2019-2020年高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖》講義 自主梳理 1.多面體的結(jié)構(gòu)特征 (1)棱柱的上下底面____平行　____，側(cè)棱都___平行_____且___長(zhǎng)度相等　______，上底面和下底面是___全等_____的多邊形. (2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)__公共頂點(diǎn)____的三角形. (3)棱臺(tái)可由____平行于棱錐底面　___的平面截棱錐得到，其上下底面的兩個(gè)多邊形___相似_____. ①正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形． ②正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐．特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體．反過(guò)來(lái)，正棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心． ③正棱錐問(wèn)題常歸結(jié)到它的高、側(cè)棱、斜高、底面正多邊形內(nèi)切圓半徑或外接圓半徑、底面邊長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形中解決. ④臺(tái)體可以看成是由錐體截得的，但一定強(qiáng)調(diào)截面與底面平行. 2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 (1)圓柱可以由矩形繞其__一邊所在直線____旋轉(zhuǎn)得到. (2)圓錐可以由直角三角形繞其_____一條直角邊所在直線____旋轉(zhuǎn)得到. (3)圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰所在直線或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)的連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由___平行于圓錐底面　____的平面截圓錐得到. (4)球可以由半圓或圓繞其__直徑______旋轉(zhuǎn)得到. 3.空間幾何體的三視圖的概念及畫(huà)法 空間幾何體的三視圖是用__正投影________得到，這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是_____完全相同___的，三視圖包括____正視圖____、____側(cè)視圖___、___俯視圖___.　　　　 畫(huà)空間幾何體的三視圖的兩個(gè)步驟 第一步，確定三個(gè)視圖的形狀；在繪制三視圖時(shí)，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線.分界線和可見(jiàn)輪廓線都用實(shí)線畫(huà)出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來(lái)，即“眼見(jiàn)為實(shí)、不見(jiàn)為虛”. 第二步，將這三個(gè)視圖擺放在平面上. 三視圖的安排規(guī)則是：正視圖與側(cè)視圖分別在左右兩邊，俯視圖畫(huà)在正視圖的下方 三視圖與空間幾何體中的幾何量的關(guān)系 空間幾何體的數(shù)量關(guān)系體現(xiàn)在三視圖中，正視圖和側(cè)視圖的“高平齊”，正視圖和俯視圖的“長(zhǎng)對(duì)正”，側(cè)視圖和俯視圖的“寬相等”.其中，正視圖、側(cè)視圖的高就是空間幾何體的高，正視圖、俯視圖中的長(zhǎng)就是空間幾何體的最大長(zhǎng)度，側(cè)視圖、俯視圖中的寬就是空間幾何體的最大寬度. 空間幾何體的三視圖是該幾何體在兩兩垂直的三個(gè)平面上的正投影.同一幾何體擺放的角度不同，其三視圖可能不同，不要忽視這一點(diǎn). 4.空間幾何體的直觀圖的概念及斜二測(cè)畫(huà)法 畫(huà)空間幾何體的直觀圖常用_____斜二測(cè)___畫(huà)法，基本步驟是： (1)畫(huà)幾何體的底面 ①在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，且使∠x(chóng)′O′y′＝_45(或135)_________. ③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度__保持不變__________，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)開(kāi)_原來(lái)的一半______. (2)畫(huà)幾何體的高 在已知圖形中過(guò)O點(diǎn)作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對(duì)應(yīng)的z′軸也垂直于x′O′y′平面，已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中仍平行于z′軸且長(zhǎng)度___不變___. 在斜二測(cè)畫(huà)法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段.“平行于x軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度減半.” 用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的平面圖形的直觀圖的面積S′與原平面圖形的面積S之間的關(guān)系是S′＝S 5．