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2019-2020年高三數(shù)學第一輪復習 第85課時復數(shù)的代數(shù)形式及其運算教案 一．教學目標： 掌握復數(shù)的基本題型，主要是討論復數(shù)的概念，復數(shù)相等，復數(shù)的幾何表示，計算復數(shù)模，共軛復數(shù)，解復數(shù)方程等。 二．教學重點：復數(shù)的幾何表示，計算復數(shù)模，共軛復數(shù)，解復數(shù)方程等。 三．教學過程： （一）主要知識： 1．共軛復數(shù)規(guī)律，； 2．復數(shù)的代數(shù)運算規(guī)律 （1）i=1，i=i，i=1，i=i； （3）iiii=1，i＋i＋i＋i=0； ； 3．輻角的運算規(guī)律 （1）Arg（zz）＝Argz＋Argz （3）Arg=nArgz（n∈N） …，n1。 或z∈R。 要條件是|z|＝|a|。 （6）zz≠0，則 4．根的規(guī)律：復系數(shù)一元n次方程有且只有n個根，實系數(shù)一元n次方程的虛根成對共軛出現(xiàn)。 5．求最值時，除了代數(shù)、三角的常規(guī)方法外，還需注意幾何法及不等式 ||z||z||≤|zz|≤|z|+|z|的運用。 即|zz|≤|z|+|z|等號成立的條件是：z，z所對應的向量共線且同向。 |zz|≥|z||z|等號成立的條件是：z，z所對立的向量共線且異向。 （二）范例分析 Ⅰ.xx年高考數(shù)學題選 1.（xx高考數(shù)學試題（浙江卷，6））已知復數(shù)z1=3+4i, z2=t+i, 且是實數(shù)，則實數(shù)t=( ) A． B． C．- D．- 2.(xx年北京春季卷，2)當時，復數(shù)在復平面上對應的點位于 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.(xx年北京卷，2）滿足條件的復數(shù)在復平面上對應點的軌跡是 ( C ) A．一條直線 B．兩條直線 C．圓 D．橢圓 Ⅱ.主要的思想方法和典型例題分析： 1．化歸思想 復數(shù)的代數(shù)、幾何、向量及三角表示，把復數(shù)與實數(shù)、三角、平面幾何和解析幾何有機地聯(lián)系在一起，這就保證了可將復數(shù)問題化歸為實數(shù)、三角、幾何問題。反之亦然。這種化歸的思想方法應貫穿復數(shù)的始終。 【分析】這是解答題，由于出現(xiàn)了復數(shù)和，宜統(tǒng)一形式，正面求解。 解法一、設(shè)z＝x＋yi（x，y∈R），原方程即為 用復數(shù)相等的定義得： ∴=1，=1+3i. 兩邊取模，得： 代入①式得原方程的解是=1，=1+3i. 【例2】（1993全國理）設(shè)復數(shù)z=cosθ＋isinθ（0＜ 【解】∵z＝cosθ+isinθ=cos4θ＋isin4θ 即，又∵0＜θ＜π，當時，或 【說明】此題轉(zhuǎn)化為三角問題來研究，自然、方便。 【例3】設(shè)a，b，x，y∈R+，且（r＞0）， 求證： 分析令=ax+byi，==bx+ayi（a，b，x，y∈R+），則問題化歸為證明： ||+||≥r（a+b）。 證明設(shè)=ax+byi，=bx＋ayi（a，b，x，y∈R+），則 =|（a+b）x+（a＋b）yi|=|（a＋b）（x+yi）|＝（a＋b）r。 解如圖所示，設(shè)點Q，P，A所對應的復數(shù)為： 即（x3a+yi）（i）＝（x3a+yi） 由復數(shù)相等的定義得 而點（x，y）在雙曲線上，可知點P的軌跡方程為 【說明】將復數(shù)問題化歸為實數(shù)、三角、幾何問題順理成章，而將實數(shù)、三角、幾何問題化歸為復數(shù)問題，就要有較強的聯(lián)想能力和跳躍性思維能力，善于根據(jù)題設(shè)構(gòu)造恰到好處的復數(shù)，可使問題迎刃而解。 