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1、 歸納與類比 1．歸納推理 根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類事物中每一個(gè)事物都有這種屬性．我們將這種推理方式稱為歸納推理．簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理． 歸納推理的基本模式：a、b、c∈M且a、b、c具有某屬性，結(jié)論：任意d∈M，d也具有某屬性． 2．類比推理 由于兩類不同對(duì)象具有某些類似的特征，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)一類對(duì)象的其他特征，推斷另一類對(duì)象也具有類似的其他特征，我們把這種推理過程稱為類比推理．簡言之，類比推理是兩類事物特征之間的推理． 類比推理的基本模式：A：具有屬性a，

2、b，c，d； B：具有屬性a′，b′，c′； 結(jié)論：B具有屬性d′.(a，b，c，d與a′，b′，c′，d′相似或相同) 3．歸納推理和類比推理是最常見的合情推理，合情推理的結(jié)果不一定正確． 4．演繹推理是根據(jù)已知的事實(shí)和正確的結(jié)論，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程． 考點(diǎn)一。歸納推理 命題點(diǎn)1　與數(shù)字有關(guān)的等式的推理 1.（1）觀察下列等式： 1－＝，1－＋－＝＋，1－＋－＋－＝＋＋，…，據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_________． 解：等式左邊：第1個(gè)等式有2項(xiàng)，第2個(gè)有4項(xiàng)，第3個(gè)有6項(xiàng)，且正負(fù)交錯(cuò)，故第n個(gè)等式為1－＋－＋…＋－；等式右邊：第1個(gè)有1項(xiàng)，第2個(gè)有2

3、項(xiàng)，第3個(gè)有3項(xiàng)，故第n個(gè)有n項(xiàng)，則第n個(gè)等式右邊應(yīng)為＋＋…＋. （2）觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，求a10＋b10=_________． 解：從第三項(xiàng)開始，后一個(gè)式子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和，依據(jù)此規(guī)律，a10＋b10＝123. 命題點(diǎn)2　與不等式有關(guān)的推理 2.(1)已知x∈(0，＋∞)，觀察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，得x＋≥n＋1(n∈N＋)，則a＝________. 解：第一個(gè)式子是n＝1的情況，此時(shí)a＝11＝1；第二個(gè)式子是n＝2的情況，此時(shí)

4、a＝22＝4；第三個(gè)式子是n＝3的情況，此時(shí)a＝33＝27，歸納可知a＝nn. 命題點(diǎn)3　與數(shù)列有關(guān)的推理 3.(1)在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n (n<19，n∈N＋)成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則b1b2b3b4…bn＝________________. 解：b1b2b3b4…b17－n (n<17，n∈N＋) (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論，設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，________，_____

5、___， 成等比數(shù)列． 解:有等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4＝a1a2a3a4，T8＝a1a2…a8，T12＝a1a2…a12，T16＝a1a2…a16，因此＝a5a6a7a8，＝a9a10a11a12，＝a13a14a15a16，而T4，，，的公比為q16，因此T4，，，成等比數(shù)列. 命題點(diǎn)4　與圖形變化有關(guān)的推理 4.（1）觀察下圖，可推斷出“x”處應(yīng)該填的數(shù)字是________． (2) 有一個(gè)六邊形的點(diǎn)陣，它的中心是1個(gè)點(diǎn)(算第1層)，第2層每邊有2個(gè)點(diǎn)，第3層每邊有3個(gè)點(diǎn)，…，依此類推，如果一個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有169個(gè)

6、點(diǎn)，那么它的層數(shù)為________． 解：(1)中間數(shù)等于四周四個(gè)數(shù)的平方和，∴“x”處應(yīng)填的數(shù)字是32＋52＋72＋102＝183. (2)第1層點(diǎn)數(shù)為1，第2層點(diǎn)數(shù)為6，第3層點(diǎn)數(shù)為26，第4層點(diǎn)數(shù)為36，第5層點(diǎn)數(shù)為46，…，第n層點(diǎn)數(shù)為6(n－1)．設(shè)一個(gè)點(diǎn)陣有n層，則共有的點(diǎn)數(shù)為1＋6＋62＋…＋6(n－1)＝1＋(n－1)＝3n2－3n＋1，由題意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8層． 考點(diǎn)二。類比推理 5.（1）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N＋)，則am＋n＝.類比等差數(shù)列{an}的上述結(jié)

7、論，對(duì)于等比數(shù)列{bn}(bn>0，n∈N＋)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N＋)，則可以得到bm＋n＝________. 解：設(shè)數(shù)列{an}公差為d，數(shù)列{bn}公比為q，因an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1，am＋n＝，則bm＋n＝. （2）在平面上，設(shè)ha，hb，hc是三角形ABC三條邊上的高，P為三角形內(nèi)任一點(diǎn)，P到相應(yīng)三邊的距離分別為Pa，Pb，Pc，我們可以得到結(jié)論：＋＋＝1.把它類比到空間，則三棱錐中的類似結(jié)論為______________． 解：設(shè)ha，hb，hc，hd分別是三棱錐A－BCD四個(gè)面上的高，P為三棱錐A－BCD內(nèi)任一點(diǎn)，P到相應(yīng)四個(gè)面的距離分別為Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出結(jié)論：＋＋＋＝1.