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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 頻率與概率教案 新人教B版必修3 教材分析 頻率與概率是兩個(gè)不同的概念，但是二者又有密切的聯(lián)系．如何從二者的異同點(diǎn)中抽象出概率的定義是本案例的主要內(nèi)容．本節(jié)課蘊(yùn)涵了具體與抽象之間的辯證關(guān)系．講授過(guò)程中對(duì)教材處理稍有不當(dāng)，可能直接影響學(xué)生對(duì)本節(jié)重點(diǎn)（即概念的理解）的掌握程度．因此，如何設(shè)計(jì)合適的實(shí)例，怎樣引導(dǎo)學(xué)生理解和總結(jié)是處理好本節(jié)的關(guān)鍵，也是處理好本節(jié)教材的難點(diǎn)． 教學(xué)目標(biāo) 通過(guò)本節(jié)課教學(xué)，使學(xué)生能理清頻率和概率的關(guān)系，并能正確理解概率的意義，增強(qiáng)學(xué)生的對(duì)立與統(tǒng)一的辯證思想意識(shí)． 任務(wù)分析 由于頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可以近似地叫作這個(gè)事件的概率，因此本節(jié)課應(yīng)從具有大量重復(fù)試驗(yàn)的實(shí)例入手．為加深學(xué)生的理解程度，可采用學(xué)生親自參與到試驗(yàn)中去，從操作中去體會(huì)，去總結(jié)．概率可看作頻率理論上的期望值，從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大?。虼?，為鞏固學(xué)生總結(jié)出的知識(shí)，最后還要回歸到實(shí)例中去，讓學(xué)生去運(yùn)用，以符合認(rèn)知過(guò)程． 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問(wèn)題情境 在日常生活中，我們經(jīng)常遇到某某事件發(fā)生的概率是多少，如2004年2月5日《文匯報(bào)》登載的兩則消息． 本報(bào)訊　記者梁紅英報(bào)道：2月3日晚6點(diǎn)19分，一彩民購(gòu)買的“江浙滬大樂(lè)透”彩票，同時(shí)投中10注一等獎(jiǎng)，獨(dú)攬48571620元巨額獎(jiǎng)金，創(chuàng)下中國(guó)彩票史上個(gè)人一次性獎(jiǎng)?lì)~之最． ……據(jù)有關(guān)人士介紹，該彩民當(dāng)時(shí)花了200元買下100注“江浙滬大樂(lè)透”彩票，分成10組，每組10注，每組的自選號(hào)碼相同．結(jié)果，其中1組所選號(hào)碼與前晚“江浙滬大樂(lè)透”xx015期開(kāi)獎(jiǎng)號(hào)碼完全一致． 本報(bào)訊　記者江世亮報(bào)道：……對(duì)這種似乎不可能發(fā)生事件的發(fā)生，從數(shù)學(xué)概率論上將作何解釋？為此，記者于昨日午夜電話連線采訪了本市一位數(shù)學(xué)建模專家，他說(shuō)，以他現(xiàn)在不完全掌握的情況來(lái)分析，像這名幸運(yùn)者同時(shí)獲得10個(gè)大獎(jiǎng)的概率，可稱得上一次萬(wàn)億分之一的事件，通俗地講就是接近于零． 對(duì)文中的“萬(wàn)億分之一”我們?cè)鯓永斫饽兀吭偃纾禾鞖忸A(yù)報(bào)說(shuō)“明天降雨的概率是80%，我們明天出門要不要帶傘？收音機(jī)里廣播報(bào)道xx年冬某地“流行性感冒的發(fā)病率為10%”，我們這里要不要采取預(yù)防措施？……對(duì)這些在傳播媒體上出現(xiàn)的數(shù)字80%，10%等，我們?cè)撟骱卫斫饽兀? 二、建立模型 為了解決諸如以上的實(shí)際問(wèn)題，我們不妨先從熟悉的頻率的概念入手．首先，將全班同學(xué)平均分成三組，第一組做擲硬幣試驗(yàn)，次數(shù)越多越好，觀察擲出正面向上的次數(shù)，然后把試驗(yàn)結(jié)果和計(jì)算結(jié)果分別填入下表． 表28-1 小組編號(hào) 拋擲次數(shù)（n） 正面向上的次數(shù)（m） 正面向上的頻率（ ） 第二組做抓鬮試驗(yàn)．寫五個(gè)鬮，即分別標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，有放回地抓，每次記錄下號(hào)數(shù)，次數(shù)越多越好．