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2019-2020年高中數學集合的基本關系備課資源 思路分析 　　在現實生活與數學研究中，我們常常遇到兩個集合之間存在某些聯(lián)系，如，高一（1）班的男生組成的集合是全班同學組成的集合的一部分，自然數集N是實數集R的一部分，這種關系我們稱之為包含關系． 　　在數學中，許多研究對象都是有范圍的，不同的范圍內研究同一個問題，常常會有不同的結果． 　　例如，方程（x2－5）（x＋）＝0的解集，在不同的數集范圍內就有不同的結果． 　　若在自然數集內，則有｛x∈N｜（x2－5）（x＋）＝0｝＝； 　　若在有理數集內，則有｛x∈Q｜（x2－5）（x＋）＝0｝＝｛－｝； 　　若在實數集內，則有｛x∈R｜（x2－5）（x＋）＝0｝＝｛－，，－｝． 　　在實際生活中，也有同樣的問題，如分析某次考試成績，有時在本班范圍內比較，有時在全年級內比較，但對于不同的范圍來分析，得到的結論不盡相同． 　　因此，全集是相對于研究的問題而言的一個相對概念，但它應涵蓋與研究問題有關的全部元素．不同問題中，全集的意義不同． 　　子集、補集、全集為并非全新而特殊的集合．這些集合本身與其他集合無特殊之處，關鍵相對另外其他給定集合而言，從而體現出集合與集合之間的關系．正如相反數、倒數概念一樣，一3叫3的相反數，一3相對3來講叫3的相反數，而一3本身不能叫相反數． 　　在本節(jié)的學習中全面理解子集、全集、補集的概念．正確區(qū)分“∈”與“”．在與方程知識、不等式相結合應用之中把握集合間的包含、相等、不包含的關系。借助數軸、坐標系等加強數形結合，力求以形助數，準確迅速解答問題． 　　教學時，通過實例引出概念，而元素是這些概念的本質，教學中應抓住這一關鍵點，幫助學生發(fā)現“AB，AB，，A＝B，A B，A＝｛x｜x∈Ｓ且xA｝其中AＳ”等關系都是由A、B、C集合中的元素決定的，所以將集合間的關系問題轉化為處理集合中的元素問題． 　　本節(jié)包含了較多的新概念、新符號，教學中借用對比、實例來幫助學生掃除“符號混淆”的障礙．加強文字語言、符號語言、圖形語言之間的轉換． 知識點 文字語言 符號語言 圖形語言 子集 若集合A中的每一個元素都是集合B中的元素，則稱A是B的子集 若x∈Ax∈B，則AB 真子集 若集合A是集合B的子集，且B中至少有一個元素不在集合A中，則稱A為B的真子集 若A∈B且A≠B，則AB 相等 若A、B互為子集，則A與B相等 若AB且BA則A＝B 集合之間的關系圖是一種什么性質的圖形？使用時要注意些什么？ 　　這種圖在數學上也稱為文（Tohn Venn，1834～1923年英國邏輯學家）氏圖，它僅僅起著說明各集合之間關系的示意圖的作用（就像交通示意圖只說明各車站之間的位置關系那樣）．因此，邊界用直線還是曲線，用實線還是虛線都無關緊要，只要封閉并把有關元素或子集統(tǒng)統(tǒng)包在里邊就行．絕不能理解成圈內的每一點都是這個集合的元素（事實上，這個集合可能與點毫無關系），至于邊界上的點是否屬于這個集合，也都不必考慮． 　　在教學時應有意識地引導學生從數、形兩個方面來理解集合．如可以讓學生看集合后用Venn表示關系，也可以畫出Venn圖，或要求學生寫出集合間的關系．特別指出，任意兩個集合都可以談集合間的關系，包括空集在內．關系分包含、不包含又分為相等和真包含，對于包含課本講得較多，而對于不包含講得較少，區(qū)別AB與BA． 集合論簡介 　　集合論數學的一個基本的分支學科，它的研究對象是一般集合．集合論在數學中占有一個獨特的地位，它的基本概念已滲透到數學的所有領域．按現代數學觀點，數學各分支的研究對象或者是本身帶有某種特定結構的集合（如群、環(huán)、拓撲空間），或者是可以通過集合來定義的（如自然數、實數、函數）．從這種意義上說，集合論是整個現代數學的基礎，至多范疇論除外． 　　