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2019-2020年高中數(shù)學 第一章 概率與統(tǒng)計(第10課)正態(tài)分布(2) 教案 湘教版選修2 教學目的： 1利用標準正態(tài)分布表求得標準正態(tài)總體在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率 2．掌握正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換 3．了解正態(tài)總體的分布情況，簡化正態(tài)總體的研究問題 教學重點：利用標準正態(tài)分布表求得標準正態(tài)總體在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率 教學難點：非標準正態(tài)總體在某區(qū)間內(nèi)取值的概率及總體在（－∞，ａ）的概率求法 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 內(nèi)容分析： 1．標準正態(tài)分布是正態(tài)分布研究的重點，各式各樣的正態(tài)分布可以通過轉(zhuǎn)換成標準正態(tài)曲線，轉(zhuǎn)換后正態(tài)分布的各項性質(zhì)保持不變，而標準正態(tài)分布的概率又可以通過查表求得，因而標準正態(tài)分布表的使用是本節(jié)課的重點之一 2．介紹《標準正態(tài)分布表》的查法表中每一項有三個相關的量：x、y、P，x是正態(tài)曲線橫軸的取值，y是曲線的高度，P是陰影部分的面積即 3．標準正態(tài)曲線關于y軸對稱因為當時，；而當時，根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)可得：，并且可以求得在任一區(qū)間內(nèi)取值的概率: 4．由例講授，對于任一正態(tài)總體都可以通過，求得其在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率 5．從下列三組數(shù)據(jù)不難看出，正態(tài)總體在（μ-3σ，μ+3σ）以外的概率只有萬分之二十六，這是一個很小的概率這樣，就簡化了正態(tài)總體中研究的問題 F（μ-σ，μ+σ）≈0.683， F（μ-2σ，μ+2σ）≈0.954， F（μ-3σ，μ+3σ）≈0.997 教學過程： 一、復習引入： 1.總體密度曲線:樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應各組取值的概率．設想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線． 它反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的概率．根據(jù)這條曲線，可求出總體在區(qū)間(a，b)內(nèi)取值的概率等于總體密度曲線，直線x=a，x=b及x軸所圍圖形的面積． 2．正態(tài)分布密度函數(shù)： ，（σ＞0） 其中π是圓周率；e是自然對數(shù)的底；x是隨機變量的取值；μ為正態(tài)分布的均值；σ是正態(tài)分布的標準差.正態(tài)分布一般記為 2．正態(tài)分布）是由均值μ和標準差σ唯一決定的分布 3．正態(tài)曲線的性質(zhì)： （1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交 （2）曲線關于直線x=μ對稱 （3）當x=μ時，曲線位于最高點 （4）當x＜μ時，曲線上升（增函數(shù)）；當x＞μ時，曲線下降（減函數(shù)）并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近 （5）μ一定時，曲線的形狀由σ確定 σ越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散； σ越?。€越“瘦高”．總體分布越集中： 五條性質(zhì)中前三條學生較易掌握，后兩條較難理解，因此在講授時應運用數(shù)形結(jié)合的原則，采用對比教學 4．標準正態(tài)曲線:當μ=0、σ=l時，正態(tài)總體稱為標準正態(tài)總體，其相應的函數(shù)表示式是，（-∞＜x＜+∞） 其相應的曲線稱為標準正態(tài)曲線 標準正態(tài)總體N（0，1）在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位任何正態(tài)分布的概率問題均可轉(zhuǎn)化成標準正態(tài)分布的概率問題 二、講解新課： 1.標準正態(tài)總體的概率問題: 對于標準正態(tài)總體N（0，1），是總體取值小于的概率， 即 ， 其中，圖中陰影部分的面積表示為概率只要有標準正態(tài)分布表即可查表解決.從圖中不難發(fā)現(xiàn):當時，；而當時，Φ（0）=0.5 2.標準正態(tài)分布表 標準正態(tài)總體在正態(tài)總體的研究中有非常重要的地位，為此專門制作了“標準正態(tài)分布表”．在這個表中，對應于的值是指總體取值小于的概率，即 ，． 若，則． 利用標準正態(tài)分布表，可以求出標準正態(tài)總體在任意區(qū)間內(nèi)取值的概率，即直線，與正態(tài)曲線、x軸所圍成的曲邊梯形的面積． 3．非標準正態(tài)總體在某區(qū)間內(nèi)取值的概率:可以通過轉(zhuǎn)化成標準正態(tài)總體，然后查標準正態(tài)分布表即可在這里重點掌握如何轉(zhuǎn)化首先要掌握正態(tài)總體的均值和標準差，然后進行相應的轉(zhuǎn)化 4.小概率事件的含義 發(fā)生概率一般不超過5％的事件，即事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生 假設檢驗方法的基本思想:首先，假設總體應是或近似為正態(tài)總體，然后，依照小概率事件幾乎不可能在一次試驗中發(fā)生的原理對試驗結(jié)果進行分析 假設檢驗方法的操作程序，即“三步曲” 一是提出統(tǒng)計假設，教科書中的統(tǒng)計假設總體是正態(tài)總體； 二是確定一次試驗中的a值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)； 三是作出判斷 三、講解范例： 例1求標準正態(tài)總體在（-1，2）內(nèi)取值的概率． 