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2019年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 第十一篇 概率、隨機(jī)變量及其分布細(xì)致講解練 理 新人教A版 第1講　隨機(jī)事件的概率 [最新考綱] 1．了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別． 2．了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式. 知 識 梳 理 1．頻率與概率 (1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝為事件A出現(xiàn)的頻率． (2)對于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率． 2．事件的關(guān)系與運(yùn)算 定義 符號表示 包含關(guān)系 如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B) B?A(或A?B) 相等關(guān)系 若B?A且A?B A＝B 并事件(和事件) 若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件(積事件) 若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B(或AB) 互斥事件 若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥 A∩B＝? 對立事件 若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件 A∩B＝? P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)＝1 3.概率的幾個(gè)基本性質(zhì) (1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． ②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)＝1－P(B)． 辨 析 感 悟 1．對隨機(jī)事件概念的理解 (1)“物體在只受重力的作用下會自由下落”是必然事件．(√) (2)“方程x2＋2x＋8＝0有兩個(gè)實(shí)根”是不可能事件．(√) (3)(xx廣州調(diào)研C項(xiàng))“下周六會下雨”是隨機(jī)事件．(√) 2．對互斥事件與對立事件的理解 (4)對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件．(√) (5)(xx鄭州調(diào)研B項(xiàng))從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點(diǎn)數(shù)從1～10各10張)中，任取一張，“抽取黑桃”與“抽取方塊”是對立事件．() 3．對頻率與概率的理解 (6)(教材練習(xí)改編)在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值．(√) (7)(教材習(xí)題改編)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，從A，B中各任意取一個(gè)數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率為.(√) (8)(xx臨沂調(diào)研改編)甲、乙二人下棋，甲獲勝的概率是0.3，甲不輸?shù)母怕蕿?.8，則甲、乙二人下成和棋的概率為0.5.(√) [感悟提升] 兩個(gè)區(qū)別　一是“互斥事件”與“對立事件”的區(qū)別：對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件，如(5)中為互斥事件． 二是“頻率”與“概率”：頻率與概率有本質(zhì)的區(qū)別，不可混為一談．頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而變化，概率卻是一個(gè)常數(shù)，它是頻率的科學(xué)抽象．當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越多時(shí)，頻率向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就可以近似地當(dāng)作隨機(jī)事件的概率. 學(xué)生用書第179頁 考點(diǎn)一　事件的關(guān)系與運(yùn)算 【例1】 一個(gè)均勻的正方體玩具的各個(gè)面上分別標(biāo)以數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個(gè)玩具向上拋擲1次，設(shè)事件A表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，事件B表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3，事件C表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于4，則(　　)． A．A與B是互斥而非對立事件 B．A與B是對立事件 C．B與C是互斥而非對立事件 D．B與C是對立事件 解析　根據(jù)互斥與對立的定義作答，A∩B＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3}，事件A，B不互斥更不對立；B∩C＝?，B∪C＝Ω(Ω為必然事件)，故事件B，C是對立事件． 