2019-2020年高中數(shù)學第一輪總復習 第十四章極限14.2 數(shù)列的極限教案 （理） 新人教A版.doc
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2019-2020年高中數(shù)學第一輪總復習 第十四章極限14.2 數(shù)列的極限教案 （理） 新人教A版 鞏固夯實基礎 一、自主梳理 1.數(shù)列極限的定義 一般地，如果當項數(shù)n無限增大時，無窮數(shù)列{an}的項an無限地趨近于某個常數(shù)a(即|an-a|無限地接近于0)，那么就說數(shù)列{an}以a為極限. 注:a不一定是｛an｝中的項. 2.幾個常用的極限 (1)C=C(C為常數(shù))；(2)=0；(3)qn=0(|q|<1). 3.數(shù)列極限的四則運算法則 設數(shù)列｛an｝、｛bn｝，當an=a,bn=b時，(anbn)=ab；(anbn)=ab；=(b≠0). 鏈接提示 (1)an、bn的極限都存在時才能用四則運算法則； (2)可推廣到有限多個. 二、點擊雙基 1.下列極限正確的個數(shù)是( ) ①=0(α>0) ②qn=0 ③=-1 ④C=C(C為常數(shù)) A.2 B.3 C.4 D.都不正確 解析:①③④正確. 答案:B 2.已知數(shù)列{log2(an-1)}(n∈N*)為等差數(shù)列,且a1=3,a3=5,則(++…+)等于…( ) A.2 B. C.1 D. 解析:令bn=log2(an-1),則{bn}成等差數(shù)列,b1=log22=1,b2=log24=2,可知數(shù)列bn=n=log2(an-1), ∴an=2n+1,則an+1-an=2n+1+1-(2n+1)=2n,即求(++…+)==1. 答案:C 3.下列四個命題中正確的是( ) A.若An2=A2，則an=A B.若An＞0，An=A，則A＞0 C.若An=A，則An2=A2 D.若 (An-bn)=0，則An=bn 解析:排除法，取an=(-1)n，排除A；取an=，排除B；取An=bn=N，排除D． 答案:C 4.計算:=__________________. 解析:==3. 答案:3 5. =_______________. 解析:==. 答案: 鏈接提示 求數(shù)列極限時,如是不定型(,,∞-∞等),應先變形,再求極限. 誘思實例點撥 【例1】數(shù)列{an}中,a1=,an+an+1=,n∈N*,則(a1+a2+…+an)等于( ) A. B. C. D. 解析:∵an+an+1=, ∴a1+a2=,a3+a4=,a5+a6=,…. (a1+a2+a3+a4+a5+a6+…+an) =［(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+…］=(+++…)==. 答案:C 講評:本題考查數(shù)列與極限.解本題重在數(shù)列求和,關鍵在于轉(zhuǎn)化為無窮遞縮等比數(shù)列. 【例2】 求下列極限: (1)；(2)(-n)； (3)(++…+). 剖析:(1)因為分子、分母都無極限，故不能直接運用商的極限運算法則，可通過變形分子、分母同除以n2后再求極限；(2)因與n都沒有極限，可先分子有理化再求極限；(3)因為極限的運算法則只適用于有限個數(shù)列，需先求和再求極限. 解:(1)==. (2)(-n)= ==. (3)原式= ==(1+)=1. 講評:當n→∞時,(1)如果出現(xiàn)型,常上、下同除以n的多項式;(2)若出現(xiàn)型,常需約去“0”因子;(3)若出現(xiàn)∞-∞型,需化簡或有理化. 鏈接提示 對于(1)要避免下面兩種錯誤:①原式===1, ②∵(2n2+n+7),(5n2+7)不存在，∴原式無極限.對于(2)要避免出現(xiàn)下面兩種錯誤:①(-n)=-n=∞-∞=0；②原式=-n=∞-∞不存在.對于(3)要避免出現(xiàn)原式=++…+=0+0+…+0=0這樣的錯誤. 【例3】已知數(shù)列{xn}滿足x2=,xn=(xn-1+xn-2),n=3,4,….若xn=2,則x1等于( ) A. B.3 C.4 D.5 剖析:由xn=(xn-1+xn-2)可找出相鄰兩項之間的遞推關系,再進一步求xn,利用xn=2可求x1. 解析:xn=(xn-1+xn-2),兩邊減去xn-1得xn-xn-1=-(xn-1-xn-2), ∴=-,即{xn-xn-1}是以x2-x1為首項,公比為-的等比數(shù)列, xn-xn-1=(-)(-)n-2. x2-x1=-, x3-x2=-(-), ∴x4-x3=-(-)2, …… xn-xn-1=(-)(-)n-2. 相加得xn-x1=-=. (*) ∵xn=2,(*)式兩邊取極限,得2-x1=-, ∴x1=3. 答案:B 講評:本題重在考查數(shù)列的通項、求和、迭加法求通項、極限的運算法則等知識,綜合性較強. 【例4】 若數(shù)列{an}的首項為a1=1,且對任意n∈N*,an與an+1恰為方程x2-bnx+cn=0的兩根,其中0<|c|<1,當 (b1+b2+…+bn)≤3,求c的取值范圍. 解:首先,由題意對任意n∈N*,anan+1=cn恒成立. ∴===c. 又a1a2=a2=c, ∴a1,a3,a5,…,a2n-1,…是首項為1,公比為c的等比數(shù)列, a2,a4,a6,…,a2n,…是首項為c,公比為c的等比數(shù)列.其次,由于對任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立, ∴==c.又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c, ∴b1,b3,b5,…,b2n-1,…是首項為1+c,公比為c的等比數(shù)列,b2,b4,b6,…,b2n,…是首項為2c,公比為c的等比數(shù)列, ∴(b1+b2+b3+…+bn)=(b1+b3+b5+…)+(b2+b4+…)=+≤3. 解得c≤或c>1. ∵0<|c|<1, ∴0
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