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2019-2020年高中數(shù)學 第一章 概率與統(tǒng)計(第8課)總體分布估計教案 湘教版選修2 教學目的： 1了解當總體中的個體取不同數(shù)值很少時，可用頻率分布表或頻率分布條形圖估計總體分布，并會用這兩種方式估計總體分布； ⒉了解當總體中的個體取不同數(shù)值較多，甚至無限時，可用頻率分布表或頻率分布直方圖估計總體分布，并會用這兩種方式估計總體分布 教學重點：用樣本的頻率分布估計總體分布 教學難點：頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 內容分析： 統(tǒng)計學中有兩個核心問題，一是如何從整體中抽取樣本？二是如何用樣本估計總體？經(jīng)過前面的學習，我們已經(jīng)了解了一些常用的抽樣方法．本節(jié)課，我們在初中學過樣本的頻率分布的基礎上，研究總體的分布及其估計 教學過程： 一、復習引入： 1.簡單隨機抽樣：設一個總體的個體數(shù)為N．如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣⑴用簡單隨機抽樣從含有N個個體的總體中抽取一個容量為的樣本時，每次抽取一個個體時任一個體被抽到的概率為；在整個抽樣過程中各個個體被抽到的概率為； ⑵簡單隨機抽樣的特點是，逐個抽取，且各個個體被抽到的概率相等； ⑶簡單隨機抽樣方法，體現(xiàn)了抽樣的客觀性與公平性，是其他更復雜抽樣方法的基礎．（4）.簡單隨機抽樣的特點：它是不放回抽樣；它是逐個地進行抽?。凰且环N等概率抽樣 2.抽簽法：先將總體中的所有個體（共有N個）編號（號碼可從1到N），并把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上（號簽可用小球、卡片、紙條等制作），然后將這些號簽放在同一個箱子里，進行均勻攪拌，抽簽時每次從中抽一個號簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個容量為n的樣本 適用范圍：總體的個體數(shù)不多時 優(yōu)點：抽簽法簡便易行，當總體的個體數(shù)不太多時適宜采用抽簽法． 　 3.隨機數(shù)表法： 隨機數(shù)表抽樣“三步曲”：第一步，將總體中的個體編號；第二步，選定開始的數(shù)字；第三步，獲取樣本號碼 4.系統(tǒng)抽樣:當總體中的個體數(shù)較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按預先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣．系統(tǒng)抽樣的步驟：①采用隨機的方式將總體中的個體編號為簡便起見，有時可直接采用個體所帶有的號碼，如考生的準考證號、街道上各戶的門牌號，等等②為將整個的編號分段（即分成幾個部分），要確定分段的間隔k當（N為總體中的個體的個數(shù)，n為樣本容量）是整數(shù)時，k=;當不是整數(shù)時，通過從總體中剔除一些個體使剩下的總體中個體的個數(shù)能被n整除，這時k=.③在第一段用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號 ④按照事先確定的規(guī)則抽取樣本（通常是將加上間隔k，得到第2個編號+k,第3個編號+2k，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個樣本） ①系統(tǒng)抽樣適用于總體中的個體數(shù)較多的情況，它與簡單隨機抽樣的聯(lián)系在于：將總體均分后的每一部分進行抽樣時，采用的是簡單隨機抽樣； ②與簡單隨機抽樣一樣，系統(tǒng)抽樣是等概率抽樣，它是客觀的、公平的． ③總體中的個體數(shù)恰好能被樣本容量整除時，可用它們的比值作為系統(tǒng)抽樣的間隔；當總體中的個體數(shù)不能被樣本容量整除時，可用簡單隨機抽樣先從總體中剔除少量個體，使剩下的個體數(shù)能被樣本容量整除在進行系統(tǒng)抽樣 5.分層抽樣: 當已知總體由差異明顯的幾部分組成時，為了使樣本更充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比例進行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，所分成的部分叫做層 6.不放回抽樣和放回抽樣:在抽樣中，如果每次抽出個體后不再將它放回總體，稱這樣的抽樣為不放回抽樣；如果每次抽出個體后再將它放回總體，稱這樣的抽樣為放回抽樣． 隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣都是不放回抽樣 7. 