2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章10.2 古典概型與幾何概型教案 理 北師大版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章10.2 古典概型與幾何概型教案 理 北師大版 考綱要求 1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式. 2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率. 3.了解隨機(jī)數(shù)的意義,能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率. 4.了解幾何概型的意義. 知識(shí)梳理 1.基本事件有如下特點(diǎn): (1)任何兩個(gè)基本事件是______的; (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成____________. 2.古典概型 一般地,一次試驗(yàn)有下面兩個(gè)特征: (1)有限性,即在一次試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個(gè),即只有有限個(gè)不同的基本事件; (2)等可能性,每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是相等的,稱具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型為古典概型. 判斷一個(gè)試驗(yàn)是否是古典概型,在于該試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征:試驗(yàn)結(jié)果的有限性和每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的等可能性. 3.古典概型的概率公式 如果一次試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè),而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等,那么每一個(gè)基本事件的概率都是______;如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè),那么事件A的概率P(A)=______. 4.幾何概型 向平面上有限區(qū)域(集合)G內(nèi)隨機(jī)地投擲點(diǎn)M,若點(diǎn)M落在子區(qū)域G1G的概率與G1的________成正比,而與G的形狀、位置無關(guān),即P(點(diǎn)M落在G1)=____________, 則稱這種模型為幾何概型. 幾何概型中的G也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域,相應(yīng)的概率是________之比或________之比. 5.幾何概型的特點(diǎn) 一是__________,即在一次試驗(yàn)中,基本事件的個(gè)數(shù)是無限的; 二是________,即每一個(gè)事件發(fā)生的可能性是均等的. 6.幾何概型的試驗(yàn)中,事件A的概率P(A)只與子區(qū)域A的幾何度量(長(zhǎng)度、面積或體積)成正比,而與A的位置和形狀無關(guān). 求試驗(yàn)中幾何概型的概率,關(guān)鍵是求得事件所占區(qū)域和整個(gè)區(qū)域Ω的幾何度量,然后代入公式即可求解. 7.用隨機(jī)數(shù)估計(jì)事件發(fā)生的概率:利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生一些滿足一定條件的數(shù),其中每一個(gè)數(shù)產(chǎn)生的機(jī)會(huì)是一樣的,通過模擬一些試驗(yàn),可以替代我們進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn),從而估計(jì)得到事件的概率. 基礎(chǔ)自測(cè) 1.有100張卡片(從1號(hào)到100號(hào)),從中任取1張,取到卡號(hào)是7的倍數(shù)的概率為( ). A. B. C. D. 2.從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a,從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b,則b>a的概率是( ). A. B. C. D. 3.一根木棒長(zhǎng)5米,從任意位置砍斷,則截得兩條木棒都大于2米的概率為( ). A. B. C. D. 4.有一杯1 L的水,其中含有1個(gè)細(xì)菌,用一個(gè)小杯從這杯水中取出0.1 L水,則小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率為( ). A.0 B.0.1 C.0.01 D.1 5.四邊形ABCD為長(zhǎng)方形,AB=2,BC=1,O為AB的中點(diǎn),在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為( ). A. B.1- C. D.1- 6.盒子中共有大小相同的3個(gè)白球,1個(gè)黑球,若從中隨機(jī)摸出兩個(gè)球,則它們顏色不同的概率是__________. 思維拓展 1.是不是所有的試驗(yàn)都是古典概型? 提示:不是.在一次試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè),并且每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是均等的,這樣的試驗(yàn)才是古典概型. 2.怎樣理解古典概型中每個(gè)基本事件的等可能性? 提示:就是試驗(yàn)的每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是均等的.例如先后拋擲兩枚均勻的硬幣,共出現(xiàn)“正、正”,“正、反”,“反、正”,“反、反”這四種等可能的結(jié)果.如果認(rèn)為只有“兩個(gè)正面”,“兩個(gè)反面”、“一正一反”這三種結(jié)果,那么顯然這三種結(jié)果不是等可能的. 3.幾何概型與古典概型有何區(qū)別與聯(lián)系? 提示:幾何概型與古典概型的區(qū)別在于它的試驗(yàn)結(jié)果不是有限個(gè),其特點(diǎn)是它的試驗(yàn)結(jié)果在一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻分布,所以幾何概型的概率的大小與該事件所在區(qū)域的形狀和位置無關(guān),只與該區(qū)域的大小有關(guān).