中心投影與平行投影 我們把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影稱為中心投影。 中心投影的優(yōu)缺點(diǎn)：它能非常逼真的反映原來(lái)的物體，主要應(yīng)用于繪畫(huà)領(lǐng)域，也常用來(lái)概括的描繪一個(gè)結(jié)構(gòu)或一個(gè)產(chǎn)品的外貌。由于投影中心，投影面和物體的相對(duì)位置改變時(shí)，直觀圖的大小和形狀亦將改變，因此在另外的一些領(lǐng)域，比如工程制圖或技術(shù)圖樣，一般不采用中心投影。 我們把在一束平行光線照射下形成的投影，稱為平行投影。平行投影按照投射方向是否正對(duì)著投影面，可以分為斜投影和正投影兩種。（如圖） (1)平行投影的投影線互相平行，而中心投影的投影線相交于一點(diǎn)． (2)從投影的角度看，三視圖和用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀圖都是在平行投影下畫(huà)出來(lái)的圖形． 基礎(chǔ)自測(cè) 1．如下圖幾何體中是棱柱的有( ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 2．以下命題： ①直角三角形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐； ②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)； ③圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余部分是圓臺(tái)；④夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是圓柱； ⑤一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)； ⑥圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓； 其中正確的命題序號(hào)是__③_⑥__. 3.一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的__①②③⑤______(填入所有可能的幾何體前的編號(hào)). ①三棱錐；②四棱錐；③三棱柱；④四棱柱；⑤圓錐；⑥圓柱. 4．如圖，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是(　D　) A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 在各自的三視圖中①正方體的三個(gè)視圖都相同；②圓錐有兩個(gè)視圖相同；③三棱臺(tái)的三個(gè)視圖都不同；④正四棱錐有兩個(gè)視圖相同． 5．將正三棱柱截去三個(gè)角(如圖1所示)，A，B，C分別是△GHI三邊的中點(diǎn)，得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖(或稱左視圖)為(　A　) ∵原幾何體是正三棱柱，且AE在平面EG中，∴在側(cè)視圖中，AE應(yīng)為豎直的． 6.如圖，△ABC為正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC且3AA′＝BB′＝CC′＝AB，則多面體ABC－A′B′C′的正視圖(也稱主視圖)是(　D　) 由AA′∥BB′∥CC′及CC′⊥平面ABC，知BB′⊥平面ABC.又CC′＝BB′，且△ABC為正三角形，故正視圖應(yīng)為D中的圖形． 7．若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是(　D　) 　 A，B的正視圖不符合要求，C的俯視圖顯然不符合要求，答案選D. 8．如圖是長(zhǎng)和寬分別相等的兩個(gè)矩形，給定下列三個(gè)命題： ①存在三棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如右圖； ②存在四棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如右圖； ③存在圓柱，其正(主)視圖、俯視圖如右圖． 其中真命題的個(gè)數(shù)是(　A　) A．3 B．2 C．1 D．0 底面是等腰直角三角形的三棱柱，當(dāng)它的一個(gè)矩形側(cè)面放置在水平面上時(shí)，它的正視圖和俯視圖可以是全等的矩形，因此①正確；若長(zhǎng)方體的高和寬相等，則存在滿足題意的兩個(gè)相等的矩形，因此②正確；當(dāng)圓柱側(cè)放時(shí)(即側(cè)視圖為圓時(shí))，它的正視圖和俯視圖可以是全等的矩形，因此③正確． 9.利用斜二測(cè)畫(huà)法得到的以下結(jié)論，正確的是___①②④_______.(寫(xiě)出所有正確的序號(hào)) ①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③正方形的直觀圖是正方形；④圓的直觀圖是橢圓；⑤菱形的直觀圖是菱形. 10．某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是(　　)． A．8－ B．8－ C．8－2π D. 解析　圓錐的底面半徑為1，高為2，該幾何體體積為正方體體積減去圓錐體積，即V＝222－π122＝8－π，正確選項(xiàng)為A. 題型分類剖析 題型一　空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 例1　給出下列命題：①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺(tái)；③若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直；④棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)．