答案　D 規(guī)律方法 對互斥事件要把握住不能同時(shí)發(fā)生，而對于對立事件除不能同時(shí)發(fā)生外，其并事件應(yīng)為必然事件，這些也可類比集合進(jìn)行理解，具體應(yīng)用時(shí)，可把所有試驗(yàn)結(jié)果寫出來，看所求事件包含哪些試驗(yàn)結(jié)果，從而斷定所給事件的關(guān)系． 【訓(xùn)練1】 對飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈．設(shè)A＝{兩次都擊中飛機(jī)}，B＝{兩次都沒擊中飛機(jī)}，C＝{恰有一次擊中飛機(jī)}，D＝{至少有一次擊中飛機(jī)}，其中彼此互斥的事件是________，互為對立事件的是________． 解析　設(shè)I為對飛機(jī)連續(xù)射擊兩次所發(fā)生的所有情況，因?yàn)锳∩B＝?，A∩C＝?，B∩C＝?，B∩D＝?.故A與B，A與C，B與C，B與D為彼此互斥事件，而B∩D＝?，B∪D＝I，故B與D互為對立事件． 答案　A與B，A與C，B與C，B與D　B與D 考點(diǎn)二　隨機(jī)事件的概率與頻率 【例2】 某小型超市發(fā)現(xiàn)每天營業(yè)額Y(單位：萬元)與當(dāng)天進(jìn)超市顧客人數(shù)X有關(guān)．據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)X＝700時(shí)，Y＝4.6；當(dāng)X每增加10，Y增加0.05.已知近20天X的值為：1 400，1 100，1 900,1 600,1 400,1 600,2 200,1 100,1 600,1 600，1 900，1 400,1 100,1 600,2 200,1 400,1 600,1 600，1 900，700. (1)完成如下的頻率分布表： 近20天每天進(jìn)超市顧客人數(shù)頻率分布表 人數(shù) 700 1 100 1 400 1 600 1 900 2 200 頻率 (2)假定今天進(jìn)超市顧客人數(shù)與近20天進(jìn)超市顧客人數(shù)的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今天營業(yè)額低于10.6萬元高于4.6萬元的概率． 解　(1)在所給數(shù)據(jù)中，進(jìn)超市顧客人數(shù)為1 100的有3個(gè)，為1 600的有7個(gè)，為1 900的有3個(gè)，為2 200的有2個(gè)．故近20天每天進(jìn)超市顧客人數(shù)頻率分布表為 人數(shù) 700 1 100 1 400 1 600 1 900 2 200 頻率 (2)由已知可得Y＝4.6＋0.05＝X＋1.1， ∵4.60就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋． (1)寫出數(shù)量積X的所有可能取值； (2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率． [錯(cuò)解]　(1)數(shù)量積X的所有可能取值為－1,0,1. (2)X＝0時(shí)，有，，共2種情況； X＝1時(shí)，有，，，，共4種情況； X＝－1時(shí)，有，，共2種情況， ∴所有基本事件總數(shù)n＝2＋4＋2＝8. 因此，小波去下棋的概率p1＝＝， 小波唱歌的概率p2＝＝，從而不去唱歌的概率p＝1－p2＝. [錯(cuò)因]　(1)沒能準(zhǔn)確計(jì)算出X的所有可能值，由數(shù)量積的運(yùn)算知X可能?。?，－1,0,1，忽視＝－2. (2)基本事件列舉不全面，思維定勢，如X＝－1，盲目認(rèn)為向量共線，遺漏向量夾角為π的4種情形． [正解]　(1)X的所有可能取值為－2，－1,0,1. (2)數(shù)量積為－2的有，共1種， 數(shù)量積為－1的有，，，，，，共6種． 數(shù)量積為0的有，，，，共4種情形． 數(shù)量積為1的有，，，，共4種情形． 故所有可能的情況共有15種． 所以小波去下棋的概率為p1＝； 因?yàn)槿コ璧母怕蕿閜2＝， 所以小波不去唱歌的概率p＝1－p2＝1－＝. [防范措施]　(1)準(zhǔn)確理解題意，向量數(shù)量積由向量的模、夾角共同確定，要考慮各種情形，注意分類求解． (2)計(jì)算基本事件總數(shù)時(shí)，畫出幾何圖形、樹形圖、分類列舉法、坐標(biāo)網(wǎng)格法是克服此類錯(cuò)誤的有效手段． 【自主體驗(yàn)】 1．(xx安徽卷)若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會均等，則甲或乙被錄用的概率為(　　)． A. B. C. D. 解析　設(shè)事件“甲或乙被錄用”為事件A，則表示甲、乙都沒被錄用，由古典概型，P()＝＝，∴P(A)＝1－＝. 答案　D 2．(xx江蘇卷)現(xiàn)有某類病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m，n(m≤7，n≤9)可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為________． 解析　因1≤m≤7,1≤n≤9且m，n∈N*，∴m為正奇數(shù)有4種情形，n為正奇數(shù)有5種，因此所求事件的概率P＝＝. 答案　 對應(yīng)學(xué)生用書P367 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1．一個(gè)壇子里有編號為1,2，…，12的12個(gè)大小相同的球，其中1到6號球是紅球，其余的是黑球，若從中任取兩個(gè)球，則取到的都是紅球，且至少有1個(gè)球的號碼是偶數(shù)的概率為(　　)． A. B. C. D. 解析　基本事件總數(shù)為C，事件包含的基本事件數(shù)為C－C，故所求的概率為P＝＝. 答案　D 2．