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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3.2 雙曲線的幾何性質(zhì)教案 蘇教版選修2-1 教學(xué)目標(biāo) 1．了解雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，如范圍、對稱性、頂點(diǎn)、漸近線和離心率等。 2．能用雙曲線的簡單幾何性質(zhì)解決一些簡單問題。 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用。 難點(diǎn)：雙曲線的漸近線。 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)提問引入新課 1．橢圓有哪些幾何性質(zhì)，是如何探討的？ 2．雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？ 下面我們類比橢圓的幾何性質(zhì)來研究它的幾何性質(zhì)． 二、類比聯(lián)想得出性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)) 引導(dǎo)學(xué)生完成下列關(guān)于橢圓與雙曲線性質(zhì)的表格 三、漸近線 雙曲線的范圍在以直線和為邊界的平面區(qū)域內(nèi)，那么從x、y的變化趨勢看，雙曲線與直線具有怎樣的關(guān)系呢？ 根據(jù)對稱性，可以先研究雙曲線在第一象限的部分與直線的關(guān)系。 雙曲線在第一象限的部分可寫成： 設(shè)是它上面的點(diǎn)，是直線上與有相同的橫坐標(biāo)的點(diǎn)，則 設(shè)是點(diǎn)M到直線的距離，則有。 當(dāng)x逐漸增大時，逐漸減小，x無限增大，接近于零，也接近于零，就是說，雙曲線在第一象限的部分從射線ON的下方逐漸接近于射線ON． 在其他象限內(nèi)也可以證明類似的情況． 我們把兩條直線叫做雙曲線的漸近線。 現(xiàn)在來看看實軸在y軸上的雙曲線的漸近線方程是怎樣的？由于焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線方程是由焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程，將x、y字母對調(diào)所得到，自然前者漸近線方程也可由后者漸近線方程將x、y字母對 調(diào)而得，所以，雙曲線的漸近線的方程是即。 定義：直線叫做雙曲線的漸近線；直線叫做雙曲線的漸近線。 這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠(yuǎn)處趨向問題，從而可比較精確地畫出雙曲線。 例如：畫雙曲線，先作漸近線，再描幾個點(diǎn)，就可以隨后畫出比較精確的雙曲線。 四、離心率 由于正確認(rèn)識了漸近線的概念，對于離心率的直觀意義也就容易掌握了，為此，介紹一下雙曲線的離心率以及它對雙曲線的形狀的影響： 1．雙曲線的焦距與實軸的比叫做雙曲線的離心率，且。 2．由于，所以越大，也越大，即漸近線的斜率絕對值越大。這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊，從而得出：雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊。 這時，指出：焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)可以類似得出，雙曲線的幾何性質(zhì)與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變． 五、例題講解 例1求雙曲線的實軸長和虛軸長、焦點(diǎn)的坐標(biāo)、離心率、漸近線方程． 分析：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，容易求出．引導(dǎo)學(xué)生用雙曲線的實軸長、虛軸長、離心率、焦點(diǎn)和漸近線的定義即可求相關(guān)量或式子，但要注意焦點(diǎn)在y軸上的漸近線是． 例2： 已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，焦距為16，離心率為，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 例3：求與雙曲線共漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方及離心率． 分析：已知雙曲線的漸近線求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：方法一按焦點(diǎn)位置分別設(shè)方程求解；方法二可直接設(shè)所求的雙曲線的方程為 求雙曲線的實半軸長和虛半軸長、焦點(diǎn)的坐標(biāo)、離心率、漸近線方程． 例4 ：如圖，設(shè)與定點(diǎn)的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù)，求點(diǎn)M的軌跡方程． 分析：若設(shè)點(diǎn)，則，到直線：的距離，則容易得點(diǎn)M的軌跡方程． 例5：雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面如圖（1），它的最小半徑為12m， 上口半徑為13m，下口半徑為25m，高為55m．試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出雙曲線的方程（各長度 量精確到1m）． 六、課堂練習(xí) 1．已知雙曲線方程如下，求它們的兩個焦點(diǎn)、離心率e和漸近線方程． ⑴； ⑵ 2．求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： ⑴實軸的長是10，虛軸長是8，焦點(diǎn)在x軸上； ⑵焦距是10，虛軸長是8，焦點(diǎn)在y軸上； ⑶離心率，經(jīng)過點(diǎn)； ⑷兩條漸近線的方程是，經(jīng)過點(diǎn)。 3．求以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，而以橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的方程。