⑤存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體； 其中正確命題的序號(hào)是________． 解析　 ①錯(cuò)誤，因?yàn)槔庵牡酌娌灰欢ㄊ钦噙呅?，故?cè)面不一定都全等； ②錯(cuò)誤，必須用平行于底面的平面去截棱錐，才能得到棱臺(tái)； ③正確，因?yàn)槿齻€(gè)側(cè)面構(gòu)成的三個(gè)平面的二面角都是直二面角； ⑤正確，如圖所示，正方體AC1中的四棱錐C1—ABC，四個(gè)面都是直角三角形；⑥正確，由棱臺(tái)的概念可知．因此，正確命題的序號(hào)是③④⑤. 變式訓(xùn)練1 （1）下面是關(guān)于四棱柱的四個(gè)命題： ①若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱； ②若過(guò)兩個(gè)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱； ③若四個(gè)側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱； ④若四棱柱的四條對(duì)角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱. 其中，真命題的編號(hào)是_②④_______. （2）　下列結(jié)論正確的是(　　) A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐 B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐 C．棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是六棱錐 D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線 A錯(cuò)誤．如圖所示，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何 體，各面都是三角形，但它不是棱錐． B錯(cuò)誤．如下圖，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉(zhuǎn) 軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐． C錯(cuò)誤．若六棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，則底面多邊形是 正六邊形．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱 長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)．D正確．] （3）如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱它為“等腰四棱錐”，四條側(cè)棱稱為它的腰，以下4個(gè)命題中，假命題是 (　　)． A．等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等 B．等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補(bǔ) C．等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓 D．等腰四棱錐的各頂點(diǎn)必在同一球面上 解析　如圖，等腰四棱錐的側(cè)棱均相等， 其側(cè)棱在底面的射影也相等，則其腰與底 面所成角相等，即A正確；底面四邊形必 有一個(gè)外接圓，即C正確；在高線上可以 找到一個(gè)點(diǎn)O，使得該點(diǎn)到四棱錐各個(gè)頂 點(diǎn)的距離相等，這個(gè)點(diǎn)即為外接球的球心，即D正確；但四棱錐的側(cè)面與底面所成角不一定相等或互補(bǔ)(若為正四棱錐則成立)．故僅命題B為假命題．選B. 題型二　空間幾何體的三視圖 例2　已知三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則該三棱錐的側(cè)視圖可能為 (　B　) 探究提高　根據(jù)幾何體的直觀圖，畫(huà)三視圖，要根據(jù)三視圖的畫(huà)法規(guī)則進(jìn)行.要嚴(yán)格按以下幾點(diǎn)執(zhí)行： ①三視圖的安排位置. 正視圖、側(cè)視圖分別放在左、右兩邊，俯視圖放在正視圖的下邊. ②注意實(shí)虛線的區(qū)別. 變式訓(xùn)練2　 （1）一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體，所得幾何體的正視圖與側(cè)視圖分別如圖所示，則該幾何體的俯視圖為 (　C　) （2）如圖，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，且體積為，則該幾何體的俯視圖可以是(　C　) 解題導(dǎo)引　三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫(huà)出的輪廓線．