2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 算法初步 1.1 算法與程序框圖 1.1.1 算法的概念教學(xué)案 新人教B版必修3 預(yù)習(xí)課本P3～6，思考并完成以下問(wèn)題 (1)在數(shù)學(xué)中算法是如何定義的？ 　 　 (2)算法有哪四種描述方式？ 　 　 　 (3)設(shè)計(jì)算法的兩個(gè)要求是什么？ 　 　 1．算法 (1)概念： 說(shuō)法①：由基本運(yùn)算及規(guī)定的運(yùn)算順序所構(gòu)成的完整的解題步驟． 說(shuō)法②：按照要求設(shè)計(jì)好的有限的確切的計(jì)算序列． (2)作用： 這樣的步驟或序列能夠解決一類問(wèn)題． 2．算法的描述方式 方式 3．設(shè)計(jì)算法的兩個(gè)要求 (1)寫(xiě)出的算法，必須能解決一類問(wèn)題，并且能重復(fù)使用． (2)算法過(guò)程要能一步一步執(zhí)行，每一步執(zhí)行的操作，必須確切，不能含混不清，而且經(jīng)過(guò)有限步后能得出結(jié)果． 1．下列敘述不能稱為算法的是(　　) A．從北京到上海先乘汽車到飛機(jī)場(chǎng)，再乘飛機(jī)到上海 B．解方程4x＋1＝0的過(guò)程是先移項(xiàng)再把x的系數(shù)化成1 C．利用公式S＝πr2計(jì)算半徑為2的圓的面積得π22 D．解方程x2－2x＋1＝0 答案：D 2．算法的有限性是指(　　) A．算法必須包含輸出 B．算法中每個(gè)操作步驟都是可執(zhí)行的 C．算法的步驟必須有限 D．以上說(shuō)法均不正確 答案：C 3．以下有六個(gè)步驟：①撥號(hào)；②等撥號(hào)音；③提起話筒(或免提功能)；④開(kāi)始通話或掛機(jī)(線路不通)；⑤等復(fù)話方信號(hào)；⑥結(jié)束通話． 寫(xiě)出一個(gè)打本地電話的算法________(只寫(xiě)序號(hào))． 解析：按照打本地電話的基本操作流程來(lái)寫(xiě)，應(yīng)是③②①⑤④⑥. 答案：③②①⑤④⑥ 4．給出一個(gè)問(wèn)題的算法 S1　輸入a. S2　若a≥4，則執(zhí)行S3；否則執(zhí)行S4. S3　y＝2a. S4　y＝a2. S5　輸出y. 當(dāng)輸入的值a＝5時(shí)，則輸出的y值為_(kāi)_______． 解析：所給問(wèn)題是求函數(shù)值問(wèn)題． 已知函數(shù)解析式為y＝所以當(dāng)a＝5時(shí)，y＝10. 答案：10 算法概念的理解 [典例]　以下關(guān)于算法的說(shuō)法正確的是(　　) A．描述算法可以有不同的方式，可用形式語(yǔ)言也可用其它語(yǔ)言 B．算法可以看成按照要求設(shè)計(jì)好的有限的確切的計(jì)算序列，并且這樣的步驟或序列只能解決當(dāng)前問(wèn)題 C．算法過(guò)程要一步一步執(zhí)行，每一步執(zhí)行的操作必須確切，不能含混不清，而且經(jīng)過(guò)有限步或無(wú)限步后能得出結(jié)果 D．算法要求按部就班地做，每一步可以有不同的結(jié)果 [解析]　算法可以看成按照要求設(shè)計(jì)好的有限的確切的計(jì)算序列，并且這樣的步驟或計(jì)算序列能夠解決一類問(wèn)題．算法過(guò)程要求一步一步執(zhí)行，每一步執(zhí)行的操作，必須確切，只能有唯一結(jié)果，而且經(jīng)過(guò)有限步后，必須有結(jié)果輸出后終止，描述算法可以有不同的語(yǔ)言形式，如自然語(yǔ)言、框圖語(yǔ)言及形式語(yǔ)言等． [答案]　A 有關(guān)算法概念的解題策略 (1)判斷題應(yīng)根據(jù)算法的特點(diǎn)進(jìn)行求解； (2)步驟要有限，前后有順序，步步都明確．