一名同學(xué)先后投擲一枚骰子兩次，第一次向上的點(diǎn)數(shù)記為x，第二次向上的點(diǎn)數(shù)記為y，在直角坐標(biāo)系xOy中，以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在直線2x＋y＝8上的概率為(　　)． A. B. C. D. 解析　依題意，以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)共66＝36個(gè)，其中落在直線2x＋y＝8上的點(diǎn)有(1,6)，(2,4)，(3,2)，共3個(gè)，故所求事件的概率P＝＝. 答案　B 3．(xx杭州模擬)從個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個(gè)，其個(gè)位數(shù)為0的概率是(　　)． A. B. C. D. 解析　(1)當(dāng)個(gè)位為奇數(shù)時(shí)，有54＝20(個(gè))符合條件的兩位數(shù)． (2)當(dāng)個(gè)位為偶數(shù)時(shí)，有55＝25(個(gè))符合條件的兩位數(shù)． 因此共有20＋25＝45(個(gè))符合條件的兩位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)為0的兩位數(shù)有5個(gè)，所以所求概率為P＝＝. 答案　D 4．甲、乙兩人一起到阿里山參觀旅游，他們約定，各自獨(dú)立地從1到6號景點(diǎn)中任選4個(gè)進(jìn)行游覽，每個(gè)景點(diǎn)參觀1小時(shí)，則最后1小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的概率是(　　)． A. B. C. D. 解析　甲、乙兩人任選4個(gè)景點(diǎn)游覽，共有AA種游覽方案，又甲、乙最后1小時(shí)在同一景點(diǎn)有CAA種可能．∴所求事件的概率P＝＝. 答案　D 5．(xx濟(jì)南質(zhì)檢)三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽．若每人都選擇其中兩個(gè)項(xiàng)目，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是(　　)． A. B. C. D. 解析　三位同學(xué)每人選擇三項(xiàng)中的兩項(xiàng)有CCC＝333＝27種選法，其中有且僅有兩人所選項(xiàng)目完全相同的有CCC＝332＝18(種)選法．∴所求概率為P＝＝. 答案　A 二、填空題 6．盒中裝有形狀、大小完全相同的5個(gè)球，其中紅色球3個(gè)，黃色球2個(gè)．若從中隨機(jī)取出2個(gè)球，則所取出的2個(gè)球顏色不同的概率等于________． 解析　從5個(gè)球中任取2個(gè)球有C＝10(種)取法，2個(gè)球顏色不同的取法有CC＝6(種)．故所求事件的概率P＝＝. 答案　 7．在集合{x|x＝，n＝1,2,3，…，10}中任取一個(gè)元素，所取元素恰好滿足方程cos x＝的概率是________． 解析　基本事件總數(shù)為10，滿足方程cos x＝的基本事件數(shù)為2，故所求概率為P＝＝. 答案　 8．某同學(xué)同時(shí)擲兩顆骰子，得到點(diǎn)數(shù)分別為a，b，則雙曲線－＝1的離心率e>的概率是________． 解析　由e＝ >，得b>2a，當(dāng)a＝1時(shí)，b＝3,4,5,6四種情況；當(dāng)a＝2時(shí)，b＝5,6兩種情況，總共有6種情況．又同時(shí)擲兩顆骰子，得到的點(diǎn)數(shù)(a，b)共有36種結(jié)果．∴所求事件的概率P＝＝. 答案　 三、解答題 9．甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． (1)若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，求選出的2名教師性別相同的概率； (2)若從報(bào)名的6名教師中任選2名，求選出的2名老師來自同一學(xué)校的概率． 解　(1)從甲、乙兩校報(bào)名的教師中各選1名，共有n＝CC＝9種選法． 記“2名教師性別相同”為事件A，則事件A包含基本事件總數(shù)m＝C1＋C1＝4，∴P(A)＝＝. (2)從報(bào)名的6人中任選2名，有n＝C＝15種選法． 記“選出的2名老師來自同一學(xué)?！睘槭录﨎，則事件B包含基本事件總數(shù)m＝2C＝6. ∴選出2名教師來自同一學(xué)校的概率P(B)＝＝. 10．(xx鄭州質(zhì)檢)某地區(qū)有小學(xué)21所，中學(xué)14所，大學(xué)7所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查． (1)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目； (2)若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，求抽到小學(xué)、中學(xué)各一所的概率． 解　(1)由分層抽樣定義知， 從小學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6＝3； 從中學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6＝2； 從大學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6＝1. 故從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3,2,1. (2)記“抽到小學(xué)、中學(xué)各一所”為事件A， 則事件A共有基本事件m＝CC＝6(種)抽法， 又從6所學(xué)校任抽取2所有n＝C＝15種抽法． 