2．分類討論思想 分類討論是一種重要的解題策略和方法。在復數(shù)中它能使復雜的問題簡單化，從而化整為零，各個擊破。高考復數(shù)考題中經(jīng)常用到這種分類討論思想方法。 【例5】（1990全國理）設(shè)a≥0，在復數(shù)集C中解方程z＋2|z|=a。 分析一般的思路是設(shè)z=x＋yi（x，y∈R），或z=r（cosθ＋isinθ），若由z＋2|z|=a轉(zhuǎn)化為z=a2|z|，則z∈R。從而z為實數(shù)或為純虛數(shù)，這樣再分別求解就方便了。 總之，是一個需要討論的問題。 【解】解法一∵z=a2|z|∈R，∴z為實數(shù)或純虛數(shù)。 ∴問題可分為兩種情況： （1）若z∈R，則原方程即為|z|+2|z|a=0， （2）若z為純虛數(shù)，設(shè)z=yi（y∈R且y≠0），則原方程即為|y|2|y|＋a=0 當a=0時，|y|=2即z=2i。 當0＜a≤1時， 當a＞1時，方程無實數(shù)解，即此時原方程無純虛數(shù)解。 綜上所述，原方程： 當a=0時，解為z＝0或z=2i 解法二設(shè)z=x＋yi，x，y∈R，將原方程轉(zhuǎn)化為 3．數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)與形是數(shù)學主要研究內(nèi)容，兩者之間有著緊密的聯(lián)系和互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的廣闊前景，復平面的有關(guān)試題正是它的具體表現(xiàn)。運用數(shù)形結(jié)合思想與方法解題是高考考查的熱點之一，應引起注意。 【例6】已知|z|=1，且z+z＝1，求z。 【解】由z+z=1聯(lián)想復數(shù)加法的幾何性質(zhì)，不難發(fā)現(xiàn)z，z，1所對應的三點A，B，C及原點O構(gòu)成平行四邊形的四個頂點，如圖所示， 【說明】這樣巧妙地運用聯(lián)想思維，以數(shù)構(gòu)形，以形思數(shù)，提煉和強化數(shù)形結(jié)合的思想方法，有利于培養(yǎng)學生思維的深刻性。 【例7】復平面內(nèi)點A對應復數(shù)z，點B對應復數(shù)為，O為原點，△AOB是面積為的直角三角形，argz∈(0，)，求復數(shù)z的值． 【分析】哪一個角為直角，不清楚，需要討論． 【解】因|OA|=|z|＞||=|OB|，故∠A不可能是直角，因而可能∠AOB=90或∠ABO=90． 若∠AOB=90，示意圖如圖1所示．因z與所對應的點關(guān)于實軸對稱，故argz=45, x O A B y 圖1 S△AOB=|OA||OB|=|z|||=|z|2=．于是，|z|=2， 從而，z=2(cos45+isin45)=+i． x O A B y 圖2 若∠ABO=90，示意圖如圖2所示．因z與所對應的點關(guān)于實軸對稱，且∠AOB＜90，故argz=θ＜45． 令z=r(cosθ+isinθ)，則 cos2θ==，sin2θ=，S△AOB=|OA||OB|sin2θ =rr=r2=． 于是，r=． 又cosθ==， sinθ==， 故z=(+i)=2+i． 綜上所述，z=+i或z=2+i． 【說明】①解題關(guān)鍵點：正確地對直角的情況進行分類討論，正確地理解復數(shù)的幾何意義，作出滿足條件的示意圖． ②解題規(guī)律：復數(shù)的幾何意義來源于復數(shù)z=a+bi(a、b∈R)與復平面上的點(a，b)之間的一一對應，它溝通了復數(shù)與解析幾何之間的聯(lián)系，是數(shù)形結(jié)合思想的典型表示． ③解題技巧：復數(shù)z與它的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的向量關(guān)于實軸對稱． ④這樣巧妙地以形譯數(shù)，數(shù)形結(jié)合，不需要計算就解決了問題，充分顯示了數(shù)形結(jié)合的思想方法在解題中的作用。 