特別注意能在有限步內(nèi)求解某一類問(wèn)題，其中的每個(gè)步驟必須是明確可行的，不能模棱兩可，對(duì)同一個(gè)問(wèn)題可設(shè)計(jì)不同的算法． [活學(xué)活用] 下列各式中S值不可以用算法求解的是(　　) A．S＝1＋2＋3＋4 B．S＝12＋22＋32＋…＋1002 C．S＝1＋＋…＋ D．S＝1＋2＋3＋4＋… 解析：選D　由算法的有限性知，D不正確，而A、B、C都可以通過(guò)有限步驟操作，輸出確定結(jié)果. 算法的設(shè)計(jì) 　　[典例]　求兩底半徑分別為2和4，高為4的圓臺(tái)的表面積，寫(xiě)出該問(wèn)題的算法． [解]　圓臺(tái)如圖所示，算法如下： S1　令r1＝2，r2＝4，h＝4. S2　計(jì)算l＝. S3　計(jì)算S表＝πr＋πr＋π(r1＋r2)l. S4　輸出運(yùn)算結(jié)果． 設(shè)計(jì)具體問(wèn)題的算法的一般步驟 (1)分析問(wèn)題，找出解決問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)方法； (2)借助有關(guān)變量或參數(shù)對(duì)算法加以表述； (3)將解決問(wèn)題的過(guò)程劃分為若干步驟； (4)用簡(jiǎn)練的語(yǔ)言將這個(gè)步驟表示出來(lái)．　　　　　　 [活學(xué)活用] 已知函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝2x－log2x(x≠0)． (1)寫(xiě)出求g(f(x))的值的一個(gè)算法； (2)若輸入x＝－2，則g(f(x))輸出的結(jié)果是什么？ 解：(1)S1　輸入x的值(x≠0)． 　S2　計(jì)算y＝x2的值． 　S3　計(jì)算z＝2y－log2y的值． 　S4　輸出z的值． (2)當(dāng)x＝－2時(shí)，由上面的算法可知y＝4， z＝24－log24＝14，故輸出的結(jié)果為14. 算法在實(shí)際生活中的應(yīng)用 [典例]　到銀行辦理個(gè)人異地匯款(不超過(guò)100萬(wàn)元)時(shí)，銀行要收取一定的手續(xù)費(fèi)．匯款額不超過(guò)100元，收取1元手續(xù)費(fèi)，超過(guò)100元但不超過(guò)5 000元，按匯款額的1%收取手續(xù)費(fèi)，超過(guò)5 000元的一律收取50元手續(xù)費(fèi)．試寫(xiě)出匯款額為x元時(shí)，計(jì)算銀行手續(xù)費(fèi)的一個(gè)算法． [解]　算法步驟如下： S1　輸入自變量x的值； S2　判斷x的范圍，若x≤100，則y＝1，若100<x≤5 000，則y＝x0.01，若5 000<x≤1 000 000，則y＝50； S3　輸出函數(shù)值y. 實(shí)際生活問(wèn)題算法設(shè)計(jì)的步驟 (1)弄清已知，明確要求； (2)建立過(guò)程模型； (3)根據(jù)過(guò)程模型設(shè)計(jì)算法步驟，在寫(xiě)算法時(shí)應(yīng)簡(jiǎn)練、清晰地表達(dá)，要善于分析任何可能出現(xiàn)的情況，體現(xiàn)出思維的嚴(yán)密性和完善性．　　　　 [活學(xué)活用] 一位商人有9枚銀元，其中有1枚略輕的是假銀元，你能用天平(無(wú)砝碼)將假銀元找出來(lái)嗎？ 