利用幾何概型的概率公式P(A)=,求概率的思路與古典概型的概率求解思路一樣,都屬于“比例解法”. 一、古典概型及其概率計(jì)算 【例1】袋中有大小相同的5個(gè)白球,3個(gè)黑球和3個(gè)紅球,每球有一個(gè)區(qū)別于其他球的編號(hào),從中摸出一個(gè)球. (1)有多少種不同的摸法?如果把每個(gè)球的編號(hào)看作一個(gè)基本事件建立概率模型,該模型是不是古典概型? (2)若按球的顏色為劃分基本事件的依據(jù),有多少個(gè)基本事件?以這些基本事件建立概率模型,該模型是不是古典概型? 方法提煉1.判斷一個(gè)概率問題是否為古典概型,關(guān)鍵是看它是否同時(shí)滿足兩個(gè)特征:有限性和等可能性,同時(shí)滿足這兩個(gè)特征的概率模型才是古典概型. 2.求古典概型的概率時(shí),一般是先用列舉法把試驗(yàn)所包含的基本事件一一列舉出來,然后再找出所求事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù),利用公式P(A)=即可求得事件A的概率. 請(qǐng)做[針對(duì)訓(xùn)練]1 二、古典概型的應(yīng)用 【例2-1】甲、乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2,紅桃3,紅桃4,方片4)玩游戲,他們將撲克牌洗勻后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一張. (1)設(shè)(i,j)分別表示甲、乙抽到的牌的數(shù)字,寫出甲、乙二人抽到的牌的所有情況; (2)若甲抽到紅桃3,則乙抽出的牌的牌面數(shù)字比3大的概率是多少? (3)甲、乙約定:若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大,則甲勝,反之,則乙勝,你認(rèn)為此游戲是否公平,說明你的理由. 【例2-2】設(shè)平面向量am=(m,1),bn=(2,n),其中m,n∈{1,2,3,4}. (1)請(qǐng)列出有序數(shù)組(m,n)的所有可能結(jié)果; (2)記“使得am⊥(am-bn)成立的(m,n)”為事件A,求事件A發(fā)生的概率. 方法提煉列舉法可以使我們明確基本事件的構(gòu)成情況,該法適用于基本事件的個(gè)數(shù)較少的情況.列舉時(shí)要按規(guī)律分類列舉,以避免重復(fù)或遺漏的情況出現(xiàn). 請(qǐng)做[針對(duì)訓(xùn)練]2 三、幾何概型及其應(yīng)用 【例3-1】在鑄鐵過程中,經(jīng)常出現(xiàn)鑄件里面混入氣泡的情況,但是如果在加工過程中氣泡不暴露在表面,對(duì)產(chǎn)品就不會(huì)造成影響,否則產(chǎn)品就會(huì)不合格.在一個(gè)棱長(zhǎng)為4 cm的正方體鑄件中不小心混入一個(gè)半徑為0.1 cm的球形氣泡,在加工這個(gè)鑄件的過程中,如果將鑄件去掉0.5 cm的厚度后產(chǎn)品外皮沒有麻眼(即沒有露出氣泡),產(chǎn)品就合格,問產(chǎn)品合格的概率是多少? 【例3-2】已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2(a-2)x-b2+16=0. (1)若a,b是一枚骰子先后投擲兩次所得到的點(diǎn)數(shù),求方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根的概率; (2)若a∈[2,6],b∈[0,4],求一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根的概率. 方法提煉1.幾何概型的特征:一是基本事件的無窮性,二是基本事件的等可能性.常見的幾何概型問題有:與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型,與面積有關(guān)的幾何概型,與體積有關(guān)的幾何概型. 2.解決幾何概型問題的一般步驟: (1)明確取點(diǎn)的區(qū)域Ω;(2)確定所求概率的事件中的點(diǎn)的區(qū)域A;(3)計(jì)算區(qū)域Ω和區(qū)域A的幾何度量μΩ和μA;(4)計(jì)算所求問題的概率P(A)=. 請(qǐng)做[針對(duì)訓(xùn)練]3 考情分析 從近三年的高考試題來看,古典概型與幾何概型是高考中經(jīng)??疾榈膬?nèi)容.其中,古典概型還是考查概率知識(shí)的重點(diǎn).題型可以涉及選擇題、填空題和解答題等多種形式,題目難度以中低檔為主. 針對(duì)訓(xùn)練 1.已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù): 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 據(jù)此估計(jì),該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為( ). A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15 2.(xx陜西高考,理10)甲乙兩人一起去游“xx西安世園會(huì)”,他們約定,各自獨(dú)立地從1到6號(hào)景點(diǎn)中任選4個(gè)進(jìn)行游覽,每個(gè)景點(diǎn)參觀1小時(shí),則最后一小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的概率是( ). A. B. C. D. 3.(xx福建高考,理4)如圖,矩形ABCD中,點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn).若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于( ). A. B. C. D. 4.設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0. (1)若a是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率. (2)若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個(gè)數(shù),b是從區(qū)間[0,2]任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率. 參考答案 基礎(chǔ)梳理自測(cè) 知識(shí)梳理 1.(1)互斥 (2)基本事件的和 3. 4.面積 體積 長(zhǎng)度 5.