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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 橢圓 板塊三 橢圓的幾何性質(zhì)完整講義（學(xué)生版） 典例分析 【例1】 設(shè)是橢圓上的一個動點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最大值是（ ） A． 　　　 Ｂ．　　　 C．　　　 D． 【例2】 點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，它到其中一個焦點(diǎn)的距離為2，為的中點(diǎn)，表示原點(diǎn)，則（ ） A． B．2 C．4 D．8 【例3】 已知為橢圓上動點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【例4】 已知橢圓方程為中，分別為它的兩個焦點(diǎn)，則下列說法正確的有（ ） ①焦點(diǎn)在軸上，其坐標(biāo)為； ②若橢圓上有一點(diǎn)到的距離為，則到的距離為； ③焦點(diǎn)在軸上，其坐標(biāo)為； ④，，． A．個 B．個 C．個 D．個 【例5】 橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點(diǎn)，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點(diǎn)、是它的焦點(diǎn)，長軸長為，焦距為，靜放在點(diǎn)的小球（小球的半徑不計），從點(diǎn)沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)時，小球經(jīng)過的路程是（ ） A． B． C． D．以上答案均有可能 【例6】 設(shè)橢圓上一點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的距離為，到右焦點(diǎn)的距離為，則到橢圓的中心的距離為（ ） A． B． C． D． 【例7】 為橢圓上一點(diǎn)，分別是圓和上的點(diǎn)，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【例8】 過原點(diǎn)作兩條相互垂直的直線分別與橢圓：交于、與、，則四邊形面積的最小值為（ ） A． B． C． D． 【例9】 橢圓的焦點(diǎn)為，，過垂直于軸的直線交橢圓于一點(diǎn)，那么的值是_________． 【例10】 求過橢圓的一個焦點(diǎn)的弦與另一個焦點(diǎn)圍成的三角形的周長是 ． 【例11】 已知、為橢圓的兩個焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若，則=________． 【例12】 設(shè)橢圓上一點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離為，是該橢圓的左焦點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則 ． 【例13】 已知是橢圓上一點(diǎn)，則到點(diǎn)的最大值為 ____． 【例14】 已知，，是橢圓上一點(diǎn)，則的最大值為________． 【例15】 如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，則 ． 【例16】 設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有個不同的點(diǎn)，使，組成公差為的等差數(shù)列，則的取值范圍為 ． 【例17】 橢圓上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的乘積為，則當(dāng)取最大值時，點(diǎn)的坐標(biāo)是___________． 【例18】 設(shè)橢圓的離心率為，分別是它的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，是它的短軸的一個端點(diǎn)，則等于________． 【例19】 橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上．若，則 ；的大小為 ． 【例20】 橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為其上的動點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時，點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是_______． 【例21】 橢圓上有一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的連線互相垂直，則點(diǎn)的坐標(biāo)是 ． 【例22】 設(shè)是橢圓上的動點(diǎn)，和分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，則的最小值等于 ． 【例23】 點(diǎn)為橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，以點(diǎn)以及焦點(diǎn)，為頂點(diǎn)的三角形的面積為，則點(diǎn)的坐標(biāo)是______． 【例24】 已知、是橢圓的兩個焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，橢圓的短半軸長為，則三角形的面積為______． 【例25】 已知、是橢圓的兩個焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且．若的面積為，則 ． 【例26】 設(shè)為橢圓左、右焦點(diǎn)，過橢圓中心任作一條直線與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形面積最大時，的值等于______． 【例27】 點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，是橢圓的兩個焦點(diǎn)，且的內(nèi)切圓半徑為，當(dāng)在第一象限時，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ． 【例28】 設(shè)是過橢圓中心的弦，橢圓的左焦點(diǎn)為，則的面積的最大值為_________． 【例29】 解方程：． 【例30】 在橢圓上求一點(diǎn)，使它到兩焦點(diǎn)的距離之積為． 【例31】 設(shè)為橢圓短軸上的一個端點(diǎn)，為橢圓上的一個動點(diǎn)，求的最大值． 【例32】 設(shè)為橢圓的兩個焦點(diǎn)，在橢圓上，已知是一個直角三角形的三個頂點(diǎn)，且，求的值． 【例33】 已知、分別是橢圓的左右兩個焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段與軸的交點(diǎn)為線段的中點(diǎn)． ⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； ⑵點(diǎn)是橢圓上異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，對于，求的值． 【例34】 如圖，點(diǎn)、分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且位于軸上方，． ⑴求點(diǎn)的坐標(biāo)； ⑵設(shè)是橢圓長軸上的一點(diǎn)，到直線的距離等于，求點(diǎn)的坐標(biāo)． ⑶求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值． 【例35】 已知點(diǎn)在圓：上移動，點(diǎn)在橢圓上移動，求的最大值． 【例36】 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是和 ，離心率，點(diǎn)到直線：的距離為，其中為橢圓的半焦距， ⑴求的值； ⑵設(shè)、是上的兩個動點(diǎn)，滿足，證明：當(dāng)取最小值時，．