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2019-2020年高考數(shù)學異構異模復習第十章圓錐曲線與方程課時撬分練10.3拋物線及其性質理 1.[xx衡水二中周測]若拋物線y2＝2px上一點P(2，y0)到其準線的距離為4，則拋物線的標準方程為(　　) A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝10x 答案　C 解析　∵拋物線y2＝2px，∴準線為x＝－.∵點P(2，y0)到其準線的距離為4，∴＝4，∴p＝4. ∴拋物線的標準方程為y2＝8x，故選C. 2．[xx棗強中學仿真]已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的焦距是實軸長的2倍．若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為(　　) A．x2＝y(tǒng) B．x2＝y(tǒng) C．x2＝8y D．x2＝16y 答案　D 解析　∵2c＝4a，∴c＝2a，又a2＋b2＝c2，∴b＝a，∴漸近線y＝x，又∵拋物線C2的焦點， ∴d＝＝2，∴p＝8，∴拋物線C2的方程為x2＝16y. 3. [xx衡水二中月考]如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線l于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為(　　) A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x 答案　C 解析　如圖，分別過A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由拋物線的定義知，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， ∵|BC|＝2|BF|， ∴|BC|＝2|BB1|， ∴∠BCB1＝30， ∴∠AFx＝60.連接A1F，則△AA1F為等邊三角形，過F作FF1⊥AA1于F1，則F1為AA1的中點，設l交x軸于K，則|KF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，即p＝，∴拋物線方程為y2＝3x，故選C. 4. [xx武邑中學熱身]已知點M(－3,2)是坐標平面內一定點，若拋物線y2＝2x的焦點為F，點Q是該拋物線上的一動點，則|MQ|－|QF|的最小值是(　　) A. B．3 C. D．2 答案　C 解析　拋物線的準線方程為x＝－，當MQ∥x軸時，|MQ|－|QF|取得最小值，此時|QM|－|QF|＝3－＝，選C. 5．[xx衡水二中熱身]已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點O，并且經(jīng)過點M(2，y0)．若點M到該拋物線焦點的距離為3，則|OM|＝(　　) A．2 B．2 C．4 D．2 答案　B 解析　設拋物線方程為y2＝2px(p>0)，則焦點坐標為，準線方程為x＝－， ∵M在拋物線上，∴M到焦點的距離等于到準線的距離， ∴ ＝2＋＝3. 解得：p＝2，y0＝2. ∴點M(2，2)，根據(jù)兩點距離公式有： ∴|OM|＝ ＝2. 6. [xx武邑中學期末]已知拋物線方程為y2＝4x，直線l的方程為x－y＋4＝0，在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，則d1＋d2的最小值為(　　) A.＋2 B.＋1 C.－2 D.－1 答案　D 解析　因為拋物線的方程為y2＝4x，所以焦點為F(1,0)，準線方程為x＝－1，因為點P到y(tǒng)軸的距離為d1，所以到準線的距離為d1＋1，又d1＋1＝|PF|，所以d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝|PF|＋d2－1，焦點F到直線l的距離d＝＝＝，而|PF|＋d2≥d＝，所以d1＋d2＝|PF|＋d2－1≥－1，選D. 7．[xx衡水二中預測]已知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點且斜率為－1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的橫坐標為3，則該拋物線的準線方程為(　　) A．x＝1 B．x＝2 C．