解：S1　把銀元分成3組，每組3枚； S2　將其中兩組分別放在天平兩邊，如果左右不平衡，則假銀元就在輕的那一組；如果左右平衡，則假銀元就在未稱的第3組； S3　從含有假銀元的那一組中任取兩枚銀元放在天平兩邊，如果左右不平衡，則輕的那一邊就是假銀元；如果兩邊平衡，則未稱的那一枚就是假銀元． [層級(jí)一　學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)] 1．計(jì)算下列各式中S的值，能設(shè)計(jì)算法求解的是(　　) ①S＝＋＋＋…＋； ②S＝＋＋＋…＋＋…； ③S＝＋＋＋…＋(n≥1且n∈N＋)． A．①②　　　　　　　　　 B．①③ C．②③ D．①②③ 解析：選B　因?yàn)樗惴ǖ牟襟E是有限的，所以②不能設(shè)計(jì)算法求解． 2．結(jié)合下面的算法： S1　輸入x. S2　判斷x是否小于0，若是，則輸出x＋2，否則執(zhí)行S3. S3　輸出x－1. 當(dāng)輸入的x的值為－1時(shí)，輸出的結(jié)果為(　　) A．－2 B．0 C．1 D．3 解析：選C　根據(jù)x值與0的關(guān)系，選擇執(zhí)行不同的步驟，當(dāng)x的值為－1時(shí)，應(yīng)執(zhí)行x＋2這一步驟，所以輸出的結(jié)果應(yīng)為1，故選C. 3．給出下列算法： S1　輸入x的值． S2　當(dāng)x＞4時(shí)，計(jì)算y＝x＋2；否則執(zhí)行下一步． S3　計(jì)算y＝. S4　輸出y. 當(dāng)輸入x＝0時(shí)，輸出y＝________________. 解析：0＜4，執(zhí)行S3，y＝＝2. 答案：2 4．用高斯消去法計(jì)算二元一次方程組的解． 解：S1　計(jì)算D＝3(－1)－1(－2)＝－1. 　 S2　D＝－1≠0，則x＝＝－2， y＝＝－6. 　 S3　輸出x，y的值． [層級(jí)二　應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)] 1．下列對(duì)算法的理解不正確的是(　　) A．算法只能用自然語(yǔ)言來(lái)描述 B．算法可以用圖形方式來(lái)描述 C．算法一般是“機(jī)械的”，有時(shí)要進(jìn)行大量重復(fù)的計(jì)算，它的優(yōu)點(diǎn)是可以解決一類問(wèn)題 D．設(shè)計(jì)算法要本著簡(jiǎn)單、方便、可操作的原則 解析：選A　由算法的概念和描述方式知，A不正確． 2．對(duì)于一般的二元一次方程組在寫(xiě)解此方程組的算法時(shí)需要我們注意的是(　　) A．a(chǎn)1≠0 B．a(chǎn)2≠0 C．a(chǎn)1b2－a2b1≠0 D．a(chǎn)1b1－a2b2≠0 解析：選C　應(yīng)用高斯消去法解方程組其實(shí)質(zhì)是利用加減消元法．首先要將兩方程y的系數(shù)化為相同即b1b2，此時(shí)x的系數(shù)分別為a1b2和a2b1兩式相減得(a1b2－a2b1)x＝c1b2－c2b1，要得出x的值，則需注意a1b2－a2b1≠0. 3．閱讀下面的算法： S1　輸入兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b. S2　若a＜b，則交換a，b的值，否則執(zhí)行第三步． S3　輸出a. 這個(gè)算法輸出的是(　　) A．a(chǎn)，b中的較大數(shù) B．a(chǎn)，b中的較小數(shù) C．原來(lái)的a的值 D．原來(lái)的b的值 解析：選A　第二步中，若a＜b，則交換a，b的值，那么a是a，b中的較大數(shù)；若a＜b不成立，即a≥b，那么a也是a，b中的較大數(shù)． 4．對(duì)于算法： S1　輸入n. S2　判斷n是否等于2，若n＝2，則n滿足條件；若n>2，則執(zhí)行S3. S3　依次從2到(n－1)檢驗(yàn)?zāi)懿荒苷齨，若不能整除n，則執(zhí)行S4；若能整除n，則執(zhí)行S1. S4　輸出n. 