （Ⅲ）（理）設Bn＝b1，b2…bn（n∈N）.若a?。á颍┲写_定的范圍內的最小整數，求數列｛Bn｝的最大項的項數。 （文）設cn＝lg（bn）（n∈N）.若a?。á颍┲写_定的范圍內的最小整數，問數列｛cn｝前多少項的和最大?試說明理由。 解析：.解：（Ⅰ）由題意，an＝n＋，∴bn＝xx（）。 （Ⅱ）∵函數y=xx（）x（0＜a＜10）遞減， ∴對每個自然數n，有bn＞bn＋1＞bn＋2 則以bn，bn＋1，bn＋2為邊長能構成一個三角形的充要條件是bn＋2＋bn＋1＞bn， 即（）2＋（－1）＞0， 解得a＜－5（1＋）或a＞5（－1）， ∴5（－1）＜a＜10． （Ⅲ）（理）∵5（－1）＜a＜10， ∴a=7，bn＝xx（）。 數列｛bn｝是一個遞減的正數數列.對每個自然數n≥2，Bn＝bnBn－1。 于是當bn≥1時，Bn≥Bn－1，當bn＜1時，Bn＜Bn－1， 因此，數列｛Bn｝的最大項的項數n滿足不等式bn≥1且bn＋1＜1。 由bn＝xx（）≥1，得n≤20.8，∴n=20。 （文）∵5（－1）＜a＜10，∴a=7，bn＝xx（）。 于是cn＝lg［xx（）］＝3＋lg2（n＋）lg0.7 數列｛cn｝是一個遞減的等差數列. 因此，當且僅當cn≥0，且cn＋1＜0時，數列｛cn｝的前n項的和最大。 由cn＝3＋lg2＋（n＋）lg0．7≥0， 得n≤20.8，∴n=20。 點評：本題主要考查函數的解析式，函數的性質，解不等式，等差、等比數列的有關知識，及等價轉化，數形結合等數學思想方法. 五．思維總結 1．數列的知識要點： （1）數列是特殊的函數，數列是定義在自然數集N（或它的有限子集｛1，2，3，…，n，…｝）上的函數f（n），當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值：f（1），f（2），f（3），…，f（n），…。數列的圖象是由一群孤立的點構成的。 （2）對于數列的通項公式要掌握：①已知數列的通項公式，就可以求出數列的各項；②根據數列的前幾項，寫出數列的一個通項公式，這是一個難點，在學習中要注意觀察數列中各項與其序號的變化情況，分解所給數列的前幾項，看看這幾項的分解中．哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項中變化部分與序號的聯系，從而歸納出構成數列的規(guī)律，寫出通項公式；③一個數列還可以用遞推公式來表示；④在數列｛an｝中，前n 項和Sn 與通項公式an 的關系，是本講內容一個重點，要認真掌握之。即an＝。特別要注意的是，若a1 適合由an＝Sn－Sn－1（n≥2）可得到的表達式，則an 不必表達成分段形式，可化統一為一個式子。 2．等差數列的知識要點： （1）等差數列定義an＋1－an＝d（常數）（n N），這是證明一個數列是等差數列的依據，要防止僅由前若干項，如a3－a2＝a2－a1＝d（常數）就說｛an｝是等差數列這樣的錯誤，判斷一個數列是否是等差數列。還可由an＋an＋2＝2 an＋1 即an＋2－an＋1＝an＋1－an 來判斷。 （2）等差數列的通項為an＝a1＋（n－1）d．可整理成an＝an＋（a1－d），當d≠0時，an 是關于n 的一次式，它的圖象是一條直線上，那么n 為自然數的點的集合。 （3）對于A 是a、b 的等差中項，可以表示成2 A＝a＋b。 （4）等差數列的前n 項和公式Sn＝n－na1＋d，可以整理成Sn＝n2＋。當d≠0時是n 的一個常數項為0的二次式。 （5）等差數列的判定方法： ①定義法：對于數列，若(常數)，則數列是等差數列； ②等差中項：對于數列，若，則數列是等差數列。 3．等差數列的性質： （1）在等差數列中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項； （2）在等差數列中，相隔等距離的項組成的數列是， 如：，，，，……；，，，，……； （3）在等差數列中，對任意，，，； （4）在等差數列中，若，，，且，則； 5．說明：設數列是等差數列，且公差為，（Ⅰ）若項數為偶數，設共有項，則①奇偶； ② ；（Ⅱ）若項數為奇數，設共有項，則①偶奇；②。 6．（1），時，有最大值；，時，有最小值；（2）最值的求法：①若已知，可用二次函數最值的求法（）；②若已知，則最值時的值（）可如下確定或。