4．集合對應思想 【例8】如圖所示，在復平面內(nèi)有三點P，P，P對應的復數(shù) 應的復數(shù)為a，2a，3a，且它們有相同的輻角主值θ（如圖所示），即A，P，P，P共線。 從而2sinθ＝2 因此有a=2i。 5．整體處理思想 解復數(shù)問題中，學生往往不加分析地用復數(shù)的代數(shù)形式或三角形式解題。這樣常常給解題帶來繁瑣的運算，導致解題思路受阻。因此在復數(shù)學習中，有必要提煉和強化整體處理的思想方法，居高臨下地把握問題的全局，完善認識結(jié)構(gòu)，獲得解題的捷徑，從而提高解題的靈活性及變通性。 【例9】已知z=2i，求z3z＋z+5z＋2的值。 【分析】如果直接代入，顯然比較困難，將z用三角式表示也有一定的難度。從整體角度思考，可將條件轉(zhuǎn)化為（z2）=（i）=1，即z4z+4=1，即z4z+5=0，再將結(jié)論轉(zhuǎn)化為z3z＋z+5z＋2=（z4z＋5）（z＋z）+2，然后代入就不困難了。 【解】∵z=2i，∴（z2）=（i）=1 即z4z+5=0 ∴z3z＋z+5z＋2=（z4z+5）（z＋z）+2=2。 【例10】已知，求。 【解】解由條件得 【說明】把題中一些組合式子視作一個“整體”，并把這個“整體”直接代入另一個式子，可避免由局部運算帶來的麻煩。 【例11】復平面上動點z的軌跡方程為：|zz|＝|z|，z≠0，另一動點z滿足zz=1，求點z的軌跡。 解由|zz|＝|z|，知點z的軌跡為連結(jié)原點O和定點z的線段的垂直平分線。 將此式整體代入點z1的方程，得 的圓（除去原點）。 【例12】設(shè)z∈c，a≥0，解方程z|z|＋az＋i=0。 邊取模，得 【說明】解復數(shù)方程，可通過整體取模，化為實數(shù)方程求解。 綜上所述，解答復數(shù)問題，應注意從整體上去觀察分析題設(shè)的結(jié)構(gòu)特征，挖掘問題潛在的特殊性和簡單性，充分利用復數(shù)的有關(guān)概念、共軛復數(shù)與模的性質(zhì)、復數(shù)的幾何意義以及一些變形技巧，對問題進行整體化處理，可進一步提高靈活、綜合應用知識的能力。 6．有關(guān)最值問題的多角度思考 【例13】復數(shù)z滿足條件|z|=1，求|2zz+1|的最大值和最小值。 解法一|z|=1，∴z=cosθ＋isinθ ∴|2zz+1|=|2（cosθ＋isinθ）（cosθ＋isinθ）＋1| =|（2cos2θcosθ＋1）＋（2sin2θsinθ）i| ∴|2zz+1|=|2zz+| 設(shè)z的實部為a，則1≤a≤1 |2zz+1|=|2a＋z1| ， ∴|2zz+1|=4 解法三：設(shè)ω=x+yi（x，y∈R），z=a＋bi（a，b∈r）且a+b=1， 這說明ω對應的點是如圖所示的橢圓，問題轉(zhuǎn)化為求該橢圓上各點中與原點距離的最大值和最小值。 時的圓的半徑。 得8x2x＋89r＝0， 由相內(nèi)切條件知Δ=0, 解法四由模不等式： |2zz+1|≤2|z|＋|z|+1=4，等號成立的條件是2z，z，1所對應的向量共線且同向，可知z是負實數(shù)，在|z|=1的條件下，z=-1 ∴當z=1時|2zz+1|=4。 但另一方面：|2zz+1|≥2|z||z|1=0，這是顯然成立的，可是這不能由此確定|2zz+1|=0，實際上等號成立的條件應為2z，z，1表示的向量共線且異向，由2z與1對應的向量共線且異向知z=i，但是當z=i時，2z與z不共線，這表明|2zz+1|的最小值不是0。 