不妨統(tǒng)計(jì)一下各號(hào)數(shù)所占頻率． 第三組做摸圍棋子試驗(yàn)．預(yù)先準(zhǔn)備黑、白圍棋子若干，然后給該組學(xué)生黑子30粒，白子10粒，讓該組學(xué)生有放回地摸，次數(shù)為100次，每次摸出1粒，并記錄下每次摸到的棋子的顏色，求出白子出現(xiàn)的頻率． 試驗(yàn)結(jié)束，讓各組學(xué)生回答試驗(yàn)結(jié)果．第一組正面向上的頻率必然接近，第二組結(jié)果肯定是每個(gè)號(hào)出現(xiàn)的頻率接近，而第三組結(jié)果肯定位于附近．各組學(xué)生所得結(jié)果可能大于預(yù)定數(shù)，也可能小于預(yù)定數(shù)，但都比較接近． 讓學(xué)生討論：出現(xiàn)與上述結(jié)果比較接近的數(shù)字受何因素影響？ （學(xué)生思考，討論，教師投影以下表格） 歷史上有些學(xué)者還做了成千上萬(wàn)次擲硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果如下表所示： 表28-2 試驗(yàn)者 拋擲次數(shù)（n） 正面向上的次數(shù)（m） 正面向上的頻率（ ） 棣莫佛 2048 1061 0.5181 蒲　豐 4040 2048 0.5069 費(fèi)　勒 10000 4979 0.4979 皮爾遜 1xx 6019 0.5016 皮爾遜 24000 1xx 0.5005 觀察上表后，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)： 在多次重復(fù)試驗(yàn)中，同一事件發(fā)生的頻率在某一個(gè)數(shù)值附近擺動(dòng)，而且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一般擺動(dòng)幅度的越小，而且觀察到的大偏差也越少，頻率呈現(xiàn)一定的穩(wěn)定性． 通過(guò)三組試驗(yàn)，我們可以發(fā)現(xiàn)：雖然，，三個(gè)數(shù)值不等，但是三個(gè)試驗(yàn)存在共性，即隨機(jī)事件的頻率隨試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定在某一數(shù)值附近．同時(shí)還可看出，不同的隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的數(shù)值可能不同．我們就用這一數(shù)值表示事件發(fā)生的可能性大小，即概率．（引出概率定義） 定義可采用學(xué)生口述、教師補(bǔ)充的方式，然后可以投影此定義：一般地，在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率，當(dāng)n很大時(shí)，總是在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，隨著n的增加，擺度幅度越來(lái)越小，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫作事件A的概率，記為P（A）． 學(xué)生可考慮如下問(wèn)題：（1）概率P（A）的取值范圍是什么？ （2）必然事件、不可能性事件的概率各是多少？ （3）頻率和概率有何關(guān)系？ 其中重點(diǎn)是問(wèn)題（3），應(yīng)啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出：在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下，頻率可以近似地稱為這個(gè)事件的概率，而概率可看作頻率在理論上的期望值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大?。? 為加深對(duì)二者關(guān)系的理解，可以進(jìn)行如下類比：給定一根木棒，誰(shuí)都不懷疑它有“客觀”的長(zhǎng)度，長(zhǎng)度是多少？我們可以用尺或儀器去測(cè)量，不論尺或儀器多么精確，測(cè)得的數(shù)值總是穩(wěn)定在木棒真實(shí)的“長(zhǎng)度”值的附近．事實(shí)上，人們也是把測(cè)量所得的值當(dāng)作真實(shí)的“長(zhǎng)度”值．這里測(cè)量值就像本節(jié)中的頻率，“客觀”長(zhǎng)度就像概率． 概率的這種定義叫作概率的統(tǒng)計(jì)定義．