x＝－1 D．x＝－2 答案　C 解析　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝－，與拋物線方程聯(lián)立得，，消去y整理得：x2－3px＋＝0，可得x1＋x2＝3p.根據(jù)中點坐標公式，有＝3，p＝2，因此拋物線的準線方程為x＝－1. 8．[xx棗強中學月考]過拋物線y2＝2px(p>0)焦點F的直線l與拋物線交于B、C兩點，l與拋物線的準線交于點A，且|AF|＝6，＝2，則|BC|＝(　　) A. B．6 C. D．8 答案　A 解析　不妨設直線l的傾斜角為θ，其中0<θ<，點B(x1，y1)、C(x2，y2)，則點B在x軸的上方．過點B作該拋物線的準線的垂線，垂足為B1，于是有|BF|＝|BB1|＝3，＝，由此得p＝2，拋物線方程是y2＝4x，焦點F(1,0)，cosθ＝＝＝，sinθ＝＝，tanθ＝＝2，直線l：y＝2(x－1)．由得8(x－1)2＝4x，即2x2－5x＋2＝0，x1＋x2＝，|BC|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，選A. 9．[xx衡水二中猜題]已知P為拋物線y2＝4x上一個動點，Q為圓x2＋(y－4)2＝1上一個動點，那么點P到點Q的距離與點P到拋物線準線的距離之和的最小值是________． 答案　－1 解析　由題意知，圓x2＋(y－4)2＝1的圓心為C(0,4)，半徑為1，拋物線的焦點為F(1,0)．根據(jù)拋物線的定義，點P到點Q的距離與點P到拋物線準線的距離之和即點P到點Q的距離與點P到拋物線焦點的距離之和，因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝－1. 10．[xx衡水二中一輪檢測]已知圓C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，拋物線y2＝8x的準線為l，設拋物線上任意一點P到直線l的距離為m，則m＋|PC|的最小值為________． 答案　 解析　由題意得圓C的方程為(x＋3)2＋(y＋4)2＝4，圓心C坐標為(－3，－4)．由拋物線定義知，當m＋|PC|最小時，為圓心與拋物線焦點間的距離，即(m＋|PC|)min＝＝. 11．[xx冀州中學周測]已知直線l與拋物線y2＝8x交于A、B兩點，且l經(jīng)過拋物線的焦點F，A點的坐標為(8,8)，則線段AB的中點到準線的距離是________． 答案　 解析　由y2＝8x知2p＝8， ∴p＝4，則點F的坐標為(2,0)． 由題設可知，直線l的斜率存在，設l的方程為y＝k(x－2)，點A，B的坐標分別為(xA，yA)，(xB，yB)． 又點A(8,8)在直線上，∴8＝k(8－2)，解得k＝. ∴直線l的方程為y＝(x－2)．① 將①代入y2＝8x，整理得2x2－17x＋8＝0，則xA＋xB＝，∴線段AB的中點到準線的距離是＋＝＋2＝. 12．[xx冀州中學熱身]已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦點為F，準線為l，A為C上一點，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點． (1)若∠BFD＝90，△ABD的面積為4，求p的值及圓F的方程； (2)若A，B，F(xiàn)三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個公共點，求坐標原點到m，n距離的比值． 解　(1)由題意易知B，D兩點關于y軸對稱，所以|FB|＝|FD|.故△BFD為等腰直角三角形． 設BD交y軸于點E，則|BE|＝|DE|＝|EF|＝p.所以|BD|＝2p.故圓F的半徑|FA|＝|FB|＝p.由拋物線定義可知A到l的距離d＝|FA|＝p. 因為△ABD的面積為4，所以|BD|d＝4，即2pp＝4，得p＝－2(舍去)或p＝2.所以F(0,1)．故圓F的方程為x2＋(y－1)2＝8. (2)因為A，B，F(xiàn)三點在同一直線m上，所以AB為圓F的直徑，∠ADB＝90. 由拋物線定義知|AD|＝|FA|＝|AB|，所以∠ABD＝30，m的斜率為或－. 當m的斜率為時，由已知可設n：y＝x＋b，代入x2＝2py得x2－px－2pb＝0. 由于n與C只有一個公共點，故Δ＝p2＋8pb＝0，解得b＝－. 因為m的截距b1＝，＝3， 所以坐標原點到m，n距離的比值為3. 當m的斜率為－時，由圖形對稱性可知，坐標原點到m，n距離的比值為3.