解：利用等式有 ==0.9772＋0.8413－1=0.8151． 例2. 若x～N(0,1),求(l)P(-2.322). 解：(1)P(-2.322)=1-P(x<2)=1-F(2)=l-0.9772=0.0228. 例3．利用標準正態(tài)分布表，求標準正態(tài)總體在下面區(qū)間取值的概率： (1)在N(1,4)下，求 （2）在N（μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）； Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ） 解：（１）＝＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342 Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954 Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997 對于正態(tài)總體取值的概率： 在區(qū)間（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）內(nèi)取值的概率分別為68.3%、95.4%、99.7%因此我們時常只在區(qū)間（μ-3σ，μ+3σ）內(nèi)研究正態(tài)總體分布情況，而忽略其中很小的一部分 例4．某正態(tài)總體函數(shù)的概率密度函數(shù)是偶函數(shù)，而且該函數(shù)的最大值為，求總體落入?yún)^(qū)間（－1.2，0.2）之間的概率 解：正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是，它是偶函數(shù)，說明μ＝0，的最大值為＝，所以σ＝1，這個正態(tài)分布就是標準正態(tài)分布 四、課堂練習： 1.利用標準正態(tài)分布表，求標準正態(tài)總體在下面區(qū)間取值的概率 （１）（0，１）；?。ǎ玻ǎ?，３） 解：（１）P＝Φ（1）－Φ（0）＝0.8413－0.5＝0.3413 （２）P＝Φ（3）－Φ（1）＝0.9887－0.8413＝0.1574 2.若x～N(0,1),求 P(x<-1)． 解：由公式F(-x)=1- F(x)，得 P(x<-1)=F(-1)=1-F(1)=1-0.8413=0.1587 3.某縣農(nóng)民年平均收入服從=500元，=200元的正態(tài)分布（1）求此縣農(nóng)民年平均收入在500520元間人數(shù)的百分比；（2）如果要使此縣農(nóng)民年平均收入在（）內(nèi)的概率不少于0.95，則至少有多大？ 解：設表示此縣農(nóng)民年平均收入，則 （2）∵， 查表知： 五、小結(jié) ：正態(tài)總體N(μ，σ2)轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)總體N(0,1)的等式及其應用通過生產(chǎn)過程的質(zhì)量控制圖，了解假設檢驗的基本思想 六、課后作業(yè)： 七、板書設計（略） 八、課后記： 小概率事件 正態(tài)總體在（μ－3σ，μ＋3σ）以外的概率只有千分之三，這是一個很小的概率這樣我們在研究問題時可以集中在（μ－3σ，μ＋3σ）中研究，而忽略其中很小的一部分，從而簡化了正態(tài)正態(tài)中研究的問題 （1）小概率事件通常是指在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生的事件一般情形下，指發(fā)生的概率小于5%的事件但要注意兩點：一是幾乎不可能發(fā)生的事件是針對一次試驗來講的，如果試驗次數(shù)多了，該事件當然是可能發(fā)生的；二是利用“小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生”的思想來進行推斷時，也有5%的犯錯誤的可能 （2）正態(tài)分布的小概率事件說明正態(tài)總體中的絕大部分的數(shù)據(jù)99.7%落在平均值左右各偏3的范圍內(nèi) 1.已知某車間正常生產(chǎn)的某種零件的尺寸滿足正態(tài)分布N(27.45,0.052),質(zhì)量檢驗員隨機抽查了10個零件，測得它們的尺寸為：27.34 、27.49、27.55、27.23 、27.40、27.46、27.38、 27.58、 27.54、 27.68請你根據(jù)正態(tài)分布的小概率事件，幫助質(zhì)量檢驗員確定哪些零件應該判定在非正常狀態(tài)下生產(chǎn)的 解：小概率事件是指在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生的思想我們對落在區(qū)間（27.45－30.05，27.45＋30.05）＝（27.3，27.6）之外生產(chǎn)的零件尺寸做出拒絕接受零件是正常狀態(tài)下生產(chǎn)的假設有兩個零件不符合落在區(qū)間（27.3，27.6）之內(nèi)； 答：尺寸為27.23和尺寸為27.68的兩個零件，它們是在非正常狀態(tài)下生產(chǎn)的 2.燈泡廠生產(chǎn)的白熾燈壽命ξ（單位：ｈ），已知ξ～N（1000，302)，要使燈泡的平均壽命為1000ｈ的概率為99.7％，問燈泡的最低使用壽命應控制在多少小時以上？ 解：因為燈泡壽命ξ～N(1000，302)，故ξ在（1000－330，1000＋330）內(nèi)取值的概率為99.7％，即在（910，1090）內(nèi)取值的概率為99.7％，故燈泡的最低使用壽命應控制在910ｈ以上 進行假設檢驗的方法與步驟： （1）提出統(tǒng)計假設，具體問題里的統(tǒng)計假設服從正態(tài)分布N（μ，σ2）； （2）確定一次試驗值是否落入（μ－3σ，μ＋3σ）； （3）作出判斷：如果，就接受假設；如果，由于這是小概率事件，就拒絕假設，說明生產(chǎn)過程中出現(xiàn)了異常情況