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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章《離散型隨機(jī)變量的均值》教案 新人教A版選修2-3 一、復(fù)習(xí)引入： 1.隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量 隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示 2. 離散型隨機(jī)變量:對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量 3．連續(xù)型隨機(jī)變量: 對于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量 4.離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系: 離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出 若是隨機(jī)變量，是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量 并且不改變其屬性（離散型、連續(xù)型） 5. 分布列:設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取得值為x1，x2，…，x3，…， ξ取每一個(gè)值xi（i=1，2，…）的概率為，則稱表 ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 為隨機(jī)變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列 6. 分布列的兩個(gè)性質(zhì)： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1． 7.離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布:在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量．如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是 ，（k＝0,1,2,…，n，）． 于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布如下： ξ 0 1 … k … n P … … 稱這樣的隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布，記作ξ～B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并記＝b(k；n，p)． 8. 離散型隨機(jī)變量的幾何分布：在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事件第一次發(fā)生時(shí)，所作試驗(yàn)的次數(shù)ξ也是一個(gè)正整數(shù)的離散型隨機(jī)變量．“”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)事件第一次發(fā)生.如果把k次試驗(yàn)時(shí)事件A發(fā)生記為、事件A不發(fā)生記為，P()=p，P()=q(q=1-p)，那么 （k＝0,1,2,…， ）．于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布如下： ξ 1 2 3 … k … P … … 稱這樣的隨機(jī)變量ξ服從幾何分布 記作g(k，p)= ，其中k＝0,1,2,…， ． 二、講解新課： 根據(jù)已知隨機(jī)變量的分布列，我們可以方便的得出隨機(jī)變量的某些制定的概率，但分布列的用途遠(yuǎn)不止于此，例如：已知某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下 ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 在n次射擊之前，可以根據(jù)這個(gè)分布列估計(jì)n次射擊的平均環(huán)數(shù)．這就是我們今天要學(xué)習(xí)的離散型隨機(jī)變量的均值或期望 根據(jù)射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列， 我們可以估計(jì)，在n次射擊中，預(yù)計(jì)大約有　　 　　次得4環(huán)； 　　　　次得5環(huán)； ………… 　　次得10環(huán)． 故在n次射擊的總環(huán)數(shù)大約為 ， 從而，預(yù)計(jì)n次射擊的平均環(huán)數(shù)約為 ． 這是一個(gè)由射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列得到的，只與射擊環(huán)數(shù)的可能取值及其相應(yīng)的概率有關(guān)的常數(shù)，它反映了射手射擊的平均水平． 對于任一射手，若已知其射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列，即已知各個(gè)（i=0，1，2，…，10），我們可以同樣預(yù)計(jì)他任意n次射擊的平均環(huán)數(shù): …． 1. 均值或數(shù)學(xué)期望: 一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為 ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 則稱 …… 為ξ的均值或數(shù)學(xué)期望，簡稱期望． 　　2. 均值或數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平 3. 平均數(shù)、均值:一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令…，則有…，…，所以ξ的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值 4. 均值或期望的一個(gè)性質(zhì):若(a、b是常數(shù))，ξ是隨機(jī)變量，則η也是隨機(jī)變量，它們的分布列為 ξ x1 x2 … xn … η … … P p1 p2 … pn … 于是…… ＝……)……) ＝， 由此，我們得到了期望的一個(gè)性質(zhì): 5.若ξB（n,p），則Eξ=np 證明如下： ∵　， ∴　0＋1＋2＋…＋k＋…＋n． 