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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《數(shù)列的概念》教案13 北師大版必修5 一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)： 二、高考考綱要求： (1)理解函數(shù)的有關(guān)概念，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)． (2)掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，并能夠運(yùn)用這些知識(shí)解決一些問題． (3)有些應(yīng)用問題可以轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題來解決，應(yīng)掌握解決數(shù)列應(yīng)用問題的方法．?dāng)?shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式在應(yīng)用題和綜合題中常常出現(xiàn)，通過綜合題的訓(xùn)練，提高等價(jià)轉(zhuǎn)化能力及思維的靈活性，深刻領(lǐng)會(huì)化歸及函數(shù)和方程的思想． 三、xx年高考命題展望： 在試驗(yàn)教材中，近10年高考試題內(nèi)容，數(shù)列部分約占8％．命題總的趨勢(shì)是“穩(wěn)中有變”．等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式以及等差、等比數(shù)列的性質(zhì)一直是考查的重點(diǎn)．這方面的考題多以選擇題、填空題出現(xiàn)，突出“小、巧、活”的特點(diǎn)． 解答題中以中等難度的綜合題為主，涉及函數(shù)、方程、不等式等重要內(nèi)容．試題體現(xiàn)了函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想及待定系數(shù)法、配方法、換元法、消元法等基本的數(shù)學(xué)方法． 可以預(yù)測(cè)在今后的高考中，仍將以等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本問題為主，突出重要思想方法的考查．為了考查學(xué)生的創(chuàng)新能力，主觀題應(yīng)是以考查數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與方程、數(shù)列與不等式、數(shù)列(點(diǎn)列)與解析幾何等知識(shí)的綜合，通過類似題目，更有效地測(cè)試考生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和理解深度，尤其是通過探索性的問題，測(cè)試考生的潛能和創(chuàng)新意識(shí)．測(cè)試考生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法去解決實(shí)際問題的能力． 數(shù)列的概念 上課時(shí)間： 教學(xué)目標(biāo)：理解數(shù)列的概念，能用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)列；了解數(shù)列的通項(xiàng)公式和遞推公式的意義，會(huì)根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的任意一項(xiàng)；知道遞推公式是給出數(shù)列的一種重要方法，會(huì)根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)． 教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列的概念及數(shù)列的通項(xiàng)公式。 教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式和根據(jù)遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式。 教學(xué)方法：講練結(jié)合 【自主梳理】 1． 數(shù)列的概念 （1） 定義 （2） 與關(guān)系 （3） 項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系 （4）通項(xiàng)公式： 2． 數(shù)列的分類：Ⅰ Ⅱ 3．?dāng)?shù)列的表示方法： 、 、 、 【點(diǎn)擊雙基】 1．對(duì)于數(shù)列，有以下五個(gè)結(jié)論： ①它是一個(gè)集合；②它不能有相等的項(xiàng)；③它的圖象是一列孤立的點(diǎn)； ④它有唯一的通項(xiàng)公式；⑤當(dāng)=1時(shí)，當(dāng)≥2時(shí)，其中正確的結(jié)論的序號(hào)是 . 2． ，2，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是，從而是它的第 項(xiàng)． 3．