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2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)講義—向量高考教案蘇教版 知識(shí)清單 一、向量的有關(guān)概念 1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用來(lái)表示向量的有向線段的長(zhǎng)度). 2.向量的表示方法: ⑴字母表示法:如等. ⑵幾何表示法:用一條有向線段表示向量.如,等. ⑶坐標(biāo)表示法:在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)向量的起點(diǎn)O為在坐標(biāo)原點(diǎn),終點(diǎn)A坐標(biāo)為,則稱為的坐標(biāo),記為=. 注:向量既有代數(shù)特征,又有幾何特征,它是數(shù)形兼?zhèn)涞暮霉ぞ? 3.相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.兩向量與相等,記為. 注:向量不能比較大小,因?yàn)榉较驔](méi)有大小. 4.零向量:長(zhǎng)度為零的向量叫零向量.零向量只有一個(gè),其方向是任意的. 5.單位向量:長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.單位向量有無(wú)數(shù)個(gè),每一個(gè)方向都有一個(gè)單位向量. 6.共線向量:方向相同或相反的非零向量,叫共線向量.任一組共線向量都可以移到同一直線上.規(guī)定:與任一向量共線. 注:共線向量又稱為平行向量. 7.相反向量: 長(zhǎng)度相等且方向相反的向量. 二、向量的運(yùn)算 (一)運(yùn)算定義 ①向量的加減法，②實(shí)數(shù)與向量的乘積，③兩個(gè)向量的數(shù)量積,這些運(yùn)算的定義都是 “自然的”，它們都有明顯的物理學(xué)的意義及幾何意義. 其中向量的加減法運(yùn)算結(jié)果仍是向量，兩個(gè)向量數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量。研究這些運(yùn)算,發(fā)現(xiàn)它們有很好地運(yùn)算性質(zhì),這些運(yùn)算性質(zhì)為我們用向量研究問(wèn)題奠定了基礎(chǔ),向量確實(shí)是一個(gè)好工具.特別是向量可以用坐標(biāo)表示,且可以用坐標(biāo)來(lái)運(yùn)算,向量運(yùn)算問(wèn)題可以完全坐標(biāo)化. 刻劃每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號(hào)、坐標(biāo)語(yǔ)言。主要內(nèi)容列表如下： 運(yùn) 算 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 坐標(biāo)語(yǔ)言 加法與減法 += = 記=(x1,y1),=(x1,y2) 則=(x1+x2,y1+y2) =（x2-x1,y2-y1） += 實(shí)數(shù)與向量的乘積 =λ λ∈R 記=(x,y) 則λ=(λx,λy) 兩個(gè)向量的數(shù)量積 記 則=x1x2+y1y2 (二)運(yùn)算律 加法：①(交換律); ②(結(jié)合律) 實(shí)數(shù)與向量的乘積：①; ②;③ 兩個(gè)向量的數(shù)量積: ①=; ②(λ)=(λ)=λ();③(+)=+ 注：根據(jù)向量運(yùn)算律可知，兩個(gè)向量之間的線性運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘積的運(yùn)算法則，正確遷移實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以簡(jiǎn)化向量的運(yùn)算， 例如()2= (三)運(yùn)算性質(zhì)及重要結(jié)論 ⑴平面向量基本定理:如果是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù),使，稱為的線性組合。 ①其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底; ②平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線向量的方向分解為兩個(gè)向量的和,并且這種分解是唯一的. 這說(shuō)明如果且,那么. ③當(dāng)基底是兩個(gè)互相垂直的單位向量時(shí),就建立了平面直角坐標(biāo)系,因此平面向量基本定理實(shí)際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ). 向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)， 即若A(x，y)，則=（x,y）；當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即若A（x1,y1），B（x2,y2），則=(x2-x1,y2-y1) ⑵兩個(gè)向量平行的充要條件 符號(hào)語(yǔ)言： 坐標(biāo)語(yǔ)言為：設(shè)非零向量,則∥(x1,y1)=λ(x2,y2)， 即,或x1y2-x2y1=0, 在這里,實(shí)數(shù)λ是唯一存在的,當(dāng)與同向時(shí),λ>0；當(dāng)與異向時(shí),λ<0。