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2019-2020年高中數學《指數函數及其性質》教案18（第三課時） 蘇教版必修1
導入新課
思路1.我們在學習指數函數的性質時,利用了指數函數的圖象的特點,并且是用類比和歸納的方法得出,在上節(jié)課的探究中我們知道,函數①y=3x,②y=3x+1,③y=3x-1的圖象之間的關系,由其中的一個可得到另外兩個的圖象,那么,對y=ax與y=ax+m(a>0,m∈R)有著怎樣的關系呢?在理論上,含有指數函數的復合函數是否具有奇偶性呢?這是我們本堂課研究的內容.教師點出課題:指數函數及其性質（3）.
思路2.我們在第一章中,已學習了函數的性質,特別是單調性和奇偶性是某些函數的重要特點,我們剛剛學習的指數函數,嚴格地證明了指數函數的單調性,便于我們在解題時應用這些性質,在實際生活中,往往遇到的不單單是指數函數,還有其他形式的函數,有的是指數函數的復合函數,我們需要研究它的單調性和奇偶性,這是我們面臨的問題也是我們本堂課要解決的問題——指數函數及其性質（3）.
推進新課
新知探究
提出問題
(1)指數函數有哪些性質?
(2)利用單調性的定義證明函數單調性的步驟有哪些?
(3)對復合函數,如何證明函數的單調性?
(4)如何判斷函數的奇偶性,有哪些方法?
活動：教師引導,學生回憶,教師提問,學生回答,積極交流,及時評價學生,學生有困惑時加以解釋,可用多媒體顯示輔助內容.
討論結果：(1)指數函數的圖象和性質
一般地,指數函數y=ax在底數a＞1及0＜a＜1這兩種情況下的圖象和性質如下表所示：
a>1
0
0時,y>1;x<0時,00時,01
（5）在R上是增函數
（5）在R上是減函數
(2)依據函數單調性的定義證明函數單調性的步驟是：
①取值.即設x1、x2是該區(qū)間內的任意兩個值且x1＜x2.
②作差變形.即求f（x2）－f（x1）,通過因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判斷差的符號的方向變形.
③定號.根據給定的區(qū)間和x2－x1的符號確定f（x2）－f（x1）的符號,當符號不確定時,可以進行分類討論.
④判斷.根據單調性定義作出結論.
(3)對于復合函數y=f(g(x))可以總結為:
當函數f(x)和g(x)的單調性相同時,復合函數y=f(g(x))是增函數;
當函數f(x)和g(x)的單調性相異即不同時,復合函數y=f(g(x))是減函數;
又簡稱為口訣“同增異減”.
(4)判斷函數的奇偶性:
一是利用定義法,即首先是定義域關于原點對稱,再次是考察式子f(x)與f(-x)的關系,最后確定函數的奇偶性;
二是作出函數圖象或從已知圖象觀察,若圖象關于原點或y軸對稱,則函數具有奇偶性.
應用示例
思路1
例1在同一坐標系下作出下列函數的圖象,并指出它們與指數函數y=2x的圖象的關系.
(1)y=2x+1與y=2x+2;(2)y=2x-1與y=2x-2.
活動：教師適當時候點撥,學生回想作圖的方法和步驟,特別是指數函數圖象的作法,學生回答并到黑板上作圖,教師指點學生,列出對應值表,抓住關鍵點,特別是(0,1)點,或用計算機作圖.
解：(1)列出函數數據表作出圖象如圖2-1-2-12.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
2x
0.125
0.25
0.5
1
2
4
8
2x+1
0.25
0.5
1
2
4
8
16
2x+2
0.5
1
2
4
8
16
32
圖2-1-2-12
比較可知函數y=2x+1、y=2x+2與y=2x的圖象的關系為：將指數函數y=2x的圖象向左平行移動1個單位長度,就得到函數y=2x+1的圖象;將指數函數y=2x的圖象向左平行移動2個單位長度,就得到函數y=2x+2的圖象.