因此，所求事件的概率P＝＝＝. 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、選擇題 1．連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，記向量a＝(m，n)與向量b＝(1，－1)的夾角為θ.則θ∈的概率是(　　)． A. B. C. D. 解析　∵cos θ＝，θ∈， ∴m≥n滿足條件，m＝n的概率為＝. m>n的概率為＝. ∴θ∈的概率為＋＝. 答案　C 2．(xx合肥模擬)有5本不同的書，其中語文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本，若將其隨機(jī)地抽取并排擺放在書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率是(　　)． A. B. C. D. 解析　第一步先排語文書有A＝2(種)排法．第二步排物理書，分成兩類．一類是物理書放在語文書之間，有1種排法，這時(shí)數(shù)學(xué)書可從4個(gè)空中選兩個(gè)進(jìn)行排列，有A＝12(種)排法；一類是物理書不放在語文書之間有2種排法，再選一本數(shù)學(xué)書放在語文書之間有2種排法，另一本有3種排法．因此同一科目的書都不相鄰共有2(12＋223)＝48(種)排法，而5本書全排列共有A＝120(種)， 所以同一科目的書都不相鄰的概率是＝. 答案　B 二、填空題 3．某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其他三門藝術(shù)課各1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為________(用數(shù)字作答)． 解析　法一　6節(jié)課的全排列為A種，相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔1節(jié)藝術(shù)課的排法是：先排三節(jié)文化課，再利用插空法排藝術(shù)課，即為(ACAA＋2AA)種，由古典概型概率公式得P(A)＝＝. 法二　6節(jié)課的全排列為A種，先排三節(jié)藝術(shù)課有A種不同方法，同時(shí)產(chǎn)生四個(gè)空，再利用插空法排文化課共有A種不同方法，故由古典概型概率公式得P(A)＝＝. 答案　 三、解答題 4．現(xiàn)有8名xx年倫敦奧運(yùn)會志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通曉日語，B1，B2，B3通曉俄語，C1，C2通曉韓語．從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個(gè)小組． (1)求A1被選中的概率； (2)求B1和C1不全被選中的概率． 解　(1)從8人中選出日語、俄語和韓語志愿者各1名，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件共有CCC＝18個(gè)， 由于每一個(gè)基本事件被抽取的機(jī)會均等，因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的． 記“A1恰被選中”為事件M，則M發(fā)生共有CC＝6個(gè)基本事件． 因而P(M)＝＝. (2)用N表示“B1，C1不全被選中”這一事件，則其對立事件表示“B1，C1全被選中”這一事件，由于包含(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)3個(gè)結(jié)果，事件有3個(gè)基本事件組成，所以P()＝＝，由對立事件的概率公式得P(N)＝1－P()＝1－＝. 學(xué)生用書第185頁 第3講　幾何概型 [最新考綱] 1．了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率． 2．了解幾何概型的意義. 知 識 梳 理 幾何概型 (1)定義：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型． (2)特點(diǎn)：①無限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)； ②等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性． (3)公式： P(A)＝. 辨 析 感 悟 1．對幾何概型的理解 (1)(教材習(xí)題改編)幾何概型中，每一個(gè)基本事件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會相等．(√) (2)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形．(√) (3)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān)．() 2．幾何概型的計(jì)算 (4)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到1的概率是P＝.() (5)(xx福建卷改編)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a－1＜0”發(fā)生的概率為.(√) [感悟提升] 1．一個(gè)區(qū)別　“幾何概型”與“古典概型”的區(qū)別：基本事件的個(gè)數(shù)前者是無限的，后者是有限的． 2．一點(diǎn)提醒　幾何概型的試驗(yàn)中，事件A的概率P(A)只與子區(qū)域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)，如(3). 學(xué)生用書第186頁 考點(diǎn)一　與長度、角度有關(guān)的幾何概型 【例1】 (1)(xx湖北卷)在區(qū)間[－2,4