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2019-2020年高中數(shù)學《第45課時逆矩陣、特征向量與特征值》教學案新人教A版必修3 基礎訓練 1．矩陣的逆矩陣是________． 2．點P(2,3)經(jīng)矩陣A＝對應的變換作用下得到點P′，點P′再經(jīng)過矩陣A－1對應的變換作用下得到點P″，則點P″的坐標是________． 3．矩陣的特征值是________． 4．若A＝，B＝，則(AB)－1＝________. 重點講解 1．矩陣的逆矩陣 (1)一般地，設ρ是一個線性變換，如果存在線性變換σ，使得σρ＝ρσ＝I，則稱變換ρ可逆．并且稱σ是ρ的逆變換． (2)設A是一個二階矩陣，如果存在二階矩陣B，使得BA＝AB＝E，則稱矩陣A________，或稱矩陣A是____________，并且稱B是A的__________． (3)(性質1)設A是一個二階矩陣，如果A是可逆的，則A的逆矩陣是________．A的逆矩陣記為________． (4)(性質2)設A，B是二階矩陣，如果A，B都可逆，則AB也可逆，且(AB)－1＝__________. (5)已知A，B，C為二階矩陣，且AB＝AC，若矩陣A____________，則B＝C. (6)對于二階可逆矩陣A＝(ad－bc≠0)，它的逆矩陣為A－1＝. 2．二階行列式與方程組的解 對于關于x，y的二元一次方程組我們把稱為二階行列式，它的運算結果是一個________(或多項式)，記為det(A)＝＝ad－bc. 若將方程組中行列式記為D，記為Dx，記為Dy，則當D≠0時，方程組的解為 3．二階矩陣的特征值和特征向量 (1)特征值與特征向量的概念 設A是一個二階矩陣，如果對于實數(shù)λ，存在一個非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ稱為A的一個________，α稱為A的一個屬于特征值λ的一個__________． (2)特征多項式 設λ是二階矩陣A＝的一個特征值，它的一個特征向量為α＝，則A＝________________，即也即(*) 定義：設A＝是一個二階矩陣，λ∈R，我們把行列式f(λ)＝＝__________________________稱為A的特征多項式． (3)矩陣的特征值與特征向量的求法 如果λ是二階矩陣A的特征值，則λ一定是二階矩陣A的特征多項式的一個根，即f(λ)＝0，此時，將λ代入二元一次方程組 (*)，就可得到一組非零解，于是非零向量即為A的屬于λ的一個______________． 典題拓展 例1已知矩陣A＝，B＝，求(AB)－1. 例2已知二階矩陣M有特征值λ＝8及對應的一個特征向量e1＝，并且矩陣M對應的變換將點(－1,2)變換成(－2,4)． (1)求矩陣M； (2)求矩陣M的另一個特征值，及對應的一個特征向量e2的坐標之間的關系； (3)求直線l：x－y＋1＝0在矩陣M的作用下的直線l′的方程． 變式： 矩陣M＝，向量X＝，求M4X. 例3 在軍事密碼學中，密碼發(fā)送的數(shù)學原理是：發(fā)送方將要傳送的信息數(shù)字化后用一個矩陣X表示(不足的元素可以補上0，字與字之間的空格也以0記，且以密碼先后順序按列組成矩陣)，在矩陣的左邊乘上一個雙方約定的可逆矩陣A，得到B＝AX，則B即為傳送出去的密碼，接收方收到密碼后，只需左乘A的逆矩陣A－1，即可得到發(fā)送出去的明碼X＝A－1B.不妨以二階矩陣為例，先將英文字母數(shù)字化，讓a→1，b→2，…，z→26.現(xiàn)已知發(fā)送方傳出的密碼為7,13,39,67，雙方約定的可逆矩陣為，試破解發(fā)送的密碼． 變式：現(xiàn)用矩陣對信息進行加密后傳遞，規(guī)定英文字母數(shù)字化為：a→1，b→2，…，z→26，雙方約定的矩陣為，發(fā)送方傳遞的密碼為67,30,31,8，密碼按列組成矩陣，此組密碼所發(fā)信息為________． 鞏固遷移 1．設可逆矩陣A＝的逆矩陣A－1＝，則a，b，c的值分別為________，________，________. 2．矩陣A＝的逆矩陣A－1＝______. 3．已知二元一次方程組從線性變換的角度求解時應把向量繞原點作________(填“順”或“逆”)時針旋轉________的旋轉變換． 4．矩陣M＝的特征值與特征向量分別為__________________． 5．設A＝，則A6＝________ ；若A＝，則A＝________. 6．利用逆矩陣知識解方程組 7．設M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到2倍，縱坐標伸長到3倍的伸壓變換． (1)求矩陣M的特征值及相應的特征向量 (2)求逆矩陣M－1以及橢圓＋＝1在M－1的作用下的新曲線的方程． 8．已知矩陣A＝，α＝，求A100α. 9．設矩陣A＝(a≠0)． (1)求A2，A3； (2)猜想An(n∈N*)； (3)證明：An(n∈N*)的特征值是與n無關的常數(shù)，并求出此常數(shù)．