(2)列出函數數據表作出圖象如圖2-1-2-13
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
2x
0.125
0.25
0.5
1
2
4
8
2x-1
0.625
0.125
0.25
0.5
1
2
4
2x-2
0.3125
0.625
0.125
0.25
0.5
1
2
圖2-1-2-13
比較可知函數y=2x-1、y=2x-2與y=2x的圖象的關系為：將指數函數y=2x的圖象向右平行移動1個單位長度,就得到函數y=2x-1的圖象;將指數函數y=2x的圖象向右平行移動2個單位長度,就得到函數y=2x-2的圖象.
點評：類似地,我們得到y(tǒng)=ax與y=ax+m(a>0,a≠1,m∈R)之間的關系:
y=ax+m(a>0,m∈R)的圖象可以由y=ax的圖象變化而來.
當m>0時,y=ax的圖象向左移動m個單位得到y(tǒng)=ax+m的圖象;
當m<0時,y=ax的圖象向右移動|m|個單位得到y(tǒng)=ax+m的圖象.
上述規(guī)律也簡稱為“左加右減”.
變式訓練
為了得到函數y=2x-3-1的圖象,只需把函數y=2x的圖象( )
A.向右平移3個單位長度,再向下平移1個單位長度
B.向左平移3個單位長度,再向下平移1個單位長度
C.向右平移3個單位長度,再向上平移1個單位長度
D.向左平移3個單位長度,再向上平移1個單位長度
答案：B
點評：對于有些復合函數的圖象,常用變換方法作出.
例2已知定義域為R的函數f(x)=是奇函數.
（1）求a,b的值；
（2）若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范圍.
活動：學生審題,考慮解題思路.求值一般是構建方程,求取值范圍一般要轉化為不等式,如果有困難,教師可以提示,（1）從條件出發(fā),充分利用奇函數的性質,由于定義域為R,所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),（2）在（1）的基礎上求出f(x),轉化為關于k的不等式,利用恒成立問題再轉化.
（1）解：因為f(x)是奇函數,
所以f(0)=0,即=0b=1,
所以f(x)=;
又由f（1）=-f（-1）知=a=2.
（2）解法一：由（1）知f(x)==+,易知f(x)在(-∞,+∞)上為減函數.
又因f(x)是奇函數,從而不等式：f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,
等價于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),因f(x)為減函數,由上式推得：
t2-2t>k-2t2,即對一切t∈R有3t2-2t-k>0,
從而判別式Δ=4+12k<0,
∴k<.
解法二：由（1）知f(x)=.
又由題設條件得<0,
即<0.
整理得>1,因底數2>1,故3t2-2t-k>0,
上式對一切t∈R均成立,從而判別式Δ=4+12k<0,即k<-.
點評：記住下列函數的增減性,對解題是十分有用的,若f(x)為增(減)函數,則為減(增)函數.
思路2
例1
設a>0,f(x)=在R上滿足f(-x)=f(x).
(1)求a的值;
(2)證明f(x)在(0,+∞)上是增函數.
活動：學生先思考或討論,如果有困難,教師提示,引導.
(1)求單獨一個字母的值,一般是轉化為方程,利用f(-x)=f(x)可建立方程.
(2)證明增減性一般用定義法,回憶定義法證明增減性的步驟,規(guī)范書寫的格式.
(1)解：依題意,對一切x∈R有f(-x)=f(x)成立,即+aex=.
所以=0對一切x∈R成立.由此可得=0,即a2=1.
又因為a>0,所以a=1.
(2)證明:設00,x2>0,x2-x1>0,得x2+x1>0,>0,1<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x)在（0,+∞）上是增函數.
點評：在已知等式f(-x)=f(x)成立的條件下,對應系數相等,求出a,也可用特殊值求解.證明函數的單調性,嚴格按定義寫出步驟,判斷過程盡量明顯直觀.
例2已知函數f(x)=3x,且x=a+2時,f(x)=18,g(x)=3的定義域為［0,1］.
(1)求g(x)的解析式;
(2)求g(x)的單調區(qū)間,確定其增減性并試用定義證明;
(3)求g(x)的值域.
解：(1)因為f(x)=3x,且x=a+2時f(x)=18,
所以f(a+2)=3a+2=18.所以3a=2.
所以g(x)=3ax-4x=(3a)x-4x.
所以g(x)=2x-4x.
