2019-2020年高中數(shù)學 第三講《柯西不等式與排序不等式》教案(1) 新人教版選修4-5.doc
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2019-2020年高中數(shù)學 第三講《柯西不等式與排序不等式》教案(1) 新人教版選修4-5 教學要求:認識二維柯西不等式的幾種形式,理解它們的幾何意義, 并會證明二維柯西不等式及向量形式. 教學重點:會證明二維柯西不等式及三角不等式. 教學難點:理解幾何意義. 教學過程: 一、復習準備: 1. 提問: 二元均值不等式有哪幾種形式? 答案:及幾種變式. 2. 練習:已知a、b、c、d為實數(shù),求證 證法:(比較法)=….= 二、講授新課: 1. 教學柯西不等式: ① 提出定理1:若a、b、c、d為實數(shù),則. → 即二維形式的柯西不等式 → 什么時候取等號? ② 討論:二維形式的柯西不等式的其它證明方法? 證法二:(綜合法) . (要點:展開→配方) 證法三:(向量法)設向量,,則,. ∵ ,且,則. ∴ ….. 證法四:(函數(shù)法)設,則 ≥0恒成立. ∴ ≤0,即….. ③ 討論:二維形式的柯西不等式的一些變式? 變式: 或 或. ④ 提出定理2:設是兩個向量,則. 即柯西不等式的向量形式(由向量法提出 ) → 討論:上面時候等號成立?(是零向量,或者共線) ⑤ 練習:已知a、b、c、d為實數(shù),求證. 證法:(分析法)平方 → 應用柯西不等式 → 討論:其幾何意義?(構(gòu)造三角形) 2. 教學三角不等式: ① 出示定理3:設,則. 分析其幾何意義 → 如何利用柯西不等式證明 → 變式:若,則結(jié)合以上幾何意義,可得到怎樣的三角不等式? 3. 小結(jié):二維柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式;三角不等式的兩種形式(兩點、三點) 三、鞏固練習: 1. 練習:試寫出三維形式的柯西不等式和三角不等式 2. 作業(yè):教材P37 4、5題. 第二課時 3.1 二維形式的柯西不等式(二) 教學要求:會利用二維柯西不等式及三角不等式解決問題,體會運用經(jīng)典不等式的一般方法——發(fā)現(xiàn)具體問題與經(jīng)典不等式之間的關系,經(jīng)過適當變形,依據(jù)經(jīng)典不等式得到不等關系. 教學重點:利用二維柯西不等式解決問題. 教學難點:如何變形,套用已知不等式的形式. 教學過程: 一、復習準備: 1. 提問:二維形式的柯西不等式、三角不等式? 幾何意義? 答案:; 2. 討論:如何將二維形式的柯西不等式、三角不等式,拓廣到三維、四維? 3. 如何利用二維柯西不等式求函數(shù)的最大值? 要點:利用變式. 二、講授新課: 1. 教學最大(?。┲担? ① 出示例1:求函數(shù)的最大值? 分析:如何變形? → 構(gòu)造柯西不等式的形式 → 板演 → 變式: → 推廣: ② 練習:已知,求的最小值. 解答要點:(湊配法). 討論:其它方法 (數(shù)形結(jié)合法) 2. 教學不等式的證明: ① 出示例2:若,,求證:. 分析:如何變形后利用柯西不等式? (注意對比 → 構(gòu)造) 要點:… 討論:其它證法(利用基本不等式) ② 練習:已知、,求證:. 3. 練習: ① 已知,且,則的最小值. 要點:…. → 其它證法 ② 若,且,求的最小值. (要點:利用三維柯西不等式) 變式:若,且,求的最大值. 3. 小結(jié):比較柯西不等式的形式,將目標式進行變形,注意湊配、構(gòu)造等技巧. 三、鞏固練習: 1. 練習:教材P37 8、9題 2. 作業(yè):教材P37 1、6、7題 第三課時 3.2 一般形式的柯西不等式 教學要求:認識一般形式的柯西不等式,會用函數(shù)思想方法證明一般形式的柯西不等式,并應用其解決一些不等式的問題. 教學重點:會證明一般形式的柯西不等式,并能應用. 教學難點:理解證明中的函數(shù)思想. 教學過程: 一、復習準備: 1. 練習: 2. 提問:二維形式的柯西不等式?如何將二維形式的柯西不等式拓廣到三維? 答案:; 二、講授新課: 1. 教學一般形式的柯西不等式: ① 提問:由平面向量的柯西不等式,如果得到空間向量的柯西不等式及代數(shù)形式? ② 猜想:n維向量的坐標?n維向量的柯西不等式及代數(shù)形式? 結(jié)論:設,則 討論:什么時候取等號?(當且僅當時取等號,假設) 聯(lián)想:設,,,則有,可聯(lián)想到一些什么? ③ 討論:如何構(gòu)造二次函數(shù)證明n維形式的柯西不等式? (注意分類) 要點:令 ,則 . 又,從而結(jié)合二次函數(shù)的圖像可知, ≤0 即有要證明的結(jié)論成立. (注意:分析什么時候等號成立.) ④ 變式:. (討論如何證明) 2. 教學柯西不等式的應用: ① 出示例1:已知,求的最小值. 分析:如何變形后構(gòu)造柯西不等式? → 板演 → 變式: ② 練習:若,且,求的最小值. ③ 出示例2:若>>,求證:. 要點: 3. 小結(jié):柯西不等式的一般形式及應用;等號成立的條件;根據(jù)結(jié)構(gòu)特點構(gòu)造證明. 三、鞏固練習: 1. 練習:教材P41 4題 2. 作業(yè):教材P41 5、6題 第四課時 3.3 排序不等式 教學要求:了解排序不等式的基本形式,會運用排序不等式分析解決一些簡單問題,體會運用經(jīng)典不等式的一般方法. 教學重點:應用排序不等式證明不等式. 教學難點:排序不等式的證明思路. 教學過程: 一、復習準備: 1. 提問: 前面所學習的一些經(jīng)典不等式? (柯西不等式、三角不等式) 2. 舉例:說說兩類經(jīng)典不等式的應用實例. 二、講授新課: 1. 教學排序不等式: ① 看書:P42~P44. ② 提出排序不等式(即排序原理): 設有兩個有序?qū)崝?shù)組:;.是,的任一排列,則有 + (同序和) ++ (亂序和) ++ (反序和) 當且僅當=或=時,反序和等于同序和. (要點:理解其思想,記住其形式) 2. 教學排序不等式的應用: ① 出示例1:設是n個互不相同的正整數(shù),求證: . 分析:如何構(gòu)造有序排列? 如何運用套用排序不等式? 證明過程: 設是的一個排列,且,則. 又,由排序不等式,得 … 小結(jié):分析目標,構(gòu)造有序排列. ② 練習: 已知為正數(shù),求證:. 解答要點:由對稱性,假設,則, 于是 ,, 兩式相加即得. 3. 小結(jié):排序不等式的基本形式. 三、鞏固練習: 1. 練習:教材P45 1題 2. 作業(yè):教材P45 3、4題- 配套講稿:
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