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2019-2020年高中數(shù)學(xué)選修1-1橢圓的簡單幾何性質(zhì)教案 （一）教學(xué)目標(biāo) 　　掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點、離心率這四個幾何性質(zhì)，掌握標(biāo)準(zhǔn)方程中 、 以及 、 的幾何意義， 、 、 、 之間的相互關(guān)系，明確怎樣用代數(shù)的方法研究曲線的幾何性質(zhì)． （二）教學(xué)過程 【復(fù)習(xí)引入】 由學(xué)生口述，教師板書： 問題1．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的？ 問題2．在直角坐標(biāo)系內(nèi)，關(guān)于 軸、 軸、原點對稱的點的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系？ 【探索研究】 1．橢圓的幾何性質(zhì) 　　根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形，是解析幾何的基本問題之一．根據(jù)曲線的條件列出方程．如果說是解析幾何的手段，那么根據(jù)曲線的方程研究曲線的性質(zhì)、畫圖、就可以說是解析幾何的目的． 　　下面我們根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 來研究橢圓的幾何性質(zhì)． 　?。?）范圍 　　引導(dǎo)學(xué)生從標(biāo)準(zhǔn)方程 ，得出不等式 ， ，即 ， ．這說明橢圓的直線 和直線 所圍成的矩形里（如圖），注意結(jié)合圖形講解，并指出描點畫圖時，就不能取范圍以外的點． 　　（2）對稱性 　　先讓學(xué)生閱讀教材中橢圓的幾何性質(zhì)2． 　　設(shè)問：為什么“把 換成 ，或把 換 ，或把 、 同時換成 、 時，方程解不變．則圖形關(guān)于 軸、 軸或原點對稱”呢？ 　　事實上，在曲線方程里，如果把 換成 ，而方程不變，那么當(dāng)點 在曲線上時，點 關(guān)于 軸的對稱點 也在曲線上，所以曲線關(guān)于 軸對稱．類似地可以證明其他兩個命題． 　　同時應(yīng)向?qū)W生指出：如果曲線具有關(guān)于 軸對稱，關(guān)于 軸對稱和關(guān)于原點對稱中的任意兩種，那么它一定具有另一種對稱． 　　最后強調(diào)： 軸、 軸是橢圓的對稱軸．原點是橢圓的對稱中心即橢圓中心．進(jìn)而說明橢圓的中心是焦點連線的中點，對稱軸是焦點的連線及其中垂線與坐標(biāo)系無關(guān)．因而是曲線的固有性質(zhì)． 　?。?）頂點 　　引導(dǎo)學(xué)生從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 分析它與 軸、 軸的交點，只須令 得 ，點 、 是橢圓與 軸的兩個交點；令 得 ，點 、 是橢圓與 軸的兩個交點．應(yīng)該強調(diào)：橢圓有四個頂點 、 、 、 ． 　　同時還需指出： 　　（1）線段 和 分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于 和 ； 　?。?） 、 的幾何意義： 是橢圓長半軸的長， 是橢圓短半軸的長． 　?。?）橢圓的頂點即是橢圓與對稱軸的交點，一般二次曲線的頂點即是曲線與其對稱軸的交點． 　　這時教師可作如下小結(jié)：由橢圓的范圍，對稱性和頂點，再進(jìn)行描點畫圖，只須描出較少的點，就可以得到較正確的圖形． 　?。?）離心率 　　由于離心率的概念比較抽象，教師可直接給出離心率的定義： 　　橢圓的焦距與長軸長的比 ，叫做橢圓的離心率． 　　先分析離心率 的取值范圍： 　　∵ ， ∴ ． 　　再結(jié)合圖表分析離心率的大小對橢圓形狀的影響： 　?。?）當(dāng) 趨近于1時， 趨近于 ，從而 越小，因此橢圓越扁平： 　?。?）當(dāng) 趨近于0時， 趨近于0，從而 趨近于 ，因此橢圓越接近于圓． 【例題分析】 　　例1 求橢圓 的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標(biāo)，并用描點法畫出它的圖形． 　　分析：只要化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解． 　　