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2019-2020年高一數(shù)學(xué) 增效減負(fù) 正弦定理（1）教學(xué)案 【三維目標(biāo)】： 一、知識(shí)與技能 1.探索并了解基本不等式的證明過(guò)程，體會(huì)證明不等式的基本思想方法； 2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（小）值問(wèn)題； 3.學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)“≥”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等； 4.理解兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的證明以及它的幾何解釋； 二、過(guò)程與方法 1.通過(guò)實(shí)例探究抽象基本不等式； 2.本節(jié)學(xué)習(xí)是學(xué)生對(duì)不等式認(rèn)知的一次飛躍。要善于引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形兩方面深入地探究不等式的證明，從而進(jìn)一步突破難點(diǎn)。變式練習(xí)的設(shè)計(jì)可加深學(xué)生對(duì)定理的理解，并為以后實(shí)際問(wèn)題的研究奠定基礎(chǔ)。兩個(gè)定理的證明要注重嚴(yán)密性，老師要幫助學(xué)生分析每一步的理論依據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)品質(zhì) 三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀 1.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 2.培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的邏輯推理能力，并通過(guò)不等式的幾何解釋，豐富學(xué)生數(shù)形結(jié)合的想象力 【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】： 重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過(guò)程； 難點(diǎn)：理解基本不等式等號(hào)成立條件及 “當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵 【學(xué)法與教學(xué)用具】： 1.學(xué)法：先讓學(xué)生觀察常見的圖形，通過(guò)面積的直觀比較抽象出基本不等式。從生活中實(shí)際問(wèn)題還原出數(shù)學(xué)本質(zhì)，可積極調(diào)動(dòng)地學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。定理的證明要留給學(xué)生充分的思考空間，讓他們自主探究，通過(guò)類比得到答案 2.教學(xué)用具：直角板、圓規(guī)、投影儀（多媒體教室） 【授課類型】：新授課 【課時(shí)安排】：1課時(shí) 【教學(xué)思路】： 一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 1. 提問(wèn)：與哪個(gè)大？ 2.基本不等式的幾何背景： 如圖是在北京召開的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？（教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系）。 二、研探新知 重要不等式 ：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù) 、，我們有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。 證明: 所以 注意強(qiáng)調(diào) 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 注意：（1）等號(hào)成立的條件，“當(dāng)且僅當(dāng)”指充要條件； （2） 公式中的字母和既可以是具體的數(shù)字，也可以是比較復(fù)雜的變量式，因此應(yīng)用范圍比較廣泛。 基本不等式：對(duì)任意正數(shù)、，有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 證法1：可以將基本不等式2看作是基本不等式1的推論。 由基本不等式1，得 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 證法2：當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取“”。 證法3：要證，只要證，只要證，只要證 因?yàn)樽詈笠粋€(gè)不等式成立，所以成立，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取“”。 證法4：對(duì)于正數(shù)有， 說(shuō)明： 把和分別叫做正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)，上述不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 上述結(jié)論可推廣至3個(gè)正數(shù)。 （1）基本不等式成立的條件是： （2）不等式證明的三種方法：比較法（證法1）、分析法（證法2）、綜合法（證法3） （圖1） （3）的幾何解釋：（如圖1）以為直徑作圓，在直徑上取一點(diǎn)， 過(guò)作弦，則，從而，而半徑 基本不等式幾何意義是：“半徑不小于半弦” （4）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”的含義：一方面是當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即 ；另一方面是僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即 。 （5）如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）． （6）如果把看作是正數(shù)、的等差中項(xiàng)，看作是正數(shù)、的等比中項(xiàng)，那么該定理可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng). 2.在數(shù)學(xué)中，我們稱為、的算術(shù)平均數(shù)，稱為、的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù). 三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維 例1 （教材例1）設(shè)為正數(shù)，證明下列不等式成立：（1）；（2） 證明：（1）∵為正數(shù)，∴也為正數(shù)，由基本不等式得∴原不等式成立。 （2）∵均為正數(shù)，由基本不等式得，∴原不等式成立。 例2 已知為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證： 證明：∵為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，∴，，， 以上三式相加：，所以，． 例3 已知都是正數(shù)，求證． 證明：由都是正數(shù)，得： ，， ∴，即． 例4 已知函數(shù)，求的范圍 例5求證：． 證明：∵， 又， ∴， ∴，即． 四、鞏固深化，反饋矯正 1.已知都是正數(shù)，求證： 2.已知都是正數(shù)，求證：； 3. 思考題：若，求的最大值 五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí) 1．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念； 2．基本不等式及其應(yīng)用條件； 3．不等式證明的三種常用方法。 小結(jié)：正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù) 六、承上啟下，留下懸念 七、板書設(shè)計(jì)（略） 八、課后記：