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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.4直線、圓的位置關(guān)系學(xué)案 理 蘇教版
導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.能根據(jù)給定直線、圓的方程,判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問題.3.在學(xué)習(xí)過程中,體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.
自主梳理
1.直線與圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系有三種:________、________、________.
判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有兩種方法:
①代數(shù)法:利用判別式Δ,即直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組消去x或y整理成一元二次方程后,計(jì)算判別式Δ=b2-4ac
②幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系:
d
r?________.
2.圓的切線方程
若圓的方程為x2+y2=r2,點(diǎn)P(x0,y0)在圓上,則過P點(diǎn)且與圓x2+y2=r2相切的切線方程為______________________.
注:點(diǎn)P必須在圓x2+y2=r2上.
經(jīng)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為________________________.
3.計(jì)算直線被圓截得的弦長(zhǎng)的常用方法
(1)幾何方法
運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長(zhǎng)的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算.
(2)代數(shù)方法
運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式
AB=|xA-xB|=.
說明:圓的弦長(zhǎng)、弦心距的計(jì)算常用幾何方法.
4.圓與圓的位置關(guān)系
(1)圓與圓的位置關(guān)系可分為五種:________、________、________、________、________.
判斷圓與圓的位置關(guān)系常用方法:
(幾何法)設(shè)兩圓圓心分別為O1、O2,半徑為r1、r2 (r1≠r2),則O1O2>r1+r2________;O1O2=r1+r2________;|r1-r2|0)的公共弦的長(zhǎng)為2,則a=________.
6.已知點(diǎn)A是圓C:x2+y2+ax+4y-5=0上任意一點(diǎn),A點(diǎn)關(guān)于直線x+2y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)也在圓C上,則實(shí)數(shù)a=________.
7.設(shè)直線3x+4y-5=0與圓C1:x2+y2=4交于A,B兩點(diǎn),若圓C2的圓心在線段AB上,且圓C2與圓C1相切,切點(diǎn)在圓C1的劣弧上,則圓C2的半徑的最大值是________.
8.(xx全國(guó)Ⅰ改編)已知圓O的半徑為1,PA、PB為該圓的兩條切線,A、B為兩切點(diǎn),那么的最小值為____________.
二、解答題(共42分)
9.(14分)圓x2+y2=8內(nèi)一點(diǎn)P(-1,2),過點(diǎn)P的直線l的傾斜角為α,直線l交圓于A、B兩點(diǎn).
(1)當(dāng)α=時(shí),求AB的長(zhǎng);
(2)當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí),求直線l的方程.
10.(14分)自點(diǎn)A(-3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上,被x軸反射,其反射光線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光線l所在直線的方程.
11.(14分)已知兩圓x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.求:
(1)m取何值時(shí)兩圓外切?
(2)m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切?
(3)m=45時(shí)兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng).
學(xué)案48 直線、圓的位置關(guān)系
答案
自主梳理
1.相切 相交 相離?、傧嘟弧∠嗲小∠嚯x ②相交 相切 相離 2.x0x+y0y=r2 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 4.(1)外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含 外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含 (2)(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0
自我檢測(cè)
1. 2.x-y+2=0 3.2 4.2
5.x-y-3=0
課堂活動(dòng)區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 (1)過點(diǎn)P作圓的切線有三種類型:
當(dāng)P在圓外時(shí),有2條切線;
當(dāng)P在圓上時(shí),有1條切線;
當(dāng)P在圓內(nèi)時(shí),不存在.
(2)利用待定系數(shù)法設(shè)圓的切線方程時(shí),一定要注意直線方程的存在性,有時(shí)要進(jìn)行恰當(dāng)分類.
(3)切線長(zhǎng)的求法:
過圓C外一點(diǎn)P作圓C的切線,切點(diǎn)為M,半徑為R,
則PM=.
解 (1)將圓C配方得(x+1)2+(y-2)2=2.
①當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零時(shí),設(shè)直線方程為y=kx,
由=,解得k=2,得y=(2)x.
②當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí),
設(shè)直線方程為x+y-a=0,
由=,
得|a-1|=2,即a=-1,或a=3.
