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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第24講 三角恒等變形及應(yīng)用教案 新人教版 一．課標(biāo)要求： 1．經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，進(jìn)一步體會向量方法的作用； 2．能從兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系； 3．能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換（包括引導(dǎo)導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）。 二．命題走向 從近幾年的高考考察的方向來看，這部分的高考題以選擇、解答題出現(xiàn)的機(jī)會較多，有時(shí)候也以填空題的形式出現(xiàn)，它們經(jīng)常與三角函數(shù)的性質(zhì)、解三角形及向量聯(lián)合考察，主要題型有三角函數(shù)求值，通過三角式的變換研究三角函數(shù)的性質(zhì)。 本講內(nèi)容是高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)之一，三角函數(shù)的化簡、求值及三角恒等式的證明是三角變換的基本問題。歷年高考中，在考察三角公式的掌握和運(yùn)用的同時(shí)，還注重考察思維的靈活性和發(fā)散性，以及觀察能力、運(yùn)算及觀察能力、運(yùn)算推理能力和綜合分析能力。 三．要點(diǎn)精講 1．兩角和與差的三角函數(shù) ； ； 。 2．二倍角公式 ； ； 。 3．三角函數(shù)式的化簡 常用方法：①直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化簡要求：①能求出值的應(yīng)求出值；②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；③使項(xiàng)數(shù)盡量少；④盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。 （1）降冪公式 ；；。 （2）輔助角公式 ， 。 4．三角函數(shù)的求值類型有三類 （1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題； （2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論； （3）給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。 5．三角等式的證明 （1）三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”； （2）三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進(jìn)行證明。 四．典例解析 題型1：兩角和與差的三角函數(shù) 例1．已知，求cos。 分析：因?yàn)榧瓤煽闯墒强醋魇堑谋督?，因而可得到下面的兩種解法。 解法一：由已知sin+sin=1…………①， cos+cos=0…………②， ①2＋②2得 2+2cos； ∴ cos。 ①2－②2得 cos2+cos2+2cos（）=－1， 即2cos（）〔〕=－1。 ∴。 解法二：由①得…………③ 由②得…………④ ④③得 點(diǎn)評：此題是給出單角的三角函數(shù)方程，求復(fù)角的余弦值，易犯錯誤是利用方程組解sin、cos 、 sin 、 cos，但未知數(shù)有四個(gè)，顯然前景并不樂觀，其錯誤的原因在于沒有注意到所求式與已知式的關(guān)系本題關(guān)鍵在于化和為積促轉(zhuǎn)化，“整體對應(yīng)”巧應(yīng)用。 例2．已知求。 分析：由韋達(dá)定理可得到進(jìn)而可以求出的值，再將所求值的三角函數(shù)式用tan表示便可知其值。 解法一：由韋達(dá)定理得tan， 所以tan 解法二：由韋達(dá)定理得tan， 所以tan ， 。 點(diǎn)評：（1）本例解法二比解法一要簡捷，好的解法來源于熟練地掌握知識的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，從而尋找解答本題的知識“最近發(fā)展區(qū)”。（2）運(yùn)用兩角和與差角三角函數(shù)公式的關(guān)鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關(guān)系，次數(shù)關(guān)系，三角函數(shù)名等抓住公式的結(jié)構(gòu)特征對提高記憶公式的效率起到至關(guān)重要的作用，而且抓住了公式的結(jié)構(gòu)特征，有利于在解題時(shí)觀察分析題設(shè)和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到相應(yīng)的公式，從而找到解題的切入點(diǎn)。（3）對公式的逆用公式，變形式也要熟悉，如 題型2：二倍角公式 例3．化簡下列各式： （1）， （2）。 分析：（1）若注意到化簡式是開平方根和2以及其范圍不難找到解題的突破口；（2）由于分子是一個(gè)平方差，分母中的角，若注意到這兩大特征，，不難得到解題的切入點(diǎn)。 解析：（1）因?yàn)椋? 又因， 所以，原式=。 （2）原式= =。 點(diǎn)評：（1）在二倍角公式中，兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，不僅限于2是的二倍，要熟悉多種形式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，同時(shí)還要注意三個(gè)角的內(nèi)在聯(lián)系的作用，是常用的三角變換。（2）化簡題一定要找準(zhǔn)解題的突破口或切入點(diǎn)，其中的降次，消元，切割化弦，異名化同名，異角化同角是常用的化簡技巧。（3）公式變形，。 例4．若。 分析：注意的兩變換，就有以下的兩種解法。 