又∵ ， ∴ ＋＋…＋＋…＋． 故　　若ξ～B(n，p)，則np． 三、講解范例： 例1. 籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知他命中的概率為0.7，求他罰球一次得分的期望 解：因?yàn)椋? 所以 例2. 一次單元測驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分 學(xué)生甲選對任一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測驗(yàn)中對每題都從4個(gè)選擇中隨機(jī)地選擇一個(gè)，求學(xué)生甲和乙在這次英語單元測驗(yàn)中的成績的期望 解：設(shè)學(xué)生甲和乙在這次英語測驗(yàn)中正確答案的選擇題個(gè)數(shù)分別是，則~ B（20,0.9）,, 由于答對每題得5分，學(xué)生甲和乙在這次英語測驗(yàn)中的成績分別是5和5 所以，他們在測驗(yàn)中的成績的期望分別是： 例3. 根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25,有大洪水的概率為0. 01．該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60 000元，遇到小洪水時(shí)要損失10000元．為保護(hù)設(shè)備，有以下3 種方案： 方案1：運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3 800 元． 方案2：建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2 000 元．但圍墻只能防小洪水． 方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水． 試比較哪一種方案好． 解：用X1 、X2和X3分別表示三種方案的損失． 采用第1種方案，無論有無洪水，都損失3 800 元，即 X1 = 3 800 . 采用第2 種方案，遇到大洪水時(shí)，損失2 000 + 60 000=62 000 元；沒有大洪水時(shí)，損失2 000 元，即 同樣，采用第 3 種方案，有 于是， EX1＝3 800 , EX2＝62 000P (X2 = 62 000 ) + 2 00000P (X2 = 2 000 ) = 6xx0. 01 + xx(1-0.01) = 2 600 , EX3 = 60000P (X3 = 60000) + 10 000P(X3 =10 000 ) + 0P (X3 =0) = 60 0000.01 + 100000.25=3100 . 采取方案2的平均損失最小，所以可以選擇方案2 . 值得注意的是，上述結(jié)論是通過比較“平均損失”而得出的．一般地，我們可以這樣來理解“平均損失”：假設(shè)問題中的氣象情況多次發(fā)生，那么采用方案 2 將會(huì)使損失減到最?。捎诤樗欠癜l(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機(jī)的，所以對于個(gè)別的一次決策，采用方案 2 也不一定是最好的． 例4.隨機(jī)拋擲一枚骰子，求所得骰子點(diǎn)數(shù)的期望 解：∵， =3.5 例5.有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品，其次品率是15%，對這批產(chǎn)品進(jìn)行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查，直到抽出次品為止，但抽查次數(shù)不超過10次求抽查次數(shù)的期望（結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字） 解：抽查次數(shù)取110的整數(shù)，從這批數(shù)量很大的產(chǎn)品中抽出1件檢查的試驗(yàn)可以認(rèn)為是彼此獨(dú)立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前次取出正品而第次（=1，2，…，10）取出次品的概率： （=1，2，…，10） 需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：由此可得的概率分布如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.15 0.1275 0.1084 0.092 0.0783 0.0666 0.0566 0.0481 0.0409 0.2316 根據(jù)以上的概率分布，可得的期望 例6.隨機(jī)的拋擲一個(gè)骰子，求所得骰子的點(diǎn)數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望． 解：拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)ξ的概率分布為 ξ 1 2 3 4 5 6 P 所以 1＋2＋3＋4＋5＋6 ＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3.5． 拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望，就是ξ的所有可能取值的平均值． 例7.某城市出租汽車的起步價(jià)為10元，行駛路程不超出4km時(shí)租車費(fèi)為10元，若行駛路程超出4km，則按每超出lkm加收2元計(jì)費(fèi)(超出不足lkm的部分按lkm計(jì))．從這個(gè)城市的民航機(jī)場到某賓館的路程為15km．某司機(jī)經(jīng)常駕車在機(jī)場與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時(shí)間要轉(zhuǎn)換成行車路程(這個(gè)城市規(guī)定，每停車5分鐘按lkm路程計(jì)費(fèi))，這個(gè)司機(jī)一次接送旅客的行車路程ξ是一個(gè)隨機(jī)變量．設(shè)他所收租車費(fèi)為η (Ⅰ)求租車費(fèi)η關(guān)于行車路程ξ的關(guān)系式； (Ⅱ)若隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ 15 16 17 18 P 0.1 0.5 0.3 0.1 求所收租車費(fèi)η的數(shù)學(xué)期望． (Ⅲ)已知某旅客實(shí)付租車費(fèi)38元，而出租汽車實(shí)際行駛了15km，問出租車在途中因故停車?yán)塾?jì)最多幾分鐘? 解：(Ⅰ)依題意得　η=2(ξ-4)十10，即　η=2ξ+2； (Ⅱ) ∵ η=2ξ+2 ∴ 2Eξ+2=34.8 （元） 故所收租車費(fèi)η的數(shù)學(xué)期望為34.8元． 　　