分布列: ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 分布列的兩個性質： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1 二、講解新課： ⒈頻率分布表或頻率分布條形圖 歷史上有人通過作拋擲硬幣的大量重復試驗，得到了如下試驗結果： 試驗結果 頻數(shù) 頻率 正面向上(0) 36124 0.5011 反面向上(1) 35964 0.4989 拋擲硬幣試驗的結果的全體構成一個總體，則上表就是從總體中抽取容量為72088的相當大的樣本的頻率分布表．盡管這里的樣本容量很大，但由于不同取值僅有2個（用0和1表示），所以其頻率分布可以用上表和右面的條形圖表示．其中條形圖是用高來表示取各值的頻率． 試驗結果 概率 正面向上(記為0) 0．5 反面向上(記為1) 0．5 說明：⑴頻率分布表在數(shù)量表示上比較確切，而頻率分布條形圖比較直觀，兩者相互補充，使我們對數(shù)據(jù)的頻率分布情況了解得更加清楚．⑵①各長條的寬度要相同；②相鄰長條之間的間隔要適當． 當試驗次數(shù)無限增大時，兩種試驗結果的頻率值就成為相應的概率，得到右表，除了抽樣造成的誤差，精確地反映了總體取值的概率分布規(guī)律．這種整體取值的概率分布規(guī)律通常稱為總體分布. 說明：頻率分布與總體分布的關系： ⑴通過樣本的頻數(shù)分布、頻率分布可以估計總體的概率分布. ⑵研究總體概率分布往往可以研究其樣本的頻數(shù)分布、頻率分布. 2.總體分布：總體取值的概率分布規(guī)律 在實踐中，往往是從總體中抽取一個樣本，用樣本的頻率分布去估計總體分布一般地，樣本容量越大，這種估計就越精確 3.總體密度曲線:樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應各組取值的概率．設想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線． 它反映了總體在各個范圍內取值的概率．根據(jù)這條曲線，可求出總體在區(qū)間(a，b)內取值的概率等于總體密度曲線，直線x=a，x=b及x軸所圍圖形的面積． 三、講解范例： 例1．為了了解某地區(qū)高三學生的身體發(fā)育情況，抽查了地區(qū)內100名年齡為17.5歲~18歲的男生的體重情況,結果如下(單位:kg) 56.5 69.5 65 61.5 64.5 66.5 64 64.5 76 58.5 72 73.5 56 67 70 57.5 65.5 68 71 75 62 68.5 62.5 66 59.5 63.5 64.5 67.5 73 68 55 72 66.5 74 63 60 55.5 70 64.5 58 64 70.5 57 62.5 65 69 71.5 73 62 58 76 71 66 63.5 56 59.5 63.5 65 70 74.5 68.5 64 55.5 72.5 66.5 68 76 57.5 60 71.5 57 69.5 74 64.5 59 61.5 67 68 63.5 58 59 65.5 62.5 69.5 72 64.5 75.5 68.5 64 62 65.5 58.5 67.5 70.5 65 66 66.5 70 63 59.5 試根據(jù)上述數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖,并對相應的總體分布作出估計 解:按照下列步驟獲得樣本的頻率分布. (1)求最大值與最小值的差.在上述數(shù)據(jù)中，最大值是76，最小值是55，它們的差(又稱為極差)是76—55=21)所得的差告訴我們，這組數(shù)據(jù)的變動范圍有多大. (2)確定組距與組數(shù).如果將組距定為2，那么由212=10.5，組數(shù)為11，這個組數(shù)適合的.于是組距為2，組數(shù)為11. （3）決定分點.根據(jù)本例中數(shù)據(jù)的特點，第1小組的起點可取為54.5，第1小組的終點可取為56.5，為了避免一個數(shù)據(jù)既是起點，又是終點從而造成重復計算，我們規(guī)定分組的區(qū)間是“左閉右開”的.