解法一：由， 解法二：， 點(diǎn)評：此題若將的左邊展開成再求cosx，sinx的值，就很繁瑣，把，并注意角的變換2運(yùn)用二倍角公式，問題就公難為易，化繁為簡所以在解答有條件限制的求值問題時(shí)，要善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件的角的聯(lián)系，一般方法是拼角與拆角， 如， ， 等。 題型3：輔助角公式 例5．已知正實(shí)數(shù)a,b滿足。 分析：從方程 的觀點(diǎn)考慮，如果給等式左邊的分子、分母同時(shí)除以a，則已知等式可化為關(guān)于程，從而可求出由，若注意到等式左邊的分子、分母都具有的結(jié)構(gòu)，可考慮引入輔助角求解。 解法一：由題設(shè)得 解法二： 解法三： 點(diǎn)評：以上解法中，方法一用了集中變量的思想，是一種基本解法；解法二通過模式聯(lián)想，引入輔助角，技巧性較強(qiáng)，但輔助角公式，，或 在歷年高考中使用頻率是相當(dāng)高的，應(yīng)加以關(guān)注；解法三利用了換元法，但實(shí)質(zhì)上是綜合了解法一和解法二的解法優(yōu)點(diǎn)，所以解法三最佳。 例6．（xx全國理，17）已知函數(shù)y＝cos2x＋sinxcosx＋1，x∈R. （1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合； （2）該函數(shù)的圖象可由y＝sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到? （理）（1）解析：y＝cos2x＋sinxcosx＋1 ＝（2cos2x－1）＋＋（2sinxcosx）＋1 ＝cos2x＋sin2x＋ ＝（cos2xsin＋sin2xcos）＋ ＝sin（2x＋）＋ y取得最大值必須且只需2x＋＝＋2kπ，k∈Z， 即x＝＋kπ，k∈Z。 所以當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，自變量x的集合為｛x|x＝＋kπ，k∈Z｝。 （2）將函數(shù)y＝sinx依次進(jìn)行如下變換： ①把函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移，得到函數(shù)y＝sin（x＋）的圖象； ②把得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù) y＝sin（2x＋）的圖象； ③把得到的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù) y＝sin（2x＋）的圖象； ④把得到的圖象向上平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)y＝sin（2x＋）＋的圖象； 綜上得到函數(shù)y＝cos2x＋sinxcosx＋1的圖象。 點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能以及運(yùn)算能力。 （xx全國文，17）已知函數(shù)y＝sinx＋cosx，x∈R. （1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合； （2）該函數(shù)的圖象可由y＝sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到? 解析：（1）y＝sinx＋cosx＝2（sinxcos＋cosxsin）＝2sin（x＋），x∈R y取得最大值必須且只需x＋＝＋2kπ，k∈Z， 即x＝＋2kπ，k∈Z。 所以，當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，自變量x的集合為｛x|x＝＋2kπ，k∈Z｝ （2）變換的步驟是： ①把函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移，得到函數(shù)y＝sin（x＋）的圖象； ②令所得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，把縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù) y＝2sin（x＋）的圖象； 經(jīng)過這樣的變換就得到函數(shù)y＝sinx＋cosx的圖象。 點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能及運(yùn)算能力。 題型4：三角函數(shù)式化簡 例7．（1995全國理，22）求sin220＋cos250＋sin20cos50的值。 解析：原式＝（1－cos40）＋（1＋cos100）＋（sin70－sin30） ＝1＋（cos100－cos40）＋sin70－ ＝－sin70sin30＋sin70 ＝－sin70＋sin70＝。 點(diǎn)評：本題考查三角恒等式和運(yùn)算能力。 例8．（06北京理，15）已知函數(shù). （Ⅰ）求的定義域； （Ⅱ）設(shè)的第四象限的角，且，求的值。 解析：（Ⅰ）由 得， 故在定義域?yàn)? （Ⅱ）因?yàn)?，且是第四象限的? 所以 a 故 。 題型5：三角函數(shù)求值 例9．（06重慶理，17）設(shè)函數(shù)f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。 （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果f(x)在區(qū)間上的最小值為，求a的值。 解析：（I） 依題意得 ． （II）由（I）知，。 又當(dāng)時(shí)，，故，從而在區(qū)間上的最小值為，故 例10．（06上海理，17）求函數(shù)＝2＋的值域和最小正周期。 解析：y=cos(x+) cos(x－)+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+)， ∴函數(shù)y=cos(x+) cos(x－)+sin2x的值域是[－2,2],最小正周期是π。 題型6：三角函數(shù)綜合問題 例11．已知向量 （I）若求 （II）求的最大值。 解析：（1）； 當(dāng)=1時(shí)有最大值,此時(shí)，最大值為。 