|λ|=,λ的大小由及的大小確定。因此,當(dāng),確定時(shí)，λ的符號(hào)與大小就確定了.這就是實(shí)數(shù)乘向量中λ的幾何意義。 ⑶兩個(gè)向量垂直的充要條件 符號(hào)語(yǔ)言： 坐標(biāo)語(yǔ)言：設(shè)非零向量，則 ⑷兩個(gè)向量數(shù)量積的重要性質(zhì)： ① 即 (求線段的長(zhǎng)度); ②(垂直的判斷); ③ (求角度)。 以上結(jié)論可以(從向量角度)有效地分析有關(guān)垂直、長(zhǎng)度、角度等問(wèn)題,由此可以看到向量知識(shí)的重要價(jià)值. 注:①兩向量,的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)(其中),這個(gè)數(shù)的大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角的余弦有關(guān). ②叫做向量在方向上的投影（如圖）. 數(shù)量積的幾何意義是數(shù)量積等于的模與在方向上的投影的積. ③如果,,則=, ∴,這就是平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式. 課前預(yù)習(xí) 1．在中，（ ） 2.平面內(nèi)三點(diǎn),若∥，則x的值為(　) (A)-5 (B)-1 (C)1 (D)5 3. 設(shè)，， 是任意的非零平面向量，且相互不共線，則： ①()()=0 ②||-||<|| ③()()不與垂直 ④(3+2)(32)=9||2- 4|2中， 真命題是( )(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④ 4. △OAB中,=,=,=,若=，t∈R，則點(diǎn)P在( ) (A)∠AOB平分線所在直線上 (B)線段AB中垂線上 (C)AB邊所在直線上 (D)AB邊的中線上 5. 正方形對(duì)角線交點(diǎn)為M，坐標(biāo)原點(diǎn)O不在正方形內(nèi)部，且=（0，3），=（4，0），則=( ) (A)（） (B)（） (C)（7，4） (D)（） 6.已知,則實(shí)數(shù)x=_______. 7.已知?jiǎng)t_____, ______,與的夾角的余弦值是_____. 8．在△中,, ,若,則= ▲ .； 9. 已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為求的大小. 10. 已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC邊上的高為AD，求點(diǎn)D和向量坐標(biāo)。 11.在△OAB的邊OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，使||∶||=1∶3，||∶||=1∶4，設(shè)線段AN與BM交于點(diǎn)P，記= ，=，用 ，表示向量. 典型例題 一、平面向量的實(shí)際背景與基本概念 B A C O F D E 圖1 EG1.如圖1，設(shè)O是正六邊形的中心，分別寫出圖中與、、相等的向量。 變式1：如圖1，設(shè)O是正六邊形的中心，分別寫出 圖中與、共線的向量。 B A C O F D E 圖2 解： 變式2：如圖2，設(shè)O是正六邊形的中心，分別寫出圖中與 的模相等的向量以及方向相同的向量。 解： 二、平面向量的線性運(yùn)算 EG2. D C A B 如圖，在平行四邊形ABCD中，a ，b ， 你能用a，b表示向量 ，嗎？ 變式1：如圖，在五邊形ABCDE中，a ，b ， c ，d ， D E C A B 試用a ，b ， c ， d表示向量和. D C O A B 變式2：如圖，在平行四邊形ABCD中，若，a ，b 則下列各表述是正確的為（ ） A． B． C．a(chǎn) + b D．(a + b) 變式3：已知=a，=b, =c,=d, 且四邊形ABCD為平行四邊形，則（ ） A. a+b+c+d=0 B. a－b+c－d=0 C. a+b－c－d=0 D. a－b－c+d=0 變式4：在四邊形ABCD中，若，則此四邊形是(　　) A．平行四邊形　　　B．菱形　　　C．梯形　　 　D．矩形 變式5：已知a、b是非零向量，則|a|=|b|是(a+b)與(a－b)垂直的 （ ）  A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件  C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 變式6：在四邊形ABCD中，=a+2b，=－4a－b，=－5a－3b，其中a、b不共線，則四邊形ABCD為（ ） A.平行四邊形 B.矩形 C.梯形 D.菱形 變式7：已知菱形ABCD，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上（不包括端點(diǎn)A、C），則等（ ） A.λ(+),λ∈(0,1) B.λ(+),λ∈(0,) C.