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,則這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)是 ，－24是這個(gè)數(shù)列的第 項(xiàng) 4．在數(shù)列中，，畫出這個(gè)數(shù)列的圖象。并判斷其增減性。 【典型例題】 題型1：根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式． 例1求下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式: (1)1,-1,1,-1,…; (2)3,5,9,17,33,…; (3),2,,8,,…; (4)1,0,-,0,,0,-,0,…. 題型2：知數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)． 此題型大致分兩類。一類是根據(jù)前幾項(xiàng)的特點(diǎn)歸納猜想出的表達(dá)式。然后用數(shù)學(xué)歸納法證明：另一類是將已知遞推關(guān)系式，用代數(shù)的一些變形技巧整理變形。然后采用累加法、累乘法、迭代法、換元法、或轉(zhuǎn)化基本數(shù)列(等差或差比)方法求算通項(xiàng)． 例2．設(shè)，，則通項(xiàng)可能是( ) A．5－3n B． C． D． 題型3：由 與 的關(guān)系解題． 【例3】 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-n+1,求{an}的通項(xiàng)公式. 題型4：數(shù)列的增、減性及最值問題 例4．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是 （1） 試確定的范圍使得； （2） 試問該數(shù)列中是否存在最小項(xiàng)？若存在是第幾項(xiàng) 變式：已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，且對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是多少？ 【考題鏈接】 1.(xx湖南高考)已知數(shù)列{an}滿足a1=0,an+1=(n∈N*),則a20等于…( ) A.0 B.- C. D. 2.(xx江蘇南通九校聯(lián)考)已知數(shù)列｛an｝中，an=(n∈N*)，則在數(shù)列｛an｝的前50項(xiàng)中最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別是( ) A．a(chǎn)1 ，a50 B．a(chǎn)1，a8 C．a(chǎn)8，a9 D．a(chǎn)9，a50 3．（05年北京卷）數(shù)列｛an｝的前 求：（1）的值及通項(xiàng)公式； （2）的值； 數(shù)列的概念 08010 一、選擇題 1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an = 4n2 + 3n + 2(n∈N*)，則47是數(shù)列{an}的（ ） A．第二項(xiàng) B．第三項(xiàng) C．第四項(xiàng) D．第五項(xiàng) 2．如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn =, 那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是（ ） A．a(chǎn)n = 2(n2 + n + 1) B．a(chǎn)n = 32n C．a(chǎn)n = 3n + 1 D．a(chǎn)n = 23n 3．設(shè)數(shù)列{an}, an =其中a、b、c均為正數(shù), 那么an與an–1的大小關(guān)系是（ ） A．a(chǎn)n＞an–1 B．a(chǎn)n＜an–1 C．a(chǎn)n = an–1 D．不能確定 4．在數(shù)列{an}中，已知a1 = 1, a2 = 5, an + 2 = an + 1 – an(n∈N*), 則a9 等于 （ ） A．–4 B．–5 C．4 D．5. 5．已知數(shù)列{an}：3, 5, 7, …, 2n + 1, …另新作一數(shù)列{bn}, 使得b1 = a1, b2 = a3，當(dāng)n≥2時(shí), bn = , 則數(shù)列{bn}的第五項(xiàng)是 （ ） A．15 B．31 C．63 D．127 6．已知數(shù)列{an}滿足a1 = 1, an = a1 + 2a2 + 3a3 + … + (n–1)an–1.(n≥2) 則{an}的通項(xiàng)an = 7．已知函數(shù)f(x)= (x<－2) (1)　求f(x)的反函數(shù)f-－1(x)；　(2)　設(shè)a1=1, =－f－-1(an)(n∈N*),求an; (3)設(shè)Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1－Sn是否存在最小正整數(shù)m,使得對(duì)任意n∈N*,有bn<成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由 參考解答 【典型例題】 解:(1)an=(-1)n+1或an=cos(n+1)π.(2)an=2n+1.(3)an=.(4)an=. 