集合論是G康托于19世紀末創(chuàng)立的．20世紀初對集合論的嚴格處理產生了公理集合論，由于對它的研究廣泛采用了數理邏輯工具，集合論（公理集合論）又逐漸成為數理邏輯的一個分支，并從20世紀60年代以來獲得迅速的發(fā)展． 　　集合論是在分析數學的研究中產生的，直接產生于三角級數的研究工作中．1854年黎曼提出，如果函數f（x）在某個區(qū)間內除間斷點以外所有點上都能展開為收斂于函數值的三角級數，那么這樣的三角級數是否唯一？但他沒有回答．1870年海涅證明：當f（x）連續(xù)，且它的三角級數展開式一致收斂時，展開式是唯一的．進一步的問題是：什么樣的例外的點（間斷點）不影響這種唯一性？表述這些例外的點的整體的需要，產生了點集的概念，G康托引入了直線上的一些點集拓撲的概念，探討了前人從未碰到過的結構復雜的實數點集，這是集合論的開端． 　　1874年，G康托越過“數集”的限制，開始一般地提出“集合”的概念．他給集合下了這樣一個定義：把若干確定的有區(qū)別的（具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素，也說它屬于該集合．有了集合概念，就可以定義出一系列有關的概念，集合論就產生了． 　　從本質上看，集合論是關于無限集合和超限數的數學理論．G康托創(chuàng)立集合論的卓越貢獻之一，就是把實數無限引入數學．他把適用于有限集的不用計數而判定兩集合大小的一一對應準則推廣到無限集，此后一一對應方法成為典型的集合論方法．元素間能建立一一對應的集合稱為等勢，G康托指出，無限集的特征就是它可與自己的一個真子集等勢．他稱與全體自然數N等勢的集合為可數集，1873年他采用了著名的對角線法，證明了全體實數的集合R不是可數集，因此，無限集也是有差別的．1878年，他引入了“集合的勢”后又稱為基數的概念，它既適用于無限集也適用于有限集，是“個數”概念的推廣．G康托把勢定義為等勢集合類共性的抽象，后來弗雷格與羅素改為等勢類本身．1883年，G康托應用對角線法證明了康托定理：一個集合S與它的冪集P（S）間不可能建立一一對應，≥．這樣，說明了在無限集之間還存在著無限多個層次． 　　1883年，G康托開始研究有序集，特別是其中的良序集，他引入了序數概念來刻畫良序集的結構．序數可以比較大小，而且任一序數之后，恰有一個在大小順序上緊緊尾隨的序數．因此，后來G康托給出了序數的一種系統(tǒng)的表示法，相當于十進制之用于自然數．利用序數可以把良序集編號，并把數學歸納法推廣到自然數以外去（見超限歸納法）．序數的研究加深了對基數的理解，1904年策梅羅證明了任一集合都可以良序化（良序定理），將基數等同于一個序數，這就解決了基數比較大小的問題．同序數一樣，任一基數之后，甚至任一基數集之后，恰好有一個在大小順序上緊緊尾隨的基數．因此可將所有超限基數按序數來編序，這就是所謂阿列夫的譜系） …（其中是最小無限集可數集的基數，w是自然數集的序數），它可以無限延伸下去．超限序數和超限基數一起刻畫了無限．它們所以還稱為數，是因為它們都有自己的算術． 　　集合論之前的數學界只承認潛無限，集合論則引入了實無限，自然數不是一個一個地潛在地向無限變化，而是“一下子”以完成的姿態(tài)呈現在人們面前．用超限基數和超限序數刻畫的無限集，都是實無限．因而一開始并不被數學界所完全接受．但是后來，從非歐里得幾何學的產生開始的對數學無矛盾性（相對無矛盾性）的證明把整個數學解釋為集合論（見證明論、數學基礎），集合論成了數學無矛盾性的基礎，集合論在數學中的基礎理論地位就逐漸確立起來． 　　19世紀末20世紀初，人們發(fā)現了一系列集合論悖論，表明集合論是不協(xié)調的，這使得人們對數學推理的正確性和結論的真理性產生了懷疑，觸發(fā)了第三次數學危機．