∴直線方程為x+y+1=0,或x+y-3=0.
綜上,圓的切線方程為y=(2+)x,或y=(2-)x,
或x+y+1=0,或x+y-3=0.
(2)由PO=PM,
得x+y=(x1+1)2+(y1-2)2-2,
整理得2x1-4y1+3=0.
即點(diǎn)P在直線l:2x-4y+3=0上.
當(dāng)PM取最小值時(shí),即OP取得最小值,直線OP⊥l,
∴直線OP的方程為2x+y=0.
解方程組得點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
變式遷移1 解 設(shè)圓切線方程為y-3=k(x-2),
即kx-y+3-2k=0,∴1=,
∴k=,另一條斜率不存在,方程為x=2.
∴切線方程為x=2和3x-4y+6=0.
圓心C為(1,1),∴kPC==2,
∴過兩切點(diǎn)的直線斜率為-,又x=2與圓交于(2,1),
∴過切點(diǎn)的直線為x+2y-4=0.
例2 解題導(dǎo)引 (1)有關(guān)圓的弦長(zhǎng)的求法:
已知直線的斜率為k,直線與圓C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),點(diǎn)C到l的距離為d,圓的半徑為r.
方法一 代數(shù)法:弦長(zhǎng)AB=|x2-x1|
=;
方法二 幾何法:弦長(zhǎng)AB=2.
(2)有關(guān)弦的中點(diǎn)問題:
圓心與弦的中點(diǎn)連線和已知直線垂直,利用這條性質(zhì)可確定某些等量關(guān)系.
解 (1)
如圖所示,AB=4,取AB的中點(diǎn)D,連結(jié)CD,則CD⊥AB,連結(jié)AC、BC,
則AD=2,AC=4,
在Rt△ACD中,可得CD=2.
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)所求直線的斜率為k,則直線的方程為y-5=kx,
即kx-y+5=0.
由點(diǎn)C到直線AB的距離公式,得=2,
解得k=.
當(dāng)k=時(shí),直線l的方程為3x-4y+20=0.
又直線l的斜率不存在時(shí),也滿足題意,
此時(shí)方程為x=0.
∴所求直線的方程為3x-4y+20=0或x=0.
(2)設(shè)過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)為D(x,y),
則CD⊥PD,即=0,
(x+2,y-6)(x,y-5)=0,
化簡(jiǎn)得所求軌跡方程為x2+y2+2x-11y+30=0.
變式遷移2 (1)證明 由kx-y-4k+3=0,
得(x-4)k-y+3=0.
∴直線kx-y-4k+3=0過定點(diǎn)P(4,3).
由x2+y2-6x-8y+21=0,
即(x-3)2+(y-4)2=4,
又(4-3)2+(3-4)2=2<4.
∴直線和圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
(2)解 kPC==-1.
可以證明與PC垂直的直線被圓所截得的弦AB最短,因此過P點(diǎn)斜率為1的直線即為所求,其方程為y-3=x-4,即x-y-1=0.PC==,
∴AB=2=2.
例3 解題導(dǎo)引 圓和圓的位置關(guān)系,從交點(diǎn)個(gè)數(shù)也就是方程組解的個(gè)數(shù)來判斷,有時(shí)得不到確切的結(jié)論,通常還是從圓心距d與兩圓半徑和、差的關(guān)系入手.
解 對(duì)于圓C1與圓C2的方程,經(jīng)配方后
C1:(x-m)2+(y+2)2=9;
C2:(x+1)2+(y-m)2=4.
(1)如果C1與C2外切,
則有=3+2.
(m+1)2+(m+2)2=25.
m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2.
(2)如果C1與C2內(nèi)含,
則有<3-2.
(m+1)2+(m+2)2<1,m2+3m+2<0,
得-20,b2+6b-9<0,
解得-3-30.
即直線AB的方程為x-y-4=0,或x-y+1=0.
變式遷移4 解 (1)∵直線l過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k,
∴直線l的方程為y=kx+1.
將其代入圓C:(x-2)2+(y-3)2=1,
得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.①
由題意:Δ=[-4(1+k)]2-4(1+k2)7>0,
得
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