滿足條件的n是(　　) A．質(zhì)數(shù) B．奇數(shù) C．偶數(shù) D．約數(shù) 解析：選A　從題目的條件可以看出，輸出的n沒(méi)有約數(shù)，因此是質(zhì)數(shù)． 5．給出算法步驟如下： S1　輸入x的值； S2　當(dāng)x<0時(shí)，計(jì)算y＝x＋1，否則執(zhí)行S3； S3　計(jì)算y＝－x2； S4　輸出y. 當(dāng)輸入x的值為－2,3時(shí)，輸出y的結(jié)果分別是______． 解析：由算法步驟可知，其算法功能是已知函數(shù)y＝當(dāng)輸入x的值時(shí)，求對(duì)應(yīng)的y值．因?yàn)椋?<0，所以對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式為y＝x＋1，因此y＝－2＋1＝－1；當(dāng)x＝3時(shí)，則對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式為y＝－x2，因此y＝－32＝－9. 答案：－1，－9 6．使用配方法解方程x2－4x＋3＝0的算法的步驟是________(填序號(hào))． ①配方得(x－2)2＝1； ②移項(xiàng)得x2－4x＝－3； ③解得x＝1或x＝3； ④開(kāi)方得x－2＝1. 解析：使用配方法的步驟應(yīng)按移項(xiàng)、配方、開(kāi)方、得解的順序進(jìn)行． 答案：②①④③ 7．已知直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b(a>b)，寫(xiě)出求兩直角邊所對(duì)的最大角θ的余弦值的算法如下： S1　輸入兩直角邊長(zhǎng)a，b的值； S2　計(jì)算c＝的值； S3　________________________； S4　輸出cos θ. 將算法補(bǔ)充完整，橫線處應(yīng)填________________． 解析：根據(jù)題意知，直角三角形兩直角邊a，b(a>b)所對(duì)最大角θ的余弦值為，所以應(yīng)填“計(jì)算cos θ＝的值”． 答案：計(jì)算cos θ＝的值 8．某居民區(qū)的物業(yè)部門每月向居民收取衛(wèi)生費(fèi)，計(jì)費(fèi)方法是：3人或3人以下的住戶，每戶收取5元；超過(guò)3人的住戶，每超出1人加收1.2元．設(shè)計(jì)一個(gè)算法，根據(jù)輸入的人數(shù)，計(jì)算應(yīng)收取的衛(wèi)生費(fèi)． 解：設(shè)某戶有x人，根據(jù)題意，應(yīng)收取的衛(wèi)生費(fèi)y是x的分段函數(shù)，即y＝ 算法如下： S1　輸入人數(shù)x. S2　如果x≤3，則y＝5；如果x>3，則y＝1.2x＋1.4. S3　輸出應(yīng)收衛(wèi)生費(fèi)y. 9．已知直線l1：3x－y＋12＝0和直線l2：3x＋2y－6＝0，求直線l1與l2及y軸所圍成的三角形面積，寫(xiě)出解決本題的一個(gè)算法． 解：S1　解方程組得直線l1，l2的交點(diǎn)P(－2,6)． S2　在方程3x－y＋12＝0中令x＝0，得y＝12，從而得到A(0,12)． S3　在方程3x＋2y－6＝0中令x＝0，得y＝3，得到B(0,3)； S4　求出△ABP的底邊長(zhǎng)|AB|＝12－3＝9； S5　求出△ABP的底邊AB上的高h(yuǎn)＝2； S6　根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算 S＝|AB|h＝92＝9.