解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清三視圖“長(zhǎng)、寬、高”的關(guān)系． C　[當(dāng)俯視圖為A中正方形時(shí)，幾何體為邊長(zhǎng)為1的正方體，體積為1；當(dāng)俯視圖為B中圓時(shí)，幾何體為底面半徑為，高為1的圓柱，體積為；當(dāng)俯視圖為C中三角形時(shí)，幾何體為三棱柱，且底面為直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，高為1，體積為；當(dāng)俯視圖為D中扇形時(shí)，幾何體為圓柱的，且體積為.] （3）在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為(　D　) 　由幾何體的正視圖和俯視圖可知，該幾何體的底面為半圓和等腰三角形，其側(cè)視圖可以是一個(gè)由等腰三角形及底邊上的高構(gòu)成的平面圖形，故應(yīng)選D. （4） 一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的________(填入所有可能的幾何體前的編號(hào))． ①三棱錐；②四棱錐；③三棱柱；④四棱柱；⑤圓錐；⑥圓柱． 解?、偃忮F的正視圖是三角形；②當(dāng)四棱錐的底面是四邊形放置時(shí)，其正視圖是三角形；③把三棱柱某一側(cè)面當(dāng)作底面放置，其底面正對(duì)著我們的視線時(shí)，它的正視圖是三角形；④對(duì)于四棱柱，不論怎樣放置， 其正視圖都不可能是三角形； ⑤當(dāng)圓錐的底面水平放置時(shí)，其正視圖是三角形；⑥圓柱不論怎樣放置，其正視圖也不可能是三角形． 答案?、佗冖邰? （5）將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的左視圖為 (　　) 沿一個(gè)正方體三個(gè)面的對(duì)角線截得的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為 (　B 　) 題型三　空間幾何體的直觀圖及斜二測(cè)畫(huà)法 例3　已知△ABC的直觀圖A′B′C′是邊長(zhǎng)為a的正三角形，求原△ABC的面積. 解　建立如圖所示的坐標(biāo)系xOy′， △A′B′C′的頂點(diǎn)C′在y′軸上， A′B′邊在x軸上，把y′軸繞原點(diǎn) 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45得y軸，在y軸上取點(diǎn) C使OC＝2OC′，A、B點(diǎn)即為A′、B′點(diǎn)，長(zhǎng)度不變. 已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得＝， 所以O(shè)C′＝a＝a，所以原三角形ABC的高OC＝a， 所以S△ABC＝aa＝a2. 探究提高　對(duì)于直觀圖，除了了解斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則外，還要了解原圖形面積S與其直觀圖面積S′之間的關(guān)系S′＝S，能進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的計(jì)算. 變式訓(xùn)練3　 （1）如圖所示，直觀圖四邊形A′B′C′D′ 是一個(gè)底角為45，腰和上底均為1的等腰梯形，那么 原平面圖形的面積是_＋2_______. （2）用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原來(lái)的圖形是(　　) A　[按照斜二測(cè)畫(huà)法的作圖規(guī)則，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證，可知只有選項(xiàng)A符合題意．] （3）　一個(gè)平面四邊形的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于(　B　) A.a2 B．2a2 C.a2 D.a2 根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)平面圖形的直觀圖的規(guī)則可知，在x軸上(或與x軸平行)的線段，其長(zhǎng)度保持不變；在y軸上(或與y軸平行)的線段，其長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，且∠x(chóng)′O′y′＝45(或135)，所以，若設(shè)原平面圖形的面積為S，則其直觀圖的面積為S′＝S＝S.可以得出一個(gè)平面圖形的面積S與它的直觀圖的面積S′之間的關(guān)系是S′＝S，本題中直觀圖的面積為a2，所以原平面四邊形的面積S＝＝2a2. 題型四　幾何體的截面問(wèn)題 例4　棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面 上，若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如圖所示，求圖中三角 形(正四面體的截面)的面積. 解　如圖所示，△ABE為題中的三角形，由已知得AB＝2，BE＝2＝， BF＝BE＝， AF＝＝ ＝ ， ∴△ABE的面積為S＝BEAF＝ ＝. ∴所求的三角形的面積為. 探究提高　解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析出組合體的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)揮自己的空間想象能力，把立體圖和截面圖對(duì)照分析，有機(jī)結(jié)合，找出幾何體中的數(shù)量關(guān)系，為了增加圖形的直觀性，常常畫(huà)一個(gè)截面圓作為襯托. 變式訓(xùn)練4 在棱長(zhǎng)為6的正四面體內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切 球(球與正四面體的四個(gè)面都相切)，經(jīng)過(guò)四面體的 一條棱及高作截面如圖.