λ(－),λ∈(0,1) D.λ(),λ∈(0,) 變式8：已知D、E、F分別是△ABC的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，且=，=， =,則下列各式：①=－ ②= + ③=－ + ④++=其中正確的等式的個(gè)數(shù)為（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 EG3． b a 如圖，已知任意兩個(gè)非零向量a 、b ，試作a + b，a + 2b， a + 3b，你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？ 變式1：已知a + 2b，2a + 4b，3a + 6b (其中a 、b是兩個(gè)任意非零向量) ，證明：A、B、C三點(diǎn)共線． 證明：∵a + 2b，2a + 4b， ∴ 所以，A、B、C三點(diǎn)共線． 變式2：已知點(diǎn)A、B、C在同一直線上，并且a + b，a + 2b，a + 3b (其中a 、b是兩個(gè)任意非零向量) ，試求m、n之間的關(guān)系． EG4.已知四邊形ABCD，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，求證： 變式1：已知任意四邊形ABCD的邊AD和BC的中點(diǎn)分別為E、F， D C E F A B 求證：. 三、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 EG4.已知a = (4，2)，b = (6，y)，且a // b ，求 y ． 變式1：與向量a = (12，5) 平行的單位向量為（ ） A． B． C． 或 D． 或 變式2：已知a，b，當(dāng)a+2b與2a－b共線時(shí)，值為 （ ） A．1 B．2 C． D． 變式3：已知A(0,3) 、B(2,0) 、C(－1,3) 與方向相反的單位向量是( ) A．(0,1) B．(0,－1) C． (－1,1) D．(1,－1) 變式4：已知a = (1，0)，b = (2，1) ．試問(wèn)：當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí)， ka－b與a+3b平行, 平行時(shí)它們是同向還是反向？ EG5.設(shè)點(diǎn)P是線段上的一點(diǎn)，、的坐標(biāo)分別為，． (1) 當(dāng)點(diǎn)P是線段上的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2) 當(dāng)點(diǎn)P是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求P的坐標(biāo) 變式1：已知兩點(diǎn)，，，則P點(diǎn)坐標(biāo)是 （ ） O A P Q B a b A． B． C． D． 變式2：如圖，設(shè)點(diǎn)P、Q是線段AB的三等分點(diǎn)，若＝a， ＝b，則＝　　 　，＝　 (用a、b表示) 四、平面向量的數(shù)量積 EG6.已知|a|＝6，|b| ＝4且a與b的夾角為，求 (a + 2b)(ab) ． 變式1：已知那么與夾角為 A、 B、 C、 D、 變式2：已知向量a和b的夾角為60，| a | ＝ 3，| b | ＝ 4，則（2a – b）a等于 （A）15 （B）12 （C）6 （D）3 變式3：在△ABC中，已知||=4，||=1，S△ABC=，則等于（ ） A.－2 B.2 C.2 D.4 變式4：設(shè)向量與向量的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍. EG7.已知|a|＝3，|b| ＝4且a與b不共線，k為何實(shí)數(shù)時(shí)，向量a + kb 與ab互相垂直？ 變式1：已知a⊥b ，|a|＝2，|b| ＝3，且向量3a + 2b與kab互相垂直，則k的值為（ ） A． B． C． D．1 變式2：已知|a|＝1，|b| ＝且（a－b）⊥a，則a與b夾角的大小為 ． EG8.已知a = (4，2)，求與向量a 垂直的單位向量的坐標(biāo)． 變式1：若i = (1,0), j =(0,1)，則與2i+3j垂直的向量是 ( ) A．3i+2j B．－2i+3j C．－3i+2j D．2i－3j 變式2：已知向量，，若與垂直，則實(shí)數(shù)=（ ） A．1 B．－1 C．0 D．2 變式3：若非零向量互相垂直，則下列各式中一定成立的是 （ ） A． B． C． D． 變式4：已知向量a＝（3，－4），b＝（2，x）， c＝（2，y）且a∥b，ac．求|b－c|的值． EG9.已知A (1，2)，B (2，3)，C (，5)，試判斷的形狀，并給出證明． 變式1：是所在的平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則 一定為（ ） A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．斜三角形 變式2：已知A、B、C三點(diǎn)不共線，O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若＋＋＝0，則O是△ABC的（ ） A． 重心 B． 垂心 C． 內(nèi)心 D． 