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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 第四篇 第2講 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
1.求函數(shù)的定義域,關(guān)鍵是依據(jù)含自變量x的代數(shù)式有意義來列出相應(yīng)的不等式(組)求解,如開偶次方根、被開方數(shù)一定是非負(fù)數(shù);對數(shù)式中的真數(shù)是正數(shù);列不等式時,應(yīng)列出所有的不等式,不應(yīng)遺漏.
對抽象函數(shù),只要對應(yīng)關(guān)系相同,括號里整體的取值范圍就完全相同.
[問題1] 函數(shù)f(x)=+lg(1+x)的定義域是__________________.
2.用換元法求解析式時,要注意新元的取值范圍,即函數(shù)的定義域問題.
[問題2] 已知f(cos x)=sin2x,則f(x)=________.
3.分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上,分別用不同的式子來表示對應(yīng)關(guān)系的函數(shù),它是一個函數(shù),而不是幾個函數(shù).
[問題3] 已知函數(shù)f(x)=那么f()的值為________.
4.判斷函數(shù)的奇偶性,要注意定義域必須關(guān)于原點對稱,有時還要對函數(shù)式化簡整理,但必須注意使定義域不受影響.
[問題4] f(x)=是________函數(shù)(填“奇”“偶”或“非奇非偶”).
5.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時,多個單調(diào)區(qū)間之間不能用符號“∪”和“或”連接,可用“及”連接,或用“,”隔開.單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”,而不能用集合或不等式代替.
[問題5] 函數(shù)f(x)=的減區(qū)間為________________________________________.
6.弄清函數(shù)奇偶性的性質(zhì)
(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性完全相同;偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性恰恰相反.
(2)若f(x)為偶函數(shù),則f(-x)=f(x)=f(|x|).
(3)若奇函數(shù)f(x)的定義域中含有0,則必有f(0)=0.
“f(0)=0”是“f(x)為奇函數(shù)”的既不充分也不必要條件.
[問題6] 設(shè)f(x)=lg是奇函數(shù),且在x=0處有意義,則該函數(shù)為( )
A.(-∞,+∞)上的減函數(shù)
B.(-∞,+∞)上的增函數(shù)
C.(-1,1)上的減函數(shù)
D.(-1,1)上的增函數(shù)
7.求函數(shù)最值(值域)常用的方法
(1)單調(diào)性法:適合于已知或能判斷單調(diào)性的函數(shù).
(2)圖象法:適合于已知或易作出圖象的函數(shù).
(3)基本不等式法:特別適合于分式結(jié)構(gòu)或兩元的函數(shù).
(4)導(dǎo)數(shù)法:適合于可導(dǎo)函數(shù).
(5)換元法(特別注意新元的范圍).
(6)分離常數(shù)法:適合于一次分式.
[問題7] 函數(shù)y=(x≥0)的值域為________.
8.函數(shù)圖象的幾種常見變換
(1)平移變換:左右平移——“左加右減”(注意是針對x而言);上下平移——“上加下減”.
(2)翻折變換:f(x)→|f(x)|;f(x)→f(|x|).
(3)對稱變換:①證明函數(shù)圖象的對稱性,即證圖象上任意點關(guān)于對稱中心(軸)的對稱點仍在圖象上;
②函數(shù)y=f(x)與y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱;
③函數(shù)y=f(x)與y=f(-x)的圖象關(guān)于直線x=0 (y軸)對稱;函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=-f(x)的圖象關(guān)于直線y=0(x軸)對稱.
[問題8] 函數(shù)f(x)=的圖象的對稱中心是________.
9.有關(guān)函數(shù)周期的幾種情況必須熟記:(1)f(x)=f(x+a)(a>0),則f(x)的周期T=a;(2)f(x+a)=(f(x)≠0)或f(x+a)=-f(x),則f(x)的周期T=2a.
[問題9] 對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意的x,都有f(x+2)=-,若當(dāng)2
0且a≠1,b>0且b≠1,M>0,N>0.
則loga(MN)=logaM+logaN,
loga=logaM-logaN,
logaMn=nlogaM,
對數(shù)換底公式:logaN=.
推論:=logaN;logab=.
(2)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
可從定義域、值域、單調(diào)性、函數(shù)值的變化情況考慮,特別注意底數(shù)的取值對有關(guān)性質(zhì)的影響,另外,指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象恒過定點(0,1),對數(shù)函數(shù)y=logax的圖象恒過定點(1,0).
[問題11] 函數(shù)y=|log2|x-1||的遞增區(qū)間是________________.