求內(nèi)切球的半徑. 　解　AB為正四面體的一條棱，所以AB＝6. BD為正四面體的一個(gè)面的高， 所以BD＝6＝3，同理AD＝3，又HD＝BD＝， ∴AH＝＝2，又△AOE∽△ADH， ∴＝，即＝，∴OE＝，∴內(nèi)切球的半徑為. 試題：一個(gè)空間幾何體的三視圖，如圖所示，則這個(gè)空間幾何體的表面積是________. 審題視角　(1)由三視圖還原成直觀圖，并注意數(shù)據(jù)的對(duì)應(yīng).(2)表面積包括哪些部分. 正確答案　4(π＋1) 解析　這是一個(gè)由軸截面割開(kāi)的半個(gè)圓柱與一個(gè)球的組合體，其表面積是圓柱的上下兩個(gè)底面半圓、圓柱的側(cè)面積的一半、圓柱的軸截面和球的表面積之和，故這個(gè)表面積是2π12＋2π12＋22＋4π2＝4(π＋1). 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖 一、選擇題 1.給出四個(gè)命題： ①各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱；②對(duì)角面是全等矩形的六面體一定是 長(zhǎng)方體；③有兩側(cè)面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④長(zhǎng)方體一定是正四棱柱. 其中正確的命題個(gè)數(shù)是 (　　) 　A.0 B.1 C.2 D.3 2.如圖是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，將其折疊起來(lái)，變成正方體后的圖形是 (　B　) 3．用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是(　C　)． A．圓柱 B．圓錐 C．球體 D．圓柱、圓錐、球體的組合體 解析　當(dāng)用過(guò)高線的平面截圓柱和圓錐時(shí)，截面分別為矩形和三角形，只有球滿足任意截面都是圓面． 4．一個(gè)棱柱是正四棱柱的條件是(　　) A．底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面是矩形B．底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面 C．底面是菱形，具有一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直D．每個(gè)側(cè)面都是全等矩形的四棱柱 5．下列說(shuō)法正確的是(　　)． A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱 B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱 C．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐 D．棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn) 二、填空題 6.對(duì)于四面體ABCD，下列命題正確的是___①④⑤_____.(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)) ①相對(duì)棱AB與CD所在的直線異面； ②由頂點(diǎn)A作四面體的高，其垂足是△BCD三條高線的交點(diǎn)； ③若分別作△ABC和△ABD的邊AB上的高，則這兩條高所在的直線異面； ④分別作三組相對(duì)棱中點(diǎn)的連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn)； ⑤最長(zhǎng)棱必有某個(gè)端點(diǎn)，由它引出的另兩條棱的長(zhǎng)度之和大于最長(zhǎng)棱. 7.用半徑為r的半圓形鐵皮卷成一個(gè)圓錐筒，那么這個(gè)圓錐筒的高是_r_______. 8．棱長(zhǎng)為a的正四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在一個(gè)球面上，則此球的半徑R＝________. 解析　 如圖所示，設(shè)正四面體ABCD內(nèi)接于球O，由D點(diǎn)向底面ABC作垂線，垂足為H，連接AH，OA，則可求得AH＝a， DH＝＝， 在Rt△AOH中，2＋2＝R2，解得R＝a. 三、解答題 9．畫(huà)出下列幾何體的三視圖． 解　圖(1)中幾何體的三視圖如圖①、②、③，圖(2)中幾何體的三視圖如圖④、⑤、⑥. 10.已知圓錐的底面半徑為r，高為h，且正方體ABCD—A1B1C1D1內(nèi)接于圓錐，求這個(gè)正方體的棱長(zhǎng). 解　如圖所示，過(guò)內(nèi)接正方體的一組對(duì)棱作圓錐的軸截面，設(shè)圓錐內(nèi)接正方體的棱 長(zhǎng)為x，則在軸截面中，正方體的對(duì)角面A1ACC1的一組鄰邊的長(zhǎng)分別為x和x. ∵△VA1C1∽△VMN，∴＝，∴x＝. 即圓錐內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為. 11.已知正三棱錐V—ABC的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示. (1)畫(huà)出該三棱錐的直觀圖； (2)求出側(cè)視圖的面積. 解　(1)如圖所示. (2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC＝2， ∴側(cè)視圖中VA＝＝2， ∴S△VBC＝22＝6. 一、選擇題 1.