2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章10.5 離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布教案 理 北師大版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章10.5 離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布教案 理 北師大版 考綱要求 1.理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念,能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差,并能解決一些實際問題. 2.利用實際問題的直方圖,了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義. 知識梳理 1.離散型隨機變量的均值與方差 若離散型隨機變量X的分布列為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值: 稱EX=________為隨機變量X的均值或______,它反映了離散型隨機變量取值的______. (2)方差: 稱DX=______為隨機變量X的方差,它刻畫了隨機變量X與其均值EX的______,其算術(shù)平方根為隨機變量X的______. 2.均值與方差的性質(zhì) (1)E(aX+b)=______; (2)D(aX+b)=______(a,b為實數(shù)). 3.兩點分布和二項分布的均值和方差 若隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布,則EX=____,DX=____. 若隨機變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布,即X~B(n,p),則EX=____,DX=______. 若隨機變量 X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布,則EX=______,DX=______. 4.正態(tài)分布 (1)正態(tài)曲線:如果連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為φμ,σ(x)=,x∈(-∞,+∞),其中μ,σ為參數(shù),則稱φμ,σ(x)的圖像為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線. (2)正態(tài)分布:一般地,如果對于任何實數(shù)a,b(a<b),隨機變量X滿足P(a<X≤b)=φμ,σ(x)dx,則稱隨機變量X服從正態(tài)分布,用X~N(μ,σ2)表示. (3)正態(tài)分布的性質(zhì):①曲線位于____軸的上方,與x軸不相交;②曲線是單峰的,關(guān)于______對稱;③曲線在X=μ時達到峰值______;④當μ一定時,曲線的形狀由σ確定.σ越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越______;σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越______;⑤曲線與x軸之間的面積為____. 基礎(chǔ)自測 1.已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3,σ2),則P(ξ<3)=( ). A. B. C. D. 2.某市進行一次高三教學(xué)質(zhì)量抽樣檢測,考試后統(tǒng)計的所有考生的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布.已知數(shù)學(xué)成績平均分為90分,60分以下的人數(shù)占10%,則數(shù)學(xué)成績在90分至120分之間的考生人數(shù)所占百分比約為( ). A.10% B.20% C.30% D.40% 3.隨機變量X的分布列如下: X -1 0 1 P a b c 其中a,b,c成等差數(shù)列,若EX=,則DX的值是__________. 4.某運動員投籃命中率p=0.6. (1)求一次投籃時命中次數(shù)ξ的均值; (2)求重復(fù)5次投籃時,命中次數(shù)η的均值. 思維拓展 1.離散型隨機變量的均值與分布列有什么區(qū)別? 提示:雖然離散型隨機變量的分布列和均值都是從整體上刻畫隨機變量的,但二者有所不同.分布列只給了隨機變量取所有可能值的概率,而均值卻反映了隨機變量取值的平均水平. 2.樣本的方差與隨機變量的方差有何不同? 提示:樣本的方差是隨著樣本的不同而變化的,因此它是一個隨機變量;而隨機變量的方差是通過大量試驗得出的,刻畫了隨機變量X與其均值EX的平均偏離程度,因此它是一個常量而非變量. 3.方差、標準差的單位與隨機變量的單位有什么關(guān)系? 提示:方差的單位是隨機變量單位的平方;標準差與隨機變量本身有相同的單位. 4.參數(shù)μ,σ在正態(tài)分布中的實際意義是什么? 提示:參數(shù)μ是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù),可以用樣本的均值去估計;σ是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù),可以用樣本的標準差去估計. 一、離散型隨機變量的均值 【例1-1】已知隨機變量X的分布列為: X -2 -1 0 1 2 P m (1)求EX;(2)若Y=2X-3,求EY. 【例1-2】在10件產(chǎn)品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品.