解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程是 　　 　　這里 ， ，∴ ． 　　因此，橢圓的長軸和短軸的長分別是 和 ，離心率 ，兩個焦點分別是 和 ，橢圓的四個頂點是 、 、 、 ． 　?。ㄇ耙徊糠终堃晃粚W(xué)生板演，教師予以糾正，后一部分教師講解，以引起學(xué)生重視．）步驟如下： 　　①列表：將已知方程變形為 ， 　　根據(jù)　 ， 　　在 的范圍內(nèi)算出幾個點的坐標(biāo) ． 0 1 2 3 4 5 4 3.9 3.7 3.2 2.4 0 ②描點作圖：先描點畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對稱性就可以畫出整個橢圓（如圖）． 　　例2 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 　?。?）經(jīng)過點 ， ； 　?。?）長軸長等于20，離心率等于 ． 　　解：由橢圓的幾何性質(zhì)可知， 、 分別是橢圓長軸和短軸的一個端點，于是得 ， ．又因為長軸在 軸上，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ． 　　（2）由已知得 ， ∴ ， ∴ ． 　　由于橢圓的焦點可能在 軸上，也可能在 軸上，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 或 ． （三）隨堂練習(xí) 　 （四）總結(jié)提煉 方程 圖形 范圍 ， ， 對稱性 關(guān)于 軸、 軸、坐標(biāo)原點對稱 關(guān)于 軸、 軸、坐標(biāo)原點對稱 頂點 ， <, /SUB> ， ， ， 離心率 （五）布置作業(yè) （六）板書設(shè)計 8.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)（一） （一）復(fù)習(xí)提問 問題1 問題2 （二）橢圓的幾何性質(zhì) 1． 2． 3． 4． （三）例題與練習(xí) 例1 例2 練習(xí) （四）小結(jié) 一）教學(xué)目標(biāo) 　　進(jìn)一步掌握橢圓的幾何性質(zhì)，掌握橢圓的第二定義，能應(yīng)用橢圓的第二定義解決橢圓的有關(guān)問題，明確橢圓的第一定義與橢圓的第二定義是等價的，可以互相推出． （二）教學(xué)過程 【復(fù)習(xí)引入】 　　前一節(jié)學(xué)習(xí)了橢圓的幾何性質(zhì)，哪一位同學(xué)回答： 　　問題1．橢圓有哪些幾何性質(zhì)？ 　　問題2．什么叫做橢圓的離心率？ 　　以上兩個問題學(xué)生的回答應(yīng)該不會有大的問題．教師可進(jìn)一步提出問題：離心率的幾何意義是什么呢？讓我們先來看一個問題． 　　點 與定點 的距離和它到定直線 的距離的比是常數(shù) （ ），求點 的軌跡． 【探索研究】 橢圓的第二定義． （按求軌跡方程的步驟，學(xué)生回答，教師板演．） 　　解：設(shè) 是點 直線 的距離，根據(jù)題意，如圖所求軌跡就是集合 　　由此得 ． 　　將上式兩邊平方，并化簡得 　　設(shè) ，就可化成 　　這是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以點 的軌跡是長軸長為 ，短軸長為 的橢圓． 　　由此可知，當(dāng)點 與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù) 時，這個點的軌跡是橢圓，一般稱為橢圓的第二定義，定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù) 是橢圓的離心率． 　　對于橢圓 ，相應(yīng)于焦點 的準(zhǔn)線方程是 ．根據(jù)橢圓的對稱性，相應(yīng)于焦點 的準(zhǔn)線方程是 ，所以橢圓有兩條準(zhǔn)線． 　　可見橢圓的離心率就是橢圓上一點到焦點的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線距離的比，這就是離心率的幾何意義． 至此教師可列出下表，由學(xué)生歸納． 圖形 相同點 長軸長 短軸長 離心率 不同點 方程 焦點 、 、 頂點 、 、 、 、 準(zhǔn)線 【例題分析】 　　例1 求橢圓 的長軸與短軸的長、焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)、離心率和準(zhǔn)線方程．