已知某一幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示，則在下列圖形中，可以是該幾何體的俯視圖的圖形為(　　) 　A.①②③⑤ B.②③④⑤ C.①②④⑤ D.①②③④ 2.一個(gè)正方體截去兩個(gè)角后所得幾何體的正視圖、 側(cè)視圖如圖所示，則其俯視圖為 (　C　) 3.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，過(guò)對(duì)角線BD1的一個(gè)平面交AA1于E，交CC1于F，得四邊形BFD1E，給出下列結(jié)論： ①四邊形BFD1E有可能為梯形；②四邊形BFD1E有可能為菱形； ③四邊形BFD1E在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形； ④四邊形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；⑤四邊形BFD1E面積的最小值為. 其中正確的是 (　　) A.①②③④ B.②③④⑤ C.①③④⑤ D.①②④⑤ 4．一個(gè)幾何體的三視圖如 圖所示(單位：m)則該幾何體的體積 為_(kāi)_______m3. 解析　由三視圖可知該幾何體是組合體，下面是長(zhǎng)方體， 長(zhǎng)、寬、高分別為3、2、1，上面是一個(gè)圓錐，底面圓半徑為1，高為3，所以該幾何體的體積為321＋π3＝6＋π(m3)． 答案　6＋π 5．已知水平放置的△ABC的直觀圖△A′B′C′(斜二測(cè)畫(huà)法)是邊長(zhǎng)為a的正三角形，則原△ABC的面積為(　　) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 D　[斜二測(cè)畫(huà)法中原圖面積與直觀圖面積之比為1∶，則易知S＝(a)2，∴S＝a2.] 6．有一個(gè)正三棱柱，其三視圖如圖所示： 則其體積等于(　　) A．3 cm3 B．1 cm3 C. cm3 D．4 cm3 D　[由給出的三視圖可以得知該正三棱柱的高等于正視圖和 側(cè)視圖的高為 cm，若設(shè)該正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a cm，則有 a＝2，所以a＝，故該正三棱柱的體積為V＝2＝4 (cm3)．] 7．如下圖，一個(gè)簡(jiǎn)單空間幾何體的三視圖其正視圖與側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，其俯視圖輪廓為正方形，則其體積是(　　) A. B. C. D. C　 由三視圖知該幾何體為一正四棱錐，記為S—ABCD， 如圖，其中AB＝2，△SCD中CD上的高為2， 即SE＝2，設(shè)S在底面上的射影為O， 在Rt△SOE中，SO＝， ∴SO＝＝.∴V＝SABCDSO＝4＝.] 8．某簡(jiǎn)單幾何體的一條對(duì)角線長(zhǎng)為a，在該幾何體的正視圖、側(cè)視圖與俯視圖中，這條對(duì)角線的投影都是長(zhǎng)為的線段，則a等于(　　) A. B. C．1 D．2 B　[可以把該幾何體形象為一長(zhǎng)方體AC1，設(shè)AC1＝a，則由題意知A1C1＝AB1＝BC1＝，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x、y、z，則x2＋y2＝2，y2＋z2＝2，z2＋x2＝2，三式相加得2(x2＋y2＋z2)＝2a2＝6. ∴a＝.] 二、填空題 9.如圖，點(diǎn)O為正方體ABCD—A′B′C′D′ 的中心，點(diǎn)E為面B′BCC′的中心，點(diǎn)F 為B′C′的中點(diǎn)，則空間四邊形D′OEF 在該正方體的各個(gè)面上的投影可能是__①②③______ (填出所有可能的序號(hào)). 10.如圖所示，E、F分別為正方體ABCD—A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面DCC1D1上的投影是____②__.(填序號(hào)) 11.如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長(zhǎng)是1， 在其上用粗線畫(huà)出了某多面體的三視圖，則這個(gè) 多面體最長(zhǎng)的一條棱的長(zhǎng)為_(kāi)_2______. 12．圖中的三個(gè)直角三角形是一個(gè)體積為20 cm3的幾何體的三視圖，則h＝________cm. 解析　由三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐， 其底面是一個(gè)直角邊長(zhǎng)分別是5和6的直角 三角形，幾何體的高為h，則該幾何體的體積 V＝56h＝20. ∴h＝4. 13．已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，則△ABC的水平放置直觀圖△A′B′C′的面積為_(kāi)_______． 解析　如圖A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a， 過(guò)點(diǎn)C′作C′D′⊥A′B′于點(diǎn)D′， 則C′D′＝O′C′＝a， 所以S△A‘B’‘′＝A′B′C′D′＝a2. 三、解答題 14．如圖是一個(gè)幾何體的正視圖和俯視圖． (1)試判斷該幾何體是什么幾何體； (2)畫(huà)出其側(cè)視圖，并求該平面圖形的面積． 解　(1)由該幾何體的正視圖及俯視圖可知幾何體是正六棱錐． (2)側(cè)視圖(如圖) 其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC長(zhǎng)是俯視圖正六邊形 對(duì)邊間的距離，即BC＝a，AD是正棱錐的高，AD＝a， 所以側(cè)視圖的面積為S＝aa＝a2.