從這10件產(chǎn)品中任取3件,求取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 方法提煉1.求數(shù)學(xué)期望(均值)的關(guān)鍵是求出其分布列.若已知離散型分布列,可直接套用公式EX=x1p1+x2p2+…+xnpn求其均值.隨機變量的均值是一個常數(shù),它不依賴于樣本的抽取,只要找準隨機變量及相應(yīng)的概率即可計算. 2.若X是隨機變量,且Y=aX+b,其中a,b為常數(shù),則Y也是隨機變量且EY=aEX+b. 請做[針對訓(xùn)練]2 二、離散型隨機變量的方差 【例2-1】袋中有20個大小相同的球,其中標號為0號的有10個,標號為n號的有n個(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球,X表示所取球的標號. (1)求X的分布列、期望和方差; (2)若η=aX+b,Eη=1,Dη=11,試求a,b的值. 【例2-2】有甲、乙兩種品牌的手表,它們?nèi)兆邥r誤差分別為X,Y(單位:s),其分布列如下: X -1 0 1 P 0.1 0.8 0.1 Y -2 -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 試比較這兩種品牌手表的質(zhì)量. 方法提煉均值僅體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平.如果兩個隨機變量的均值相等,還要看隨機變量的取值如何在均值周圍的變化,方差大,說明隨機變量取值較分散;方差小,說明取值較集中. 請做[針對訓(xùn)練]3 三、二項分布的均值與方差 【例3-1】某人投彈命中目標的概率p=0.8. (1)求投彈一次,命中次數(shù)X的均值和方差; (2)求重復(fù)10次投彈時命中次數(shù)Y的均值和方差. 【例3-2】為防止風(fēng)沙危害,某地決定建設(shè)防護綠化帶,種植楊樹、沙柳等植物.某人一次種植了n株沙柳,各株沙柳成活與否是相互獨立的,成活率為p,設(shè)ξ為成活沙柳的株數(shù),數(shù)學(xué)期望Eξ=3,標準差為. (1)求n,p的值并寫出ξ的分布列; (2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,則需要補種,求需要補種沙柳的概率. 方法提煉1.若X服從兩點分布,則EX=p,DX=p(1-p); 2.若X~B(n,p),則EX=np,DX=np(1-p). 請做[針對訓(xùn)練]4 四、正態(tài)分布及其應(yīng)用 【例4-1】已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,則P(ξ≤0)=( ). A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84 【例4-2】已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)φi(x)=(x∈R,i=1,2,3)的圖像如圖所示,則( ). A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3 B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3 C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3 D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3 方法提煉1.若連續(xù)型隨機變量ξ服從正態(tài)分布,即ξ~N(μ,σ2),則Eξ=μ,Dξ=σ2,這兒μ,σ的意義是期望和標準差.μ在正態(tài)分布曲線中確定曲線的位置,而σ確定曲線的形狀.如果給出兩條正態(tài)分布曲線,我們可以根據(jù)正態(tài)分布曲線的位置和形狀判別相應(yīng)的μ和σ的大小關(guān)系. 2.正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對稱,從而在關(guān)于x=μ對稱的區(qū)間上概率相等.正態(tài)曲線與x軸之間面積為1. 請做[針對訓(xùn)練]1 考情分析 離散型隨機變量的分布列、期望與方差是高考數(shù)學(xué)中的熱點、重點內(nèi)容之一,題型以解答題為主,有時也以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),難度適中.確定離散型隨機變量的取值,找準其適用的概率模型,求出隨機變量的分布列是正確求得其期望與方差的關(guān)鍵. 對正態(tài)分布曲線的性質(zhì)考查最多的是其對稱性,即正態(tài)分布曲線關(guān)于x=μ對稱,也可以推廣到P(ξ<μ-μ0)=P(ξ>μ+μ0). 針對訓(xùn)練 1.設(shè)兩個正態(tài)分布N(μ1,σ)(σ1>0)和N(μ2,σ)(σ2>0)的密度函數(shù)圖像如圖所示,則有( ). A.μ1<μ2,σ1<σ2 B.μ1<μ2,σ1>σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2 2.(xx上海高考,理9)馬老師從課本上抄錄一個隨機變量ξ的概率分布列如下表: x 1 2 3 P(ξ=x) ? ! ? 請小牛同學(xué)計算ξ的數(shù)學(xué)期望,盡管“!”處無法完全看清,且兩個“?”處字跡模糊,但能肯定這兩個“?”處的數(shù)值相同.據(jù)此,小牛給出了正確答案Eξ=______. 3.