(2)因為函數g(x)的定義域為［0,1］,令t=2x,因為x∈［0,1］時,函數t=2x在區(qū)間［0,1］上單調遞增,
所以t∈［1,2］,則g(t)=t-t2=-(t2-t)=-(t-)2+,t∈［1,2］.
因為函數t=2x在區(qū)間［0,1］上單調遞增,函數g(t)=t-t2在t∈［1,2］上單調遞減,
所以函數g(x)在區(qū)間［0,1］上單調遞減.
證明:設x1和x2是區(qū)間［0,1］上任意兩個值,且x11,所以函數y=3x在R上是增函數.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.
(2)0.75-0.1與0.750.1的底數都是0.75,它們可以看成函數y=0.75x,當x=-0.1和0.1時的函數值；因為1>0.75,所以函數y=0.75x在R上是減函數.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.
(3)1.012.7與1.013.5的底數都是1.01,它們可以看成函數y=1.01x,當x=2.7和3.5時的函數值；因為1.01>1,所以函數y=1.01x在R上是增函數.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5.
(4)0.993.3與0.994.5的底數都是0.99,它們可以看成函數y=0.99x,當x=3.3和4.5時的函數值；因為0.99<1,所以函數y=0.99x在R上是減函數.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.
8.(1)2m,2n可以看成函數y=2x,當x=m和n時的函數值;因為2>1,所以函數y=2x在R上是增函數.因為2m<2n,所以mn.
(3)am,an可以看成函數y=ax,當x=m和n時的函數值;因為0n.
(4)am,an可以看成函數y=ax,當x=m和n時的函數值;因為a>1,所以函數y=ax在R上是增函數.因為am>an,所以m>n.
點評：利用指數函數的單調性是解題的關鍵.
9.(1)死亡生物組織內碳14的剩余量P與時間t的函數解析式為P=().
當時間經過九個“半衰期”后,死亡生物組織內的碳14的含量為P=()=()9≈0.002.
答:當時間經過九個“半衰期”后,死亡生物組織內的碳14的含量約為死亡前含量的2‰,因此,還能用一般的放射性探測器測到碳14的存在.
(2)設大約經過t萬年后,用一般的放射性探測器測不到碳14,那么()<0.001,解得t>5.7.
答:大約經過6萬年后,用一般的放射性探測器是測不到碳14的.
B組
1.當0＜a＜1時,
a2x-7＞a4x-12x-7＜4x－1x＞－3;
當a＞1時,
a2x-7＞a4x-12x－7＞4x－1x＜－3.
綜上,當0＜a＜1時,不等式的解集是{x|x＞－3}；
當a＞1時,不等式的解集是{x|x＜－3}.
2.分析:像這種條件求值,一般考慮整體的思想,同時觀察指數的特點,要注重完全平方公式的運用.
解：(1)設y=x+x,
那么y2=(x+x)2=x+x-1+2.
由于x+x-1=3,所以y=.
(2)設y=x2+x-2,
那么y=(x+x-1)2-2.
由于x+x-1=3,
所以y=7.
(3)設y=x2-x-2,
那么y=(x+x-1)(x-x-1),
而(x-x-1)2=x2-2+x-2=,
所以y=3.
點評：整體代入和平方差,完全平方公式的靈活運用是解題的突破口.
3.解：已知本金為a元.
1期后的本利和為y1=a+ar=a(1+r),
2期后的本利和為y2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2,
3期后的本利和為y3=a(1+r)3,
…
x期后的本利和為y=a(1+r)x.
將a=1 000,r=0.022 5,x=5代入上式得
y=a(1+r)x=1 000(1+0.022 5)5=1 0001.02255≈1118.
答:本利和y隨存期x變化的函數關系式為y=a(1+r)x,5期后的本利和約為1 118元.
4.解：(1)因為y1=y2,所以a3x+1=a-2x.
所以3x+1=-2x.
所以x=.
(2)因為y1>y2,所以a3x+1>a-2x.所以當a>1時,3x+1>-2x.
所以x>.
所以當0
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指數函數及其性質
2019-2020年高中數學指數函數及其性質教案18第三課時
蘇教版必修1
2019
2020
年高
數學
指數函數
及其
性質
教案
18
第三
課時
蘇教版
必修
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