這樣，所得到的分組是 ［54.5，56.5），［56.5，58.5），…，［74.5，76.5）. （4）列頻率分布表,如表① 頻率分布表 分組 頻數(shù)累計 頻數(shù) 頻率 ［54.5，56.5） 2 0.02 ［56.5，58.5） 6 0.06 ［58.5，60.5） 10 0.10 ［60.5，62.5） 10 0.10 ［62.5，64.5） 14 0.14 ［64.5，66.5） 16 0.16 ［66.5，68.5） 13 0.13 ［68.5，70.5） 11 0.11 ［70.5，72.5） 8 0.08 ［72.5，74.5） 7 0.07 ［74.5，76.5） 3 0.03 合計 100 1.00 （5）繪制頻率分布直方圖.頻率分布直方圖如圖所示 由于圖中各小長方形的面積等于相應各組的頻率，這個圖形的面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組的頻率的大小.在反映樣本的頻率分布方面，頻率分布表比較確切，頻率分布直方圖比較直觀，它們起著相互補充的作用. 在得到了樣本的頻率后，就可以對相應的總體情況作出估計.例如可以估計，體重在（64.5，66.5）kg的學生最多，約占學生總數(shù)的16%；體重小于58.5kg的學生較少，約占8%；等等 例2．對某電子元件進行壽命追蹤調查，情況如下： 壽命（ｈ） 100～200 200～300 300～400 400～500 500～600 個數(shù) 20 30 80 40 30 出頻率分布表； （２）畫出頻率分布直方圖和累計頻率分布圖； （３）估計電子元件壽命在100ｈ～400ｈ以內的概率； 壽命 300 200 100 500 400 600 頻率分布直方圖 （４）估計電子元件壽命在400ｈ以上的概率； （５）估計總體的數(shù)學期望值 解：（１） 壽命 頻數(shù) 頻率 累計頻率 100～200 20 0.1 0.10 200～300 30 0.15 0.25 300～400 80 0.40 0.65 400～500 40 0.20 0.85 500～600 30 0.15 1 合計 200 1 （２）頻率分布直方圖如右和累計頻率分布圖如下 累計頻率 壽命 300 200 100 500 400 600 1 0.20 0.40 0.10 0.80 0.60 0 （３）頻率分布圖可以看出，壽命在100ｈ～400ｈ的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.65，所以我們估計電子元件壽命在100ｈ～400ｈ的概率為0.65 （４）由頻率分布表可知，壽命在400ｈ以上的電子元件出現(xiàn)的頻率為 0.20+0.15＝0.35，故我們估計電子元件壽命在400ｈ以上的概率為0.35 （５）樣本的期望值為 所以，我們估計總體生產的電子元件壽命的期望值（總體均值）為365ｈ 四、課堂練習： 1 . 為檢測某種產品的質量，抽取了一個容量為30的樣本，檢測結果為一級品5件，二級品8件，三級品13件，次品14件． ⑴列出樣本頻率分布表； ⑵畫出表示樣本頻率分布的條形圖； ⑶根據(jù)上述結果，估計此種商品為二級品或三級品的概率約是多少？ 解：⑴樣本的頻率分布表為 產品 頻數(shù) 頻率 一級品 5 0.17 二級品 8 0.27 三級品 13 0.43 次品 4 0.13 ⑵樣本頻率分布的條形圖如右： ⑶此種產品為二極品或三極品的概率為0.27+0.43=0.7 2. 如下表： 分 組 頻數(shù) 頻 率 分 組 頻數(shù) 頻 率 [10.75，10.85) 3 [11.25，11.35) 20 [10.85，10.95) 9 [11.35， 11.45) 7 [10.95，11.05) 13 [11.45， 11.55) 4 [11.05，11.15) 16 [11.55， 11.65) 2 [11.15，11.25) 26 合 計 100 ⑴完成上面的頻率分布表． ⑵根據(jù)上表，畫出頻率分布直方圖． ⑶根據(jù)上表，估計數(shù)據(jù)落在[10.95，11.35)范圍內的概率約為多少? 答案：⑴⑵略． ⑶數(shù)據(jù)落在[10.95，11.35)范圍的頻率為0.13+0.16+0.26+0.20=0.75 　∴　落在[10.95，11.35)內的概率約為0．75 五、小結 ：用樣本的頻率分布估計總體分布，可以分成兩種情況討論： ⒈當總體中的個體取不同數(shù)值很少（并不是總體中的個數(shù)很少）時，其頻率分布表由所取樣本的不同數(shù)值及其相應的頻率來表示，其幾何表示就是相應的條形圖； ⒉當總體中的個體取不同值較多、甚至無限時，對其頻率分布的研究要用到初中學過的整理樣本數(shù)據(jù)的知識． 它們的不同之處在于：前者的頻率分布表中列出的是幾個不同數(shù)值的頻率，相應的條形圖是用其高度來表示取各個值的頻率；后者的頻率分布表列出的是在各個不同區(qū)間內取值的頻率，相應的直方圖是用圖形面積的大小來表示在各個區(qū)間內取值的頻率 六、課后作業(yè)： 七、板書設計（略） 八、課后記：