無限性 等可能性 基礎(chǔ)自測(cè) 1.A 解析:有100張卡片(從1號(hào)到100號(hào)),從中任取1張,有100種取法,而卡號(hào)是7的倍數(shù)的有14種,所以概率為. 2.D 解析:基本事件共有53=15種,其中滿足b>a的有b=2,a=1;b=3,a=1;b=3,a=2,共3種,所以b>a的概率為=. 3.A 解析:滿足條件的砍斷點(diǎn)應(yīng)落在2<x<3的位置上,即1米長(zhǎng)的線段上,故所求事件的概率為. 4.B 解析:小杯水含有這個(gè)細(xì)菌的概率為P==0.1. 5.B 解析:如圖,要使圖中的點(diǎn)到O的距離大于1,則該點(diǎn)需取在圖中陰影部分,故概率為P==1-. 6. 解析:基本事件總數(shù)為6種情況,其中顏色不同的共有3種情況,所以所求概率為P==. 考點(diǎn)探究突破 【例1】解:(1)由于共有11個(gè)球,且每個(gè)球有不同的編號(hào),故共有11種不同的摸法.又因?yàn)樗星虼笮∠嗤?,因此每個(gè)球被摸中的可能性相等,故以球的編號(hào)為基本事件的概率模型為古典概型. (2)由于11個(gè)球共有3種顏色,因此共有3個(gè)基本事件,分別記為A:“摸到白球”,B:“摸到黑球”,C:“摸到紅球”,又因?yàn)樗星虼笮∠嗤?,所以一次摸球每個(gè)球被摸中的可能性均為,而白球有5個(gè),故一次摸球摸中白球的可能性為,同理可知摸中黑球、紅球的可能性均為,顯然這三個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性不相等,所以以顏色為劃分基本事件的依據(jù)的概率模型不是古典概型. 【例2-1】解:(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情況(方片4用4′表示,紅桃2,紅桃3,紅桃4分別用2,3,4表示)為:(2,3),(2,4),(2,4′),(3,2),(3,4),(3,4′),(4,2),(4,3),(4,4′),(4′,2),(4′,3),(4′,4)共12種不同情況. (2)甲抽到3,乙抽到的牌只能是2或4或4′,因此乙抽到的牌的數(shù)字大于3的概率為. (3)由甲抽到的牌比乙大的有(3,2),(4,2),(4,3),(4′,2),(4′,3)5種,甲勝的概率為P1=,乙勝的概率為P2=, ∵<,∴此游戲不公平. 【例2-2】解:(1)有序數(shù)組(m,n)的所有可能結(jié)果為: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16個(gè). (2)由am⊥(am-bn)得m2-2m+1-n=0, 即n=(m-1)2.由于m,n∈{1,2,3,4},故事件A包含的基本事件為(2,1)和(3,4),共2個(gè).又基本事件的總數(shù)為16,故所求的概率為P(A)==. 【例3-1】解:記產(chǎn)品合格為事件A,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域是棱長(zhǎng)為4 cm的正方體.由條件可以發(fā)現(xiàn)要使產(chǎn)品合格,球心距離正方體表面要大于0.6 cm,所以球心必須在正方體內(nèi)的一個(gè)棱長(zhǎng)為2.8 cm的正方體內(nèi)部才符合題意,所以構(gòu)成事件A的區(qū)域是棱長(zhǎng)為2.8 cm的正方體,這樣產(chǎn)品合格的概率P(A)==0.343. 【例3-2】解:(1)基本事件(a,b)共有36個(gè),且a,b∈{1,2,3,4,5,6},方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根等價(jià)于a-2>0,16-b2>0,△≥0,即a>2,-4<b<4,(a-2)2+b2≥16. 設(shè)“一元二次方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根”為事件A,則事件A所包含的基本事件數(shù)為(6,1),(6,2),(6,3),(5,3)共4個(gè),故所求的概率為P(A)==. (2) 試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4},其面積為S(Ω)=16. 設(shè)“一元二次方程無實(shí)數(shù)根”為事件B,則構(gòu)成事件B的區(qū)域?yàn)锽={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4,(a-2)2+b2<16},其面積為S(B)=π42=4π, 故所求的概率為P(B)==. 演練鞏固提升 針對(duì)訓(xùn)練 1.B 解析:由題意可知,在20組隨機(jī)數(shù)中表示三次投籃恰有兩次命中的隨機(jī)數(shù)為191,271,932,812,393,共5組隨機(jī)數(shù),故所求概率為=0.25. 2.D 解析:∵甲、乙參觀每一個(gè)景點(diǎn)是隨機(jī)且獨(dú)立的,∴在最后一個(gè)小時(shí)參觀哪一個(gè)景點(diǎn)是等可能的, ∴甲有6種可能性,乙也有6種可能性,基本事件空間總數(shù)n=36,事件“二人同在一個(gè)景點(diǎn)參觀”的基本事件數(shù)m=6,由古典概型概率公式得P==. 3.C 解析:由題意知,該題考查幾何概型,故P===. 4.解:設(shè)事件A為“方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根”. 當(dāng)a≥0,b≥0時(shí),方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根的充要條件為a≥b. (1)基本事件共有12個(gè): (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2). 其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值,第二個(gè)數(shù)表示b的取值.事件A中包含9個(gè)基本事件,事件A發(fā)生的概率為 P(A)==. (2)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)? {(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}. 構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}. 所以所求的概率為 P(A)==.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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