可請一位學(xué)生演板，教師糾正，答案為 　　 ， ，焦點 ，頂點 ， ， ，準(zhǔn)線方程 ． 　　例2 已知橢圓 上一點 到其左、右焦點距離的比為1：3，求 點到兩條準(zhǔn)線的距離． 可在學(xué)生練習(xí)后請一位學(xué)生回答．解答如下： 　　由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可知 　　 ， ，∴ ， ． 　　由于 ， ． 　　∴ ， ． 　　設(shè) 到左準(zhǔn)線與右準(zhǔn)線的距離分別為 與 ，根據(jù)橢圓的第二定義，有 ∴ ， ． 　　即 到左準(zhǔn)線的距離為 ，到右準(zhǔn)線的距離為 ． 　　例3 已知橢圓 內(nèi)有一點 ， 是橢圓的右焦點，在橢圓上有一點 ，使 的值最小，求 的坐標(biāo)．（如圖） 　　分析：若設(shè) ，求出 ，再計算最小值是很繁的．由于 是橢圓上一點到焦點的距離，由此聯(lián)想到橢圓的第二定義，它與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離有關(guān)．故有如下解法． 　　解：設(shè) 在右準(zhǔn)線 上的射影為 ． 由橢圓方程可知 　　 ， 　 ， ． 　　根據(jù)橢圓的第二定義，有 　　即 ． 　　∴ ． 　　顯然，當(dāng) 、 、 三點共線時， 有最小值． 　　過 作準(zhǔn)線的垂線 ． 　　由方程組 解得 ． 　　即 的坐標(biāo)為 ． （四）總結(jié)提煉 　　1．列出橢圓的幾何意義．（投影展示上表）． 　　2．通過橢圓的第二定義，可進(jìn)一步了解橢圓的離心率的幾何意義，它反映橢圓的圓扁程度，決定著橢圓的形狀．兩準(zhǔn)線間的距離為 是不變量． （五）布置作業(yè) （六）板書設(shè)計 8.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)（二） （一）復(fù)習(xí)提問 問題1 問題2 （二）橢圓的第二定義 （三）例題與練習(xí) 例1 例2 例3 學(xué)生練習(xí) （四）小結(jié) 橢圓的簡單幾何性質(zhì)（第三課時） （一）教學(xué)目標(biāo) 　　1．能利用橢圓中的基本量 、 、 、 熟練地求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 　　2．掌握橢圓的參數(shù)方程，會用參數(shù)方程解一些簡單的問題． （二）教學(xué)過程 【復(fù)習(xí)引入】 由一位學(xué)生回答，教師板書列表或用投影儀給出． 問題1．橢圓有哪些幾何性質(zhì)？ 問題2．確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要幾個條件？ 　　通過對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，研究了橢圓的幾何性質(zhì)，必須掌握標(biāo)準(zhǔn)方程中 、 和 、 的幾何意義以及 、 、 、 之間的相互關(guān)系，這樣就可以由橢圓的幾何性質(zhì)確定它的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【例題分析】 　　例1 求中心在原點，過點 ，一條準(zhǔn)線方程為 的橢圓方程． 　　分析：根據(jù)準(zhǔn)線方程可知橢圓的焦點在 軸上，由于思路不同有兩種不同的解法，可讓學(xué)生練習(xí)后，教師再歸納小結(jié)，解法如下： 　　解法一：設(shè)橢圓方程為 ． 　　∵點 在橢圓上 　　∴ 即 ① 　　又∵一條準(zhǔn)線方程是 　　∴ ② 　　將①、②代入 ，得 　　 整理得 　　解得 或 ． 　　分別代入①得 或 ． 　　故所求橢圓方程為 或 ． 　　解法二：設(shè)橢圓的右焦點為 ，點 到橢圓右準(zhǔn)線的距離為 ，由橢圓的第二定義得 ，即 ． ① 　　又由準(zhǔn)線方程為 ． ② 　　將②代入①，整理得 　　解得 或 ． 　　代入②及 得 或 　　故所求橢圓的方程為 或 ． 　　例2 如圖，以原點心圓心，分別以 、 為半徑作兩個圓，點 是大圓半徑 與小圓的交點，過點 作 ，垂足為 ，過點 作 ，垂足為 ，求當(dāng)半徑 繞點 旋轉(zhuǎn)時點 的軌跡的參數(shù)方程． 　　