點(diǎn)評：本題主要考察以下知識點(diǎn)：1、向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0；2，特殊角的三角函數(shù)值；3、三角函數(shù)的基本關(guān)系以及三角函數(shù)的有界性；4.已知向量的坐標(biāo)表示求模，難度中等，計(jì)算量不大。 例12．（xx天津理，22）設(shè)0<θ<，曲線x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ－y2sinθ=1有4個(gè)不同的交點(diǎn)。 （1）求θ的取值范圍； （2）證明這4個(gè)交點(diǎn)共圓，并求圓半徑的取值范圍。 解析：（1）解方程組，得； 故兩條已知曲線有四個(gè)不同的交點(diǎn)的充要條件為，（0<θ<）0<θ<。 （2）設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（xi，yi）（i=1，2，3，4），則：xi2+yi2=2cosθ∈（，2）（i=1，2，3，4）。 故四個(gè)交點(diǎn)共圓，并且這個(gè)圓的半徑r=cosθ∈（）. 點(diǎn)評：本題注重考查應(yīng)用解方程組法處理曲線交點(diǎn)問題，這也是曲線與方程的基本方法，同時(shí)本題也突出了對三角不等關(guān)系的考查。 題型7：三角函數(shù)的應(yīng)用 例13．有一塊扇形鐵板，半徑為R，圓心角為60，從這個(gè)扇形中切割下一個(gè)內(nèi)接矩形，即矩形的各個(gè)頂點(diǎn)都在扇形的半徑或弧上，求這個(gè)內(nèi)接矩形的最大面積． 分析：本題入手要解決好兩個(gè)問題， （1）內(nèi)接矩形的放置有兩種情況，如圖2-19所示，應(yīng)該分別予以處理； （2）求最大值問題這里應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，怎么選擇便于以此表達(dá)矩形面積的自變量。 解析：如圖2-19(1)設(shè)∠FOA=θ，則FG＝Rsinθ， ， 。 又設(shè)矩形EFGH的面積為S，那么 又∵0＜θ＜60，故當(dāng)cos(2θ－60)＝1，即θ=30′時(shí)， 如圖2-19 (2)，設(shè)∠FOA＝θ，則EF＝2Rsin(30－θ)，在△OFG中，∠OGF＝150 設(shè)矩形的面積為S． 那么S＝EFFG＝4R2sinθsin(30-θ) ＝2R2［cos(2θ－30)－cos30] 又∵0＜θ＜30，故當(dāng)cos(2θ－30)＝1 。 五．思維總結(jié) 從近年高考的考查方向來看，這部分常常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也以大題的形式出現(xiàn)，分值約占5%因此能否掌握好本重點(diǎn)內(nèi)容，在一定的程度上制約著在高考中成功與否。 1．兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： （1）不僅對公式的正用逆用要熟悉，而且對公式的變形應(yīng)用也要熟悉； （2）善于拆角、拼角 如，等； （3）注意倍角的相對性 （4）要時(shí)時(shí)注意角的范圍 （5）化簡要求 熟悉常用的方法與技巧，如切化弦，異名化同名，異角化同角等。 2．證明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式進(jìn)行化名，化角，改變運(yùn)算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化為同一形式。 （2）證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。 3．解答三角高考題的策略。 （1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”。 （2）尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。 （3）合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓剑偈共町惖霓D(zhuǎn)化。 4．加強(qiáng)三角函數(shù)應(yīng)用意識的訓(xùn)練 xx年高考理科第20題實(shí)質(zhì)是一個(gè)三角問題，由于考生對三角函數(shù)的概念認(rèn)識膚淺，不能將以角為自變量的函數(shù)迅速與三角函數(shù)之間建立聯(lián)系，造成思維障礙，思路受阻.實(shí)際上，三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，也是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，它產(chǎn)生于生產(chǎn)實(shí)踐，是客觀實(shí)際的抽象，同時(shí)又廣泛地應(yīng)用于客觀實(shí)際，故應(yīng)培養(yǎng)實(shí)踐第一的觀點(diǎn).總之，三角部分的考查保持了內(nèi)容穩(wěn)定，難度穩(wěn)定，題量穩(wěn)定，題型穩(wěn)定，考查的重點(diǎn)是三角函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象，三角函數(shù)的求值問題以及三角變換的方法。 5．變?yōu)橹骶€、抓好訓(xùn)練 變是本章的主題，在三角變換考查中，角的變換，三角函數(shù)名的變換，三角函數(shù)次數(shù)的變換，三角函數(shù)式表達(dá)形式的變換等比比皆是，在訓(xùn)練中，強(qiáng)化變意識是關(guān)鍵，但題目不可太難，較特殊技巧的題目不做，立足課本，掌握課本中常見問題的解法，把課本中習(xí)題進(jìn)行歸類，并進(jìn)行分析比較，尋找解題規(guī)律。 針對高考中題目看，還要強(qiáng)化變角訓(xùn)練，經(jīng)常注意收集角間關(guān)系的觀察分析方法.另外如何把一個(gè)含有不同名或不同角的三角函數(shù)式化為只含有一個(gè)三角函數(shù)關(guān)系式的訓(xùn)練也要加強(qiáng)，這也是高考的重點(diǎn).同時(shí)應(yīng)掌握三角函數(shù)與二次函數(shù)相結(jié)合的題目。