12.冪函數(shù)y=xα(α∈R)
(1)①若α=1,則y=x,圖象是直線.
②當(dāng)α=0時,y=x0=1(x≠0)圖象是除點(0,1)外的直線.
③當(dāng)0<α<1時,圖象過(0,0)與(1,1)兩點,在第一象限內(nèi)是上凸的.
④當(dāng)α>1時,在第一象限內(nèi),圖象是下凸的.
(2)增減性:①當(dāng)α>0時,在區(qū)間(0,+∞)上,函數(shù)y=xα是增函數(shù);②當(dāng)α<0時,在區(qū)間(0,+∞)上,函數(shù)y=xα是減函數(shù).
[問題12] 函數(shù)f(x)=x-x的零點個數(shù)為________.
13.函數(shù)與方程
(1)對于函數(shù)y=f(x),使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點.事實上,函數(shù)y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的實數(shù)根.
(2)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)曲線,且有f(a)f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)有零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,此時這個c就是方程f(x)=0的根.反之不成立.
[問題13] 已知定義在R上的函數(shù)f(x)=(x2-3x+2)g(x)+3x-4,其中函數(shù)y=g(x)的圖象是一條連續(xù)曲線,則方程f(x)=0在下面哪個區(qū)間內(nèi)必有實數(shù)根( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
14.求導(dǎo)數(shù)的方法
(1)基本導(dǎo)數(shù)公式:c′=0 (c為常數(shù));(xm)′=mxm-1 (m∈Q);(sin x)′=cos x;(cos x)′=-sin x;(ex)′=ex;(ax)′=axln a;(ln x)′=;(logax)′=(a>0且a≠1).
(2)導(dǎo)數(shù)的四則運算:(uv)′=u′v′;
(uv)′=u′v+uv′;′=(v≠0).
(3)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):yx′=y(tǒng)u′ux′.
如求f(ax+b)的導(dǎo)數(shù),令u=ax+b,則
(f(ax+b))′=f′(u)a.
[問題14] f(x)=e-2x,則f′(x)=________.
15.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性:設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),如果f′(x)>0,那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);如果f′(x)<0,那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù);如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)=0,那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為常函數(shù).
注意:如果已知f(x)為減函數(shù)求字母取值范圍,那么不等式f′(x)≤0恒成立,但要驗證f′(x)是否恒等于0.增函數(shù)亦如此.
[問題15] 函數(shù)f(x)=ax3-2x2+x-1在R上是增函數(shù),則a的取值范圍是________.
16.導(dǎo)數(shù)為零的點并不一定是極值點,例如:函數(shù)f(x)=x3,有f′(0)=0,但x=0不是極值點.
[問題16] 函數(shù)f(x)=x4-x3的極值點是________.
17.定積分
運用微積分基本定理求定積分?f(x)dx值的關(guān)鍵是用求導(dǎo)公式逆向求出f(x)的原函數(shù),應(yīng)熟練掌握以下幾個公式:
?xndx=|,
?sin xdx=-cos x|,
?cos xdx=sin x|,
?dx=ln x|(b>a>0),
?axdx=|.
[問題17] 計算定積分?(x2+sin x)dx=________.
例1 函數(shù)y=log(x2-5x+6)的單調(diào)遞增區(qū)間為_____________.
錯因分析 忽視對函數(shù)定義域的要求,漏掉條件x2-5x+6>0.
解析 由x2-5x+6>0知{x|x>3或x<2}.令u=x2-5x+6,則u=x2-5x+6在(-∞,2)上是減函數(shù),∴y=log(x2-5x+6)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,2).
答案 (-∞,2)
易錯點2 分段函數(shù)意義理解不準(zhǔn)確
例2 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=則f(2 016)的值為( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
錯因分析 不理解分段函數(shù)的意義,誤認(rèn)為應(yīng)將x=2 016,代入log2(1-x),或者認(rèn)為得不到f(2 016)的值.
解析 f(2 016)=f(2 015)-f(2 014)=f(2 014)-f(2 013)-f(2 014)=-f(2 013)=f(2 010)=f(0)=0.
答案 B
例3 函數(shù)f(x)=在(-∞,+∞)上單調(diào),則a的取值范圍是________________.
錯因分析 只考慮分段函數(shù)各段上函數(shù)值變化情況,忽視對定義域的臨界點處函數(shù)值的要求.
解析 若函數(shù)在R上單調(diào)遞減,則有解之得a≤-;若函數(shù)在R上單調(diào)遞增,則有解得1<a≤,
故a的取值范圍是(-∞,-]∪(1,].