在實(shí)踐中，經(jīng)常采用這種方法求事件的概率． 三、解釋應(yīng)用 ［例　題］ 1. 把第三組試驗(yàn)中的黑棋子減少10粒，即20粒黑子，10粒白子，那么摸到黑子的概率約為多少？ 學(xué)生通過(guò)多次試驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)此概率約為. 2. 為確定某類種子的發(fā)芽率，從一批種子中抽出若干批做發(fā)芽試驗(yàn)，其結(jié)果如下： 表28-3 種子粒數(shù)（n） 25 70 130 700 xx 3000 發(fā)芽粒數(shù)（m） 24 60 116 639 1806 2713 發(fā)芽率（ ） 0.96 0.857 0.892 0.913 0.903 0.904 從以上的數(shù)據(jù)可以看出，這類種子的發(fā)芽率約為0.9． ［練　習(xí)］ 某射擊手在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下： 表28-4 射擊次數(shù)（n） 10 20 50 100 200 500 擊中靶心次數(shù)（m） 8 19 44 92 178 455 擊中靶心頻率（ ） （1）計(jì)算表中擊中靶心的各個(gè)頻率． （表中各頻率分別為0.8，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91） （2）這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少？ （由此（1）可知，這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是0.9） 四、拓展延伸 “某彩票的中獎(jiǎng)概率為”是否意味著買1000張彩票就一定能中獎(jiǎng)？ 從概率的統(tǒng)計(jì)定義出發(fā)，我們先來(lái)考慮此題的簡(jiǎn)化情形：在投擲一枚均勻硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)中，正面出現(xiàn)的概率是，這是否意味著投擲2次硬幣就會(huì)出現(xiàn)1次正面呢？ 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，我們投擲2次硬幣有可能1次正面也不出現(xiàn)，即出現(xiàn)2次反面的情形，但是在大量重復(fù)擲硬幣的試驗(yàn)中，如擲10000次硬幣，則出現(xiàn)正面的次數(shù)約為5000次． 買1000張彩票相當(dāng)于做1000次試驗(yàn)，結(jié)果可能是一次獎(jiǎng)也沒(méi)中，或者中一次獎(jiǎng)，或者多次中獎(jiǎng)．所以“彩票中獎(jiǎng)概率為”并不意味著買1000張彩票就一定能中獎(jiǎng)．只有當(dāng)所買彩票的數(shù)量n非常大時(shí)，才可以將大量重復(fù)買彩票這個(gè)試驗(yàn)看成中獎(jiǎng)的次數(shù)約為（比如說(shuō)買1000000張彩票，則中獎(jiǎng)的次數(shù)約為1000），并且n越大，中獎(jiǎng)次數(shù)越接近于. 由此我們可以說(shuō)，對(duì)于小概率事件，從理論上來(lái)講，發(fā)生的可能性很小，甚至在一定條件下可能不會(huì)發(fā)生．但是，實(shí)際上小概率事件仍有發(fā)生的可能，如本節(jié)開(kāi)頭提到的萬(wàn)億分之一的概率事件就發(fā)生了． 點(diǎn)　評(píng) 針對(duì)這節(jié)課以概念為主，而又抽象的特點(diǎn)，案例設(shè)計(jì)了以學(xué)生動(dòng)手試驗(yàn)為主，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)概念的教學(xué)方法，同時(shí)對(duì)這節(jié)中較抽象的內(nèi)容：頻率和概率的關(guān)系做了形象的類比，以便學(xué)生理解．這篇案例增加了試驗(yàn)內(nèi)容，其目的是更有力地幫助學(xué)生理解定義．另外，例題與練習(xí)的配備有利于學(xué)生加深對(duì)這節(jié)內(nèi)容的理解．因此，這節(jié)課的整體設(shè)計(jì)符合學(xué)生對(duì)新知識(shí)認(rèn)識(shí)的規(guī)律，符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的精神．