(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5(18-15)=15 　　所以出租車在途中因故停車?yán)塾?jì)最多15分鐘 四、課堂練習(xí)： 1. 口袋中有5只球，編號為1，2，3，4，5，從中任取3球，以表示取出球的最大號碼，則（ ） A．4；　　B．5；　　C．4.5；　　D．4.75 答案：C 2. 籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中的1分，罰不中得0分．已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，求 ⑴他罰球1次的得分ξ的數(shù)學(xué)期望； ⑵他罰球2次的得分η的數(shù)學(xué)期望； ⑶他罰球3次的得分ξ的數(shù)學(xué)期望． 解：⑴因?yàn)?，，所? 1＋0 ⑵η的概率分布為 η 0 1 2 P 所以 0＋1＋2＝1.4． ⑶ξ的概率分布為 ξ ０ １ 2 3 P 　　　所以 0＋1＋2＝2.1. 3．設(shè)有m升水，其中含有大腸桿菌n個(gè)．今取水1升進(jìn)行化驗(yàn)，設(shè)其中含有大腸桿菌的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望． 分析：任取1升水，此升水中含一個(gè)大腸桿菌的概率是，事件“ξ=k”發(fā)生，即n個(gè)大腸桿菌中恰有k個(gè)在此升水中，由n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件A（在此升水中含一個(gè)大腸桿菌）恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算方法可求出P(ξ=k),進(jìn)而可求Eξ. 　　解：記事件A：“在所取的1升水中含一個(gè)大腸桿菌”，則P(A)=． 　　　　∴　P(ξ=k)=Pn(k)=C)k(1－)n－k（k=0,1,2,….,n）． 　　∴　ξ～B(n,)，故　Eξ =n= 五、小結(jié) ：(1)離散型隨機(jī)變量的期望，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平； (2)求離散型隨機(jī)變量ξ的期望的基本步驟：①理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；②求ξ取各個(gè)值的概率，寫出分布列；③根據(jù)分布列，由期望的定義求出Eξ 公式E（aξ+b）= aEξ+b，以及服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的期望Eξ=np 六、課后作業(yè)：P64-65練習(xí)1,2,3,4 P69 A組1,2,3 1.一袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和兩個(gè)黃球，從中同時(shí)取出2個(gè)，則其中含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是 （用數(shù)字作答） 解：令取取黃球個(gè)數(shù) (=0、1、2)則的要布列為 0 1 2 p 于是 E（）=0+1+2=0.8 故知紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為1.2 2.袋中有4個(gè)黑球、3個(gè)白球、2個(gè)紅球，從中任取2個(gè)球，每取到一個(gè)黑球記0分，每取到一個(gè)白球記1分，每取到一個(gè)紅球記2分，用表示得分?jǐn)?shù) ①求的概率分布列 ②求的數(shù)學(xué)期望 解：①依題意的取值為0、1、2、3、4 =0時(shí)，取2黑 p(=0)= =1時(shí)，取1黑1白 p(=1)= =2時(shí)，取2白或1紅1黑p(=2)= + =3時(shí)，取1白1紅，概率p(=3)= =4時(shí)，取2紅，概率p(=4)= 0 1 2 3 4 p ∴分布列為 （2）期望E=0+1+2+3+4= 3.學(xué)校新進(jìn)了三臺(tái)投影儀用于多媒體教學(xué)，為保證設(shè)備正常工作，事先進(jìn)行獨(dú)立試驗(yàn)，已知各設(shè)備產(chǎn)生故障的概率分別為p1、p2、p3，求試驗(yàn)中三臺(tái)投影儀產(chǎn)生故障的數(shù)學(xué)期望 解：設(shè)表示產(chǎn)生故障的儀器數(shù)，Ai表示第i臺(tái)儀器出現(xiàn)故障（i=1、2、3） 表示第i臺(tái)儀器不出現(xiàn)故障，則： p(=1)=p(A1)+ p(A2)+ p(A3) =p1(1－p2) (1－p3)+ p2(1－p1) (1－p3)+ p3(1－p1) (1－p2) = p1+ p2+p3－2p1p2－2p2p3－2p3p1+3p1p2p3 p(=2)=p(A1 A2)+ p(A1)+ p(A2A3) = p1p2 (1－p3)+ p1p3(1－p2)+ p2p3(1－p1) = p1p2+ p1p3+ p2p3－3p1p2p3 p(=3)=p(A1 A2A3)= p1p2p3 ∴=1p(=1)+2p(=2)+3p(=3)= p1+p2+p3 注：要充分運(yùn)用分類討論的思想，分別求出三臺(tái)儀器中有一、二、三臺(tái)發(fā)生故障的概率后再求期望 4.一個(gè)袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中同時(shí)取出2個(gè)，含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是 1.2 解：從5個(gè)球中同時(shí)取出2個(gè)球，出現(xiàn)紅球的分布列為 0 1 2 P 5. 、兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官悾筷?duì)三名隊(duì)員，隊(duì)隊(duì)員是，隊(duì)隊(duì)員是，按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，對陣隊(duì)員之間勝負(fù)概率如下： 對陣隊(duì)員 A隊(duì)隊(duì)員勝的概率 B隊(duì)隊(duì)員勝的概率 A1對B1 A2對B2 A3對B3 現(xiàn)按表中對陣方式出場，每場勝隊(duì)得1分，負(fù)隊(duì)得0分，設(shè)隊(duì)，隊(duì)最后所得分分別為， （1）求，的概率分布； （2）求， 解：（Ⅰ），的可能取值分別為3，2，1，0 根據(jù)題意知，所以 （Ⅱ）； 因?yàn)?所以