解：設(shè)點 的坐標(biāo)為 ， 是以 為始邊， 為終邊的正角． 　　取 為參數(shù)，那么 　　即 　　這就是所求點 的軌跡的參數(shù)方程． 　　消去參數(shù) 后得到 ，由此可知，點 的軌跡是橢圓． 　　點評：這道題還給出了橢圓的一種畫法，按照這種方法，在已知橢圓的長、短軸長的情況下，給出離心角 的一個值，就可以畫出橢圓上的一個對應(yīng)點，利用幾何畫板畫橢圓都用此法． 　　例3 已知橢圓 ，（ ， ， 為參數(shù)）上的點 ，求： 　?。?） 、 的取值范圍； 　?。?） 的取值范圍． 　　解：（1）∵ ， ， 　　∴ ， ． 　　∴ ， 為所求范圍． 　?。?）∴ 　　 ． 　　（其中 為第一象限角，且 ）． 　　而 ． 　　∴ ， 　　即 這所求． 　　例4 把參數(shù)方程 （ 為參數(shù)）．寫成普通方程，并求出離心率． 　　解：由參數(shù)方程得 　　平方相加得 為所求普通方程． 　　∵ ， ， 　　∴ ． 　　∴橢圓的離心率 ． （三）隨堂練習(xí) 　　1．焦點在 軸上的橢圓上一點 到兩準(zhǔn)線間的距離之和為36，到兩焦點的距離分別為9和15的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________． 　　2．參數(shù)方程 （ 為參數(shù)）表示的曲線的焦點坐標(biāo)是______________． 　　3．橢圓 （ 為參數(shù)）的離心率為_________________． 答案：1． 2． ， 3． （四）總結(jié)提煉 　　1．求曲線方程的基本程序是 　　若已知條件涉及到焦點，準(zhǔn)線方程式時，往往利用定義求解較簡便． 　　2．橢圓的參數(shù)方程 （ 為參數(shù)）中， 表明 、 分別是橢圓的長軸、短軸長，且焦點在 軸上，參數(shù) 的幾何意義是橢圓的離心角，利用橢圓的參數(shù)方程求 的最值較方便． （五）布置作業(yè) 　　1．已知橢圓中心在原點，一個焦點是 ，點 在橢圓上，則點 到與 相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為（ ） 　　A． B． C． D． 　　2．橢圓 的左焦點為 ， ， 是兩個頂點，如果 到直線 的距離等于 ，那么橢圓的離心率等于（ ） 　　A． B． C． D． 　　4．橢圓 （ 為參數(shù)）的兩準(zhǔn)線間距離為_______________． 　　5．已知橢圓的一條準(zhǔn)線方程是 ，且過點 ，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 　　6．求橢圓 的內(nèi)接矩形面積的最大值． 答案：1．A 2．C 3．D 4． 5． 7．設(shè) 是橢圓上的任一點，則 （ 為參數(shù)） 內(nèi)接矩形面積 ∴ ． （六）板書設(shè)計 8.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)（三） 一、復(fù)習(xí)引入 二、例題分析 例1 例2 例3 例4 練習(xí) 總結(jié) 橢圓的簡單幾何性質(zhì) （第四課時） （一）教學(xué)目標(biāo) 　　1．能推導(dǎo)并掌握橢圓的焦半徑公式，能利用焦半徑公式解決有關(guān)與焦點距離有關(guān)的問題． 　　2．能利用橢圓的有關(guān)知識解決實際應(yīng)用問題． 　　3．能綜合利用橢圓的有關(guān)知識，解決最值問題及參數(shù)的取值范圍問題． （二）教學(xué)過程 【復(fù)習(xí)引入】 　　1．利用投影儀顯示橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)（見第二課時）． 　　2．求橢圓上到焦點距離的最大值與最小值． 【探索研究】 　　為研究上述問題，可先解決例1，教師出示問題． 　　例1 求證：橢圓 上任一點 與焦點所連兩條線段的長分別為 ． 分析：由距離公式和橢圓定義可以有兩種證法，先由一位學(xué)生演板，教師最后予以補充． 證法一：設(shè)橢圓的左、右焦點分別為 ． ，則 ∵ ， ∴ ． ∴ ． 又 ， ∴ 故得證． 證法二：設(shè) 到左右準(zhǔn)線的距離分別為 ， ，由橢圓的第二定義有 ， 又 ， ∴ ． 又 ， ∴ ． 故得證． 說明： 、 叫做橢圓的焦半徑．利用焦半徑公式在橢圓的有關(guān)計算、證明中，能大大簡化相應(yīng)的計算．