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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.2.1任意角的三角函數(shù)（1）教案 新人教A版必修4 教學(xué)目的： 知識(shí)目標(biāo)：1.掌握任意角的三角函數(shù)的定義； 2.已知角α終邊上一點(diǎn)，會(huì)求角α的各三角函數(shù)值； 3.記住三角函數(shù)的定義域、值域，誘導(dǎo)公式（一）。 能力目標(biāo)：（1）理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義； （2）樹(shù)立映射觀點(diǎn)，正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)； （3）通過(guò)對(duì)定義域，三角函數(shù)值的符號(hào)，誘導(dǎo)公式一的推導(dǎo)，提高學(xué)生分析、探究、解決問(wèn)題的能力。 德育目標(biāo)： （1）使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物之間是有聯(lián)系的，三角函數(shù)就是角度（自變量）與比值（函數(shù)值）的一種聯(lián)系方式； （2）學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神； 教學(xué)重點(diǎn)：任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)），以及這三種函數(shù)的第一組誘導(dǎo)公式。公式一是本小節(jié)的另一個(gè)重點(diǎn)。 教學(xué)難點(diǎn)：利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用他們的集合形式表示出來(lái). 教學(xué)過(guò)程： 一、復(fù)習(xí)引入：初中銳角的三角函數(shù)是如何定義的？ 在Rt△ABC中，設(shè)A對(duì)邊為a，B對(duì)邊為b，C對(duì)邊為c，銳角A的正弦、余弦、正切依次為 ． 角推廣后，這樣的三角函數(shù)的定義不再適用，我們必須對(duì)三角函數(shù)重新定義。 二、講解新課： 1．三角函數(shù)定義 在直角坐標(biāo)系中，設(shè)α是一個(gè)任意角，α終邊上任意一點(diǎn)（除了原點(diǎn)）的坐標(biāo)為，它與原點(diǎn)的距離為，那么 （1）比值叫做α的正弦，記作，即； （2）比值叫做α的余弦，記作，即； （3）比值叫做α的正切，記作，即； （4）比值叫做α的余切，記作，即； 說(shuō)明：①α的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，α的終邊沒(méi)有表明α一定是正角或負(fù)角，以及α的大小，只表明與α的終邊相同的角所在的位置； ②根據(jù)相似三角形的知識(shí)，對(duì)于確定的角α，四個(gè)比值不以點(diǎn)在α的終邊上的位置的改變而改變大??； ③當(dāng)時(shí)，α的終邊在軸上，終邊上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于， 所以無(wú)意義；同理當(dāng)時(shí)，無(wú)意義； ④除以上兩種情況外，對(duì)于確定的值α，比值、、、分別是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)， 正弦、余弦、正切、余切是以角為自變量，比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上四種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)。 函 數(shù) 定 義 域 值 域 2．三角函數(shù)的定義域、值域 注意： (1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)研究角的問(wèn)題，其頂點(diǎn)都在原點(diǎn)，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合. (2) α是任意角，射線OP是角α的終邊，α的各三角函數(shù)值（或是否有意義）與ox轉(zhuǎn)了幾圈，按什么方向旋轉(zhuǎn)到OP的位置無(wú)關(guān). (3)sin是個(gè)整體符號(hào)，不能認(rèn)為是“sin”與“α”的積.其余五個(gè)符號(hào)也是這樣. (4)任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別: 銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例，它們的基礎(chǔ)共建立于相似（直角）三角形的性質(zhì)，“r”同為正值. 所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來(lái)定義的，任意角的三角函數(shù)是以坐標(biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)、距離與坐標(biāo)的比來(lái)定義的,它也適合銳角三角函數(shù)的定義.實(shí)質(zhì)上，由銳角三角函數(shù)的定義到任意角的三角函數(shù)的定義是由特殊到一般的認(rèn)識(shí)和研究過(guò)程. (5)為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性，將直角三角形置于平面直角坐標(biāo)系的第一象限，使一銳角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，一直角邊與x軸的非負(fù)半軸重合，利用我們熟悉的銳角三角函數(shù)類比記憶. 3．例題分析 例1．求下列各角的四個(gè)三角函數(shù)值： （通過(guò)本例總結(jié)特殊角的三角函數(shù)值） （1）； （2）； （3）． 解：（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以 ， ， ， 不存在。 （2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以 ， ， ， 不存在， （3）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以 ， ， 不存在， ， 例2．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求α的四個(gè)函數(shù)值。 解：因?yàn)椋?，于? ； ； ； ． 例3．已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)，求α的四個(gè)三角函數(shù)值。 解：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以， 當(dāng)；； 當(dāng)； ； ． 4．三角函數(shù)的符號(hào) 由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)，我們可以得知： ①正弦值對(duì)于第一、二象限為正（），對(duì)于第三、四象限為負(fù)（）； ②余弦值對(duì)于第一、四象限為正（），對(duì)于第二、三象限為負(fù)（）； ③正切值對(duì)于第一、三象限為正（同號(hào)），對(duì)于第二、四象限為負(fù)（異號(hào)）． 說(shuō)明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。 練習(xí)： 確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)： （1）； （2）； （3）； （4）． 例4．求證：若且，則角是第三象限角，反之也成立。 5．誘導(dǎo)公式 由三角函數(shù)的定義，就可知道：終邊相同的角三角函數(shù)值相同。即有： ， ，其中． ， 這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為0～2π間角的三角函數(shù)值問(wèn)題． 例5．求下列三角函數(shù)的值：（1）， （2）， 例6．求函數(shù)的值域 解： 定義域：cosx0 ∴x的終邊不在x軸上 又∵tanx0 ∴x的終邊不在y軸上 ∴當(dāng)x是第Ⅰ象限角時(shí)， cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2 …………Ⅱ…………, |cosx|=-cosx |tanx|=-tanx ∴y=-2 …………ⅢⅣ………, |cosx|=-cosx |tanx|=tanx ∴y=0 四、小 結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容： 1．任意角的三角函數(shù)的定義；2．三角函數(shù)的定義域、值域；3．三角函數(shù)的符號(hào)及誘導(dǎo)公式。 五、鞏固與練習(xí) 1、教材P15面練習(xí)； 2、作業(yè)P20面習(xí)題1．２A組第1、2、3（1）（2）（3）題及P21面第9題的（1）、（3）題。