外心 變式3：已知，則△ABC一定是 （ ） A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形 變式4：四邊形中， （1）若，試求與滿足的關(guān)系式； （2）滿足（1）的同時(shí)又有，求的值及四邊形的面積。 五、平面向量應(yīng)用舉例 EG10.題目意圖：用平面向量的方法證明平面幾何命題：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于其兩條鄰邊的平方和的兩倍 變式1：如圖，矩形ABCD內(nèi)接于半徑為r的圓O，點(diǎn)P是圓周上任意一點(diǎn)， 求證：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2. 變式2：已知△ABC中，，若，求證：△ABC為正三角形. 變式3：已知平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC與BD交于E，O是任意一點(diǎn)，求證. 變式4：四邊形ABCD的邊AD和BC的中點(diǎn)分別為E、F， 求證： 實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練 1.（08全國(guó)一3）在中，，．若點(diǎn)滿足，則 A． B． C． D． 2.（08安徽卷3）．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線，若，,則（ ） A． （－2，－4） B．（－3，－5） C．（3，5） D．（2，4） 3.（08湖北卷1）設(shè),,則C A.　　　　B. C. D. 4.（08湖南卷7）設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且則與( ) A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 5.（08陜西卷15）關(guān)于平面向量．有下列三個(gè)命題： ①若，則．②若，，則． ③非零向量和滿足，則與的夾角為． 其中真命題的序號(hào)為　　　?。▽懗鏊姓婷}的序號(hào)） 6.（08廣東卷8）在平行四邊形中，與交于點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)．若，，則（ ） A． B． C． D． 7.（08浙江卷9）已知，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足,則的最大值是 （A）1 （B）2 （C） （D） 8.（08遼寧卷5）已知O，A，B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿足，則（ ） A． B． C． D． 9.（08海南卷8）平面向量，共線的充要條件是（ ） A. ，方向相同 B. ，兩向量中至少有一個(gè)為零向量 C. ， D. 存在不全為零的實(shí)數(shù)，， 10.（08上海卷5）若向量，滿足且與的夾角為，則　　　?。? 11.（08全國(guó)二13）設(shè)向量，若向量與向量共線，則 ． 12.（08北京卷10）已知向量與的夾角為，且，那么的值為 ． 13.（08天津卷14）已知平面向量，．若，則_____________． 14.（08江蘇卷5），的夾角為，， 則 ▲ ． 15.（08江西卷13）直角坐標(biāo)平面上三點(diǎn)，若為線段的三等分點(diǎn)，則= ． 16．（08海南卷13）已知向量，，且，則= _____ 17（08福建卷17）已知向量m=(sinA,cosA),n=，mn＝1，且A為銳角. （Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ）求函數(shù)的值域. 18.在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為，已知向量 且滿足， （Ⅰ）求角A的大??； （Ⅱ）若試判斷的形狀。 19.已知向量，若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和 （I）求的值； （II）求的最小正周期，并求在上的最小值； （III）當(dāng)時(shí)，求的值． 20.在中， 所對(duì)邊分別為.已知 ,且. （Ⅰ）求大小. （Ⅱ）若求的面積S的大小. 21.已知向量，，記． （1）求f(x)的解析式并指出它的定義域； （2）若，且，求． 22.已知向量,,,設(shè). (Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期. (Ⅱ)若,且,求的值. 23.（xx年陜西卷理17.）設(shè)函數(shù)f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)， （Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值； （Ⅱ）求函數(shù)f(x)的最小值及此時(shí)x的值的集合. 24.(07年陜西卷文17）.設(shè)函數(shù).其中向量 . （Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值; （Ⅱ）求函數(shù)的最小值.