為了克服悖論所帶來的困難，人們開始對集合論進行改造，即對G康托的集合定義加以限制，“從現有的集合論成果出發(fā)，反求足以建立這一數學分支的原則．這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托集合論中一切有價值的內容得以保存下來”（策梅羅語）．那就是集合論公理化方案．1908年，策梅羅提出第一個公理集合論體系，后經弗倫克爾和斯科朗的改進，稱為ZF系統(tǒng)．ZF集合論承襲了康托集合論的全部成果，凡數學所需的一切有關集合運算、關系、映射的結果以及全部基數、序數的理論全都可以從ZF公理系統(tǒng)中演繹出來．ZF集合論又排除了康托集合論中可能出現的悖論．因此，在很大程度上彌補了康托集合論（與公理集合論相比較，人們把康托集合論稱為樸素集合論）的缺點．當然，由于哥德爾第二不完全性定理，ZF系統(tǒng)作為包括自然數理論的一階形式系統(tǒng)是不可能在其內部解決本身的無矛盾性問題的．這是一切這類系統(tǒng)的固有性質． 　　集合論的公理系統(tǒng)除ZF系統(tǒng)外還有多種，其中最常用的要算1925～1937年間形成的馮諾伊曼、伯奈斯、哥德爾提出并完善的公理系統(tǒng)，稱為NBG系統(tǒng)．已經證明，如果ZF公理系統(tǒng)是無矛盾的，則NBG公理系統(tǒng)也是無矛盾的（而且后者是前者的一個保守的擴張）．（見公理集合論）。 　　雖然證明整個公理系統(tǒng)的無矛盾性已無意義，但關于公理系統(tǒng)中某一個別公理或某一假設的相對無矛盾性和相對獨立性仍是重要的課題，其中選擇公理與連續(xù)統(tǒng)假設有重要的地位，是集合論中長期研究的課題．選擇公理（AC）成為數學史上繼平行公理之后最有爭議的公理，包括AC的公理系統(tǒng)記為ZFC，以區(qū)別不包括AC的ZF公理系統(tǒng)．連續(xù)統(tǒng)假設（CH）是1878年G康托提出來的，簡單地說，就是關于直線上有多少點的問題，G康托猜測實數集合的任一不可數子集合與實數集合等價．這一假設的證明至今沒有完全得到解決，它已成為數學史上與費馬大定理、黎曼猜想齊名的一大難題． 　　近40年來，在AC和CH研究方面取得不少進展．1938上，哥德爾證明：從ZF推不出AC的否定，從ZFC推不出CH的否定，即AC對于ZF，CH對于ZFC是相對無矛盾的．1963年，科恩創(chuàng)立著名的力迫方法，證明了AC對于ZF，CH對于ZFC的相對獨立性，即從ZF推不出AC，從ZFC推不出CH．綜合這兩個成果，得出：AC在ZF中，CH在ZFC中都是不可判定的．這是20世紀最偉大的數學成果之一．科恩的力迫方法成為集合論的有力工具，此后20多年中，人們一方面推廣和改進科恩的力迫方法，提出諸如迭代力迫、真力迫等新概念和新方法；另一方面則將這些方法應用于具體的數學領域，如拓撲學中，以證明該領域中的某些命題是不可判定的．此外，大基數問題、無窮組合論問題的研究亦有很大進展，20世紀70年代以來，決定性公理的研究與它們交織在一起，有新的發(fā)展．同時，人們還在尋找迄今尚未發(fā)現的與其他公理無矛盾的可依賴的新的公理（CH或它的任一具體的否定都不具備這種資格），以期在更有效的途徑上來解決連續(xù)統(tǒng)問題，這方面的工作成為集合論當前研究的主流． 　　－－山東教育出版社，杜瑞芝主編《數學史》辭典 知識總結 　　1．本節(jié)知識結構 　　 　　2．本節(jié)教學的重點是集合的基本關系的理解和判定，難點在于區(qū)分相關概念及其符號表達．空集不作為重點，但由于其具有獨特的性質，因此需要特別加強辨析訓練． 　　3．子集的有關性質 　?。?）A＝BAB且BA． 　?。?）BAB＝，BA或B≠且A＝B． 　?。?）AB，BC AC． 　　AB，BC AC． 　　AB，BC AC． 　?。?）若集合A有n個元素，則A的子集個數為2n，真子集個數2n－1個．