以上這種求最小值的錯誤想法和解法是學生易犯的錯誤，此部分內(nèi)容既為重點也為難點，應向?qū)W生強調(diào)說明，并舉例，切記取等號的條件。 【例14】xx年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(理18) 已知復數(shù)z1＝i(1—i)3． (Ⅰ)求argz1及|z|； (Ⅱ)當復數(shù)z滿足|z|＝1，求|z—z1|的最大值． 【分析】本小題考查復數(shù)的基本性質(zhì)和基本運算，以及分析問題和解決問題的能力． 【解】(Ⅰ) ∴，|z1|＝． (Ⅱ)設(shè)，則 當時，取得最大值，從而得到的最大值為． 四．課后作業(yè)： 1、下列命題中正確的是 [ ] A．方程|z+5||z5i|=8的圖形是雙曲線 B．方程|z+5|=8的圖形是雙曲線 C．方程|z+5i||z5i|=8的圖形是雙曲線的兩支 D．方程|z+5i||z5i|=8的圖形是雙曲線靠近焦點F(0，5)的一支 2、方程的圖形是 [ ] A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．直線 3、在復平面上繪出下列圖形： 4、已知是虛數(shù)，是實數(shù)。 (1)求z對應復平面內(nèi)動點A的軌跡； (2)設(shè)u=3iz+1，求u對應復平面內(nèi)動點B的軌跡； （3）設(shè)，求對應復平面內(nèi)動點C的軌跡。 5、設(shè)A，B，C三點對應的復數(shù)分別為z，z，z滿足 (1)證明：△ABC是內(nèi)接于單位圓的正三角形； (2)求S△ABC； 6、若，求所對應的點A的集合表示的圖形，并求其面積． 7．設(shè)z1，z2是兩個虛數(shù)，且z1+z2=-3，|z1|+|z2|=4．若θ1=argz1，θ2=argz2，求cos(θ1-θ2)的最大值． 8．（xx年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（上海理17）） 已知復數(shù)z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求|z1z2|的最大值和最小值. 四、專題訓練參考答案 1、解：DA的圖形是直線，B的圖形是圓，C是圖形是雙曲線的一去．故選D．||z+5i|-|z-5i||=8才是雙曲線的兩支． 2、解：A原方程即|z(2+i)|=7．故選A． 3、解： 4、解：（1）因為z是虛數(shù)，所以，于是，即，且，因此動點A軌跡是中心在原點，半徑等于2的圓，但去掉兩個點(2，0)與(2，0)． (2)由u=3iz+1得u1=3iz．由(1)及題設(shè)知|z|=2，z≠2，所以 |u1|=6，且u1≠6i 因此動點B的軌跡是圓，中心在(1，0)，半徑等于6，但去掉兩點(1，6)與(1，6)． (3)設(shè)z=2(cosθ+isinθ)，(θ≠0，π)則 再令v=x+yi(x，y∈R)，則 5、解：(1)由(ii)知A，B，C三點都在單位圓上．再結(jié)合(i)得 z=(z+z) 設(shè)BC中點為D，它對應復數(shù)為z，那么 由于正三角形的外接圓與內(nèi)切圓的圓心合一，因此△ABC的內(nèi)切圓圓心 6、 因此動點A的圖形是一個圓環(huán)．設(shè)此圓環(huán)面積為S，那么 7．解：設(shè)|z1|=r，則|z2|=4-r(0＜r＜4)．將z1=r(cosθ1+isinθ1)，z2=(4–r)(cosθ2+isinθ2)，代入z1+z2=-3，得 兩式平方相加，得r2+(4-r)2+2r(4-r)(cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2)=9， 于是cos(θ1-θ2)==1+， 當r=2時，cos(θ1-θ2)取最大值. 8．解： 故的最大值為最小值為.