答案 (-∞,-]∪(1,]
易錯點3 函數(shù)零點求解討論不全面
例4 函數(shù)f(x)=mx2-2x+1有且僅有一個正實數(shù)零點,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.(-∞,1] B.(-∞,0]∪{1}
C.(-∞,0)∪{1} D.(-∞,1)
錯因分析 解本題易出現(xiàn)的錯誤有分類討論不全面、函數(shù)零點定理使用不當(dāng),如忽視對m=0的討論,就會錯選C.
解析 當(dāng)m=0時,x=為函數(shù)的零點;當(dāng)m≠0時,若Δ=0,即m=1時,x=1是函數(shù)唯一的零點,若Δ≠0,顯然x=0不是函數(shù)的零點,這樣函數(shù)有且僅有一個正實數(shù)零點等價于方程f(x)=mx2-2x+1=0有一個正根一個負(fù)根,即mf(0)<0,即m<0.故選B.
答案 B
易錯點4 混淆“過點”和“切點”
例5 求過曲線y=3x-x3上的點(2,-2)的切線方程.
錯因分析 混淆過一點的切線和在一點處切線,錯誤認(rèn)為(2,-2)一定是切點.
解 設(shè)切點為P(x0,y0),則點P處的切線方程是
y-y0=(3-3x)(x-x0).
∵點A在切線上,
∴-2-y0=(3-3x)(2-x0).①
又∵點P在曲線C上,
∴y0=3x0-x.②
由①、②,解得x0=2或x0=-1.
當(dāng)x0=2時,P點的坐標(biāo)為(2,-2),
切線方程是9x+y-16=0.
當(dāng)x0=-1時,P點的坐標(biāo)為(-1,-2),
切線方程是y+2=0.
綜上,過點A的曲線C的切線方程是:9x+y-16=0或y+2=0.
易錯點5 極值點條件不清
例6 已知f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為10,則a+b=________.
錯因分析 把f′(x0)=0作為x0為極值點的充要條件,沒有對a,b值進(jìn)行驗證,導(dǎo)致增解.
解析 f′(x)=3x2+2ax+b,由x=1時,函數(shù)取得極值10,得
聯(lián)立①②得或
當(dāng)a=4,b=-11時,
f′(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1).
在x=1兩側(cè)的符號相反,符合題意.
當(dāng)a=-3,b=3時,
f′(x)=3(x-1)2在x=1兩側(cè)的符號相同,
所以a=-3,b=3不符合題意,舍去.
綜上可知a=4,b=-11,∴a+b=-7.
答案 -7
易錯點6 函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系理解不準(zhǔn)確
例7 函數(shù)f(x)=ax3-x2+x-5在R上是增函數(shù),則a的取值范圍是________.
錯因分析 誤認(rèn)為f′(x)>0恒成立是f(x)在R上是增函數(shù)的必要條件,漏掉f′(x)=0的情況.
解析 f(x)=ax3-x2+x-5的導(dǎo)數(shù)f′(x)=3ax2-2x+1,
由f′(x)≥0,得解得a≥.
答案 a≥
易錯點7 計算定積分忽視細(xì)節(jié)
例8 ?dx等于( )
A.-2ln 2 B.2ln 2 C.-ln 2 D.ln 2
錯題分析 本題易出現(xiàn)的問題主要有兩個方面:一是混淆求原函數(shù)和求導(dǎo)數(shù)的運算,誤認(rèn)為原函數(shù)為y=()′而找不到答案;二是記錯公式,把積分的上、下限顛倒導(dǎo)致計算失誤,而錯選C.
解析 因為(ln x)′=,所以y=的一個原函數(shù)是y=ln x,
故?dx=ln x|=ln 4-ln 2=ln 2,故選D.
答案 D
1.(xx北京)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù)的是( )
A.y= B.y=(x-1)2
C.y=2-x D.y=log0.5(x+1)
2.(xx山東)函數(shù)f(x)=的定義域為( )
A. B.(2,+∞)
C.∪(2,+∞) D.∪[2,+∞)
3.下列各式中錯誤的是( )
A.0.83>0.73 B.log0.50.4>log0.50.6
C.0.75-0.1<0.750.1 D.lg 1.6>lg 1.4
4.a(chǎn)是f(x)=2x-logx的零點,若0<x0<a,則f(x0)的值滿足( )
A.f(x0)=0 B.f(x0)<0
C.f(x0)>0 D.f(x0)的符號不確定
5.(xx天津)函數(shù)f(x)=log(x2-4)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.(2,+∞) D.(-∞,-2)
6.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示,那么函數(shù)f(x)的圖象最有可能的是( )
7.(xx福建)已知函數(shù)f(x)=則下列結(jié)論正確的是( )
A.f(x)是偶函數(shù) B.f(x)是增函數(shù)
C.f(x)是周期函數(shù) D.f(x)的值域為[-1,+∞)
8.若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),在(-∞,0]上是減函數(shù),且f(2)=0,則使得f(x)<0的x的取值范圍是________.