至此可解決開始提出的問題． ∵ ， ， ∴ ， ． ∴ ． 即橢圓上焦點的距離最大值為 ，最小值為 ，最大值與最小值點即是橢圓長軸上的頂點． 例2 如圖，我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地心（地球中心） 為一個焦點的橢圓．已知它們近地點 （離地面最近的點）距地面439 ，遠(yuǎn)地點 （離地面最）距地面2384 ，并且 、 、 在同一條直線上，地球半徑約6371 ，求衛(wèi)星運行的軌道方程（精確到1 ）． 分析：這是一個介紹橢圓在航天領(lǐng)域應(yīng)用的例子，關(guān)鍵是理解近地點和遠(yuǎn)地點與橢圓的關(guān)系．由于數(shù)字大，計算較繁，可教師講解． 解：如圖，建立直角坐標(biāo)系，使點 、 、 在 軸上， 為橢圓的右焦點（記 為左焦點）． 因為橢圓的焦點在 軸上，所以設(shè)它的方程為 則 解得 ∴ ． 因此，衛(wèi)星的軌道方程是 ． 點評：由例1可知橢圓上到焦點的距離的最大和最小的點，恰是橢圓長軸的兩個端點，因而可知所有衛(wèi)星的近地點、遠(yuǎn)地點、及軌道的焦點都在同一直線上． 例3 已知點 在圓 上移動，點 在橢圓 上移動，求 的最大值． 分析：要求 的最大值，只要考慮圓心到橢圓上的點的距離，而橢圓上的點是有范圍的．可在教師指導(dǎo)下學(xué)生完成，解答如下： 設(shè)橢圓上一點 ，又 ，于是 ． 而 ∴當(dāng) 時， 有最大值5． 故 的最大值為6． 點評：橢圓中的最值問題常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題． 例4 已知橢圓 與 軸的正半軸交于點 ， 是原點．若橢圓上存在一點 ，使 ，求橢圓離心率 的取值范圍． 分析：依題意 點的橫坐標(biāo) ，找到 與 、 的關(guān)系式．教師講解為好． 解：設(shè) 的坐標(biāo)為 ，由 ，有 于是下面方程組的解為 的坐標(biāo) 消去 整理得 ． 解得 或 ． 即為橢圓的右頂點 ∴ 即 ． 即 ，而 ， 故 ． （三）隨堂練習(xí) 1．如圖在 中， ， ，則以 為焦點， 、 分別是長、短軸端點的橢圓方程是______________． 2．設(shè)橢圓 上動點 到定點 的距離 最小值為1，求 的值． 答案：1． 2． （四）總結(jié)提煉 橢圓的焦半徑是橢圓的基礎(chǔ)問題，在解題中有其獨特的作用，橢圓的范圍在解決橢圓的元素的范圍及與其有關(guān)的最大值（最小值）問題時是很有效的方法． （五）布置作業(yè) 1．橢圓短半軸的長為1，離心率的最大值是 ，則長半軸長的取值范圍是___________． 2．若橢圓兩焦點為 ， ， 在橢圓上，且 的最大面積是12，則橢圓方程是_______________． 3．已知 是橢圓 的一個焦點， 是過其中心的一條弦，記 ，則 面積的最大值是（ ） A． B． C． D． 4．已知 是橢圓 上的任意一點，以過 的一條焦半徑為直徑作圓 ，以橢圓長軸為直徑作圓 ，則圓 與圓 的位置關(guān)系是（ ） A．內(nèi)切 B．內(nèi)含 C．相交 D．相離 5．設(shè) 是橢圓 上的任一點，求 點到橢圓兩焦點 、 距離之積的最大值與最大值，并求取得最大值與最小值時 點的坐標(biāo)． 6．設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點，長軸在 軸上，離心率 ，已知點 到這個橢圓上的點的最遠(yuǎn)距離是 ，求這個橢圓方程，并求橢圓上到點 的距離等于 的點的坐標(biāo)． 答案：1． 2． 3．D 4．A 5．設(shè) 則 ， ∵ ∴ 當(dāng) 即 或 時， 最大，最大值為 ． 當(dāng) 即 或 時， 最小，最小值為 ． 6．設(shè)所求橢圓方程是 依題意可得 ，其中 如果 ，則當(dāng) 時， 有最大值，即 ． 由此得 ，與 矛盾． 因此必有 成立，于是當(dāng) 時， 有最大值，即 ． 由此得 ， ，故所求橢圓方程為 ． 由 代入橢圓方程得點 和 到點 的距離都是 ． 注：本題也可設(shè)橢圓的參數(shù)方程是 ，其中 ， ，利用三角函數(shù)求解． （六）板書設(shè)計 8.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)（四） 1．知識要點 2．橢圓的焦半徑公式 3．例題分析 例1 例2 例3 例4 練習(xí)小結(jié)