講評(píng):已知數(shù)列的前幾項(xiàng),寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式,主要從以下幾個(gè)方面來考慮: (1)符號(hào)用(-1)n與(-1)n+1〔或(-1)n-1〕來調(diào)解,這是因?yàn)閚和n+1奇偶交錯(cuò). (2)分式形式的數(shù)列,分子找通項(xiàng),分母找通項(xiàng),要充分借助分子、分母的關(guān)系. (3)對(duì)于比較復(fù)雜的通項(xiàng)公式,要借助于等差數(shù)列、等比數(shù)列(后面將學(xué)到)和其他方法來解決. (4)此類問題雖無固定模式,但也有其規(guī)律可循,主要靠觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知的數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列)等方法. 題型2：知數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)． 此題型大致分兩類。一類是根據(jù)前幾項(xiàng)的特點(diǎn)歸納猜想出的表達(dá)式。然后用數(shù)學(xué)歸納法證明：另一類是將已知遞推關(guān)系式，用代數(shù)的一些變形技巧整理變形。然后采用累加法、累乘法、迭代法、換元法、或轉(zhuǎn)化基本數(shù)列(等差或差比)方法求算通項(xiàng)． 例2．設(shè)，，則通項(xiàng)可能是( ) A．5－3n B． C． D． 例3解:∵Sn=n2-n+1, 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(n2-n+1)-［(n-1)2-(n-1)+1］=2n-2. 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1,不適合上式. ∴an= 講評(píng):已知{an}的前n項(xiàng)和Sn,求an時(shí)應(yīng)注意以下三點(diǎn): (1)應(yīng)重視分類討論的應(yīng)用,分n=1和n≥2兩種情況討論;特別注意an=Sn-Sn-1中需n≥2. (2)由Sn-Sn-1=an推得的an,當(dāng)n=1時(shí),a1也適合“an式”，則需統(tǒng)一“合寫”. (3)由Sn-Sn-1=an推得的an,當(dāng)n=1時(shí),a1不適合“an式”,則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)分段表示(“分寫”)， 即an= 利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)是一個(gè)重要內(nèi)容,應(yīng)注意Sn與an間關(guān)系的靈活運(yùn)用,同時(shí)要注意a1并不一定能統(tǒng)一到an中去. 題型4：數(shù)列的增、減性及最值問題 例4． 變式： 見鳳凰臺(tái)P98 【考題鏈接】 1. 解析：a1=0,a2=-,a3=,a4=0,a5=-,a6=,…,an+3=an, ∴a20=a2=-. 答案：B 2. 解析:an==1+ 當(dāng)n=8,9時(shí),|n-|最小.故選擇C. 答案:C 3．解：（Ⅰ）由 （Ⅱ）由（I）可知a2，a4，…，a2n，是首項(xiàng)為公比為（）2，項(xiàng)數(shù)為n的等比數(shù)列， 所以 作業(yè)答案 一、選擇題 1．（ B ）【解析】由4n2 + 3n + 2 = 47. 解得n = 3或n = (舍)，∴是第三項(xiàng)，應(yīng)選B 2．【解析】a1 = S1 =, ∴a1 = 6. 又an + 1 = Sn + 1 – Sn =， ∴an + 1 = 3an，∴an = a13n – 1 = 23n.∴應(yīng)選D. 3． 【解析】an 是n的增函數(shù)，∴an＞an–1. ∴應(yīng)選A. 4．【解析】∵an + 3 = an + 2 – an + 1 = –an, ∴an + 6 = –an + 3 = an, a9 = a6 + 3 = a3= a2 –a1=5– 1=4.∴應(yīng)選C. 5．【解析】∵b2 = ab1= a3 =7; b3 =ab2=a7 =27 +1=15. b4 = ab3=215+1= 31. b5 = ab4 = 231 + 1 = 63. ∴應(yīng)選C. 6． 【解析】∵n≥2時(shí), an = a1 + 2a2 + 3a3 + … + (n–1)an–1， ① ∴n≥3時(shí), an–1 = a1 + a2 +…+ (n–2)an–2. ② ①－②得an – an–1 = (n–1)an–1， ∴當(dāng)n≥3時(shí)， ∴an =…n!. ∵a2 = a1 = 1，∴an = !(n≥2). 7． 解 (1)設(shè)y=,∵x<－2,∴x=－, 即y=f－-1(x)=－ (x>0)(2)∵， ∴{}是公差為4的等差數(shù)列，∵a1=1, =+4(n－1)=4n－3,∵an>0,∴an= (3)bn=Sn+1－Sn=an+12=,由bn<,得m>, 設(shè)g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N*上是減函數(shù)， ∴g(n)的最大值是g(1)=5, ∴m>5,存在最小正整數(shù)m=6,使對(duì)任意n∈N*有bn<成立