9.已知函數(shù)f(x)=且關(guān)于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一個實根,則實數(shù)a的取值范圍是________.
10.(xx江蘇)已知函數(shù)f(x)=x2+mx-1,若對于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,則實數(shù)m的取值范圍是________.
11.已知函數(shù)f(x)=x2+(x≠0,a∈R).
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)若f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
12.已知函數(shù)f(x)=ln(ax)(a≠0,a∈R),g(x)=.
(1)當(dāng)a=1時,記φ(x)=f(x)-,求函數(shù)φ(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)≥g(x)(x≥1)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
學(xué)生用書答案精析
2.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
要點回扣
[問題1] (-1,1)∪(1,+∞)
[問題2] 1-x2(x∈[-1,1])
[問題3]?。?
[問題4] 奇
解析 由得定義域為(-1,0)∪(0,1),
f(x)==.
∴f(-x)=-f(x),f(x)為奇函數(shù).
[問題5] (-∞,0),(0,+∞)
[問題6] D [由題意可知f(0)=0,即lg(2+a)=0,
解得a=-1,
故f(x)=lg ,函數(shù)f(x)的定義域是(-1,1),
在此定義域內(nèi)f(x)=lg =lg(1+x)-lg(1-x),
函數(shù)y1=lg(1+x)是增函數(shù),函數(shù)y2=lg(1-x)是減函數(shù),故f(x)=y(tǒng)1-y2是增函數(shù).選D.]
[問題7]
解析 方法一 ∵x≥0,∴2x≥1,∴≥1,
解得≤y<1.∴其值域為y∈.
方法二 y=1-,∵x≥0,
∴0<≤,∴y∈.
[問題8] (-1,2)
[問題9]?。?
[問題10]
[問題11] [0,1),[2,+∞)
解析 ∵y=
作圖可知正確答案為[0,1),[2,+∞).
[問題12] 1
[問題13] B [f(x)=(x-2)(x-1)g(x)+3x-4,
∴f(1)=0+31-4=-1<0,f(2)=23-4=2>0.
又函數(shù)y=g(x)的圖象是一條連續(xù)曲線,
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點.
因此方程f(x)=0在(1,2)內(nèi)必有實數(shù)根.]
[問題14]?。?e-2x
[問題15] a≥
解析 f(x)=ax3-2x2+x-1的導(dǎo)數(shù)
f′(x)=3ax2-4x+1.
由f′(x)≥0,得
解得a≥.a=時,f′(x)=(2x-1)2≥0,
且只有x=時,f′(x)=0,
∴a=符合題意.
[問題16] x=1
[問題17]
解析 ?(x2+sin x)dx==.
查缺補(bǔ)漏
1.A [A項,函數(shù)y=在[-1,+∞)上為增函數(shù),所以函數(shù)在(0,+∞)上為增函數(shù),故正確;B項,函數(shù)y=(x-1)2在(-∞,1)上為減函數(shù),在[1,+∞)上為增函數(shù),故錯誤;C項,函數(shù)y=2-x=()x在R上為減函數(shù),故錯誤;D項,函數(shù)y=log0.5(x+1)在(-1,+∞)上為減函數(shù),故錯誤.]
2.C [由題意知
解得x>2或01時,兩個函數(shù)圖象的交點只有一個.所以實數(shù)a的取值范圍是(1,+∞).
10.(-,0)
解析 作出二次函數(shù)f(x)的圖象,對于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0,則有
即解得-0且x≠1,所以φ′(x)>0.
故函數(shù)φ(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(1,+∞).
(2)因為ln(ax)≥對x≥1恒成立,
所以ln a+ln x≥,
即ln a≥1--ln x對x≥1恒成立.
令h(x)=1--ln x,則h′(x)=-,因為x≥1,故h′(x)≤0.所以h(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞減,
由ln a≥h(x)max=h(1)=0,解得a≥1.
故實數(shù)a的取值范圍為[1,+∞).
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