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2019-2020年高中數學《向量的線性運算》教案8 蘇教版必修4 一、課題：向量的數乘（1） 二、教學目標：1．掌握實數與向量的積的定義； 2．掌握實數與向量的積的運算律，并進行有關的計算； 3．理解兩向量共線（平行）的充要條件，并會判斷兩個向量是否共線。 三、教學重、難點：1．實數與向量的積的定義及其運算律，向量共線的充要條件； 2．向量共線的充要條件及其應用。 四、教學過程： （一）復習： 已知非零向量，求作和． 如圖：，． （二）新課講解： 1．實數與向量的積的定義： 一般地，實數與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下： （1）； （2）當時，的方向與的方向相同； 當時，的方向與的方向相反； 當 時，． 2．實數與向量的積的運算律： （1）（結合律）； （2）（第一分配律）； （3）（第二分配律）． 例1 計算：（1）； （2）； （3）． 解：（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=． 3．向量共線的充要條件： 定理：（向量共線的充要條件）向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數，使得． 例2 如圖，已知，．試判斷與是否共線． 解：∵ ∴與共線． 例3 判斷下列各題中的向量是否共線： （1），； （2），，且，共線． 解：（1）當時，則，顯然與共線． 當時， ，∴與共線． （3）當，中至少有一個為零向量時，顯然與共線． 當，均不為零向量時，設 ∴， 若時，，，顯然與共線． 若時，， ∴與共線． 例4 設是兩個不共線的向量，已知，，， 若，，三點共線，求的值。 解： ∵，，三點共線，∴與共線，即存在實數，使得， 即是. 由向量相等的條件，得 ，∴． 五、課堂練習： 六、小結：1．掌握實數與向量的積的定義； 2．掌握實數與向量的積的運算律，并進行有關的計算； 3．理解兩向量共線（平行）的充要條件，并會判斷兩個向量是否共線。 七、作業(yè)： 補充：1．設是兩個不共線的向量，而和共線，求實數的值； 2．設二個非零向量不共線，如果，， ，求證，，三點共線。 2.2.3 向量的數乘（2） 一、課題：向量的數乘（2）） 二、教學目標：1．了解平面向量基本定理的概念； 2．通過定理用兩個不共線向量來表示另一向量或將一個向量分解為兩個 向量； 3．能運用平面向量基本定理處理簡單的幾何問題。 三、教學重、難點：1．平面向量基本定理的應用； 2．平面向量基本定理的理解。 四、教學過程： （一）復習引入： （1）向量的加法運算、向量共線定理； （2）設，是同一平面內的兩個不共線的向量，是這一平面內的任一向量，下面我們 來研究向量與， 的關系。 （二）新課講解： 1．平面向量基本定理： 如果，是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數，，使．其中我們把不共線的向量，叫做表示這一平面所有向量的一組基底。 注：①，均非零向量； ②，不唯一（事先給定）； ③，唯一； ④時，與共線；時，與共線；時，． 2．例題分析： 例1 已知向量，（如圖），求作向量． 作法：1．如圖（2），任取一點，作，； 2．作 OACB，于是是所求作的向量。 例2 如圖， 的兩條對角線相交于點，且，，用、表示、、 和． 解：在中， ABCD ∵， ， ∴， ，， ． 例3 如圖，、不共線，，用、表示． 解：∵， ∴ =． 例4 已知梯形中，，，分別是、的中點，若，，用，表示、、． 解：（1）∵ ∴== （2） （3）連接，則， ． 例5 已知在四邊形中，，，， 求證：是梯形。 證明：顯然 = ∴， 又點不在 ∴是梯形。 五、小結：1．熟練掌握平面向量基本定理； 2．會應用平面向量基本定理.充分利用向量的加法、減法及實數與向量的積的幾何表 示。 六、作業(yè)： 補充：1．設是的重心.若，，試用，表示向量.； 2．已知：如圖，，. （1）求證：；（2）求與的面積之比. 3．設，是兩個不共線向量，求與 共線的充要條件。