袋中有同樣的5個球,其中3個紅球,2個黃球,現(xiàn)從中隨機且不放回地摸球,每次摸1個,當兩種顏色的球都被摸到時,即停止摸球,記隨機變量ξ為此時已摸球的次數(shù),求:(1)隨機變量ξ的概率分布; (2)隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望與方差. 4.在一次數(shù)學(xué)考試中,第21題和第22題為選做題.規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題.設(shè)4名考生選做每一道題的概率均為. (1)求其中甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的概率; (2)設(shè)這4名考生中選做第22題的學(xué)生個數(shù)為ξ,求ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望. 參考答案 基礎(chǔ)梳理自測 知識梳理 1.(1)x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 數(shù)學(xué)期望 平均水平 (2) 平均偏離程度 標準差 2.(1)aEX+b (2)a2DX 3.p p(1-p) np np(1-p) n 4.(3)x x=μ 集中 分散 1 基礎(chǔ)自測 1.D 解析:ξ服從正態(tài)分布N(3,σ2),曲線關(guān)于x=3對稱,P(ξ<3)=. 2.D 解析:由題意可知,120分以上的人數(shù)也占10%,故90分至120分之間的考生人數(shù)所占百分比約為=40%. 3. 解析:∵a,b,c成等差數(shù)列, ∴2b=a+c,又∵a+b+c=1, EX=-1a+1c=c-a=. 所以a=,b=,c=,∴DX=++=. 4.解:(1)投籃一次,命中次數(shù)ξ的分布列為 ξ 0 1 P 0.4 0.6 則Eξ=p=0.6. (2)由題意,重復(fù)5次投籃,命中的次數(shù)η服從二項分布,即η~B(5,0.6).則Eη=np=50.6=3. 考點探究突破 【例1-1】解:(1)由離散型隨機變量分布列的性質(zhì),得+++m+=1,解得m=, ∴EX=(-2)+(-1)+0+1+2=-. (2)方法一:由公式E(aX+b)=aEX+b,得EY=E(2X-3)=2EX-3=2-3=-. 方法二:由于Y=2X-3,所以Y的分布列如下: Y -7 -5 -3 -1 1 P ∴EY=(-7)+(-5)+(-3)+(-1)+1=-. 【例1-2】解:從10件產(chǎn)品中任取3件共有C種結(jié)果.從10件產(chǎn)品中任取3件,其中恰有k件一等品的結(jié)果數(shù)為,其中k=0,1,2,3. ∴P(X=k)=,k=0,1,2,3. ∴隨機變量X的分布列是 X 0 1 2 3 P ∴EX=0+1+2+3=. 【例2-1】解:(1)X的分布列是 X 0 1 2 3 4 P ∴EX=0+1+2+3+4=1.5, DX=(0-1.5)2+(1-1.5)2+(2-1.5)2+(3-1.5)2+(4-1.5)2=2.75. (2)由Dη=a2DX,得a22.75=11,即a=2.又Eη=aEX+b, 當a=2時,由1=21.5+b,得b=-2; 當a=-2時,由1=-21.5+b,得b=4. ∴或 【例2-2】解:EX=-10.1+00.8+10.1=0(s), EY=-20.1-10.2+00.4+10.2+20.1=0(s), 則EX=EY,所以由期望值難以判斷質(zhì)量的好壞. 又因為DX=(-1-0)20.1+(0-0)20.8+(1-0)20.1=0.2(s2), DY=(-2-0)20.1+(-1-0)20.2+(0-0)20.4+(1-0)20.2+(2-0)20.1=1.2(s2). 所以DX<DY,可見乙的波動性大,甲的穩(wěn)定性好,故甲的質(zhì)量高于乙. 【例3-1】解:(1)隨機變量X的分布列為 X 0 1 P 0.2 0.8 因為X服從兩點分布,故EX=p=0.8,DX=p(1-p)=0.80.2=0.16. (2)由題意知,命中次數(shù)Y服從二項分布,即Y~B(10,0.8), 所以EY=np=100.8=8,DY=100.80.2=1.6. 【例3-2】解:(1)由E(ξ)=np=3,D(ξ)=np(1-p)=,得1-p=,從而n=6,p=. ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 5 6 P (2)記“需要補種沙柳”為事件A,則P(A)=P(ξ≤3),得 P(A)==,或P(A)=1-P(ξ>3)=1-=. 【例4-1】A 解析:由正態(tài)分布的特征得P(ξ≤0)=1-P(ξ≤4)=1-0.84=0.16. 【例4-2】D 解析:μ是曲線的對稱軸.σ越小,曲線越瘦高;σ越大,曲線越矮胖. 演練鞏固提升 1.A 解析:正態(tài)分布曲線關(guān)于直線x=μ對稱,它是在x=μ處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線;σ越大,曲線越“矮胖”;反過來,σ越小,曲線越“瘦高”. 2.2 解析:設(shè)P(ξ=1)=P(ξ=3)=a,P(ξ=2)=b,則2a+b=1. 于是,E(ξ)=a+2b+3a=2(2a+b)=2. 3.解:(1)隨機變量ξ可取的值為2,3,4, P(ξ=2)==; P(ξ=3)==; P(ξ=4)==, 所以隨機變量ξ的概率分布列為 x 2 3 4 P(ξ=x) (2)隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=2+3+4=; 隨機變量ξ的方差Dξ=(2-2.5)2+(3-2.5)2+(4-2.5)2=. 4.解:(1)設(shè)事件A表示“甲選做第21題”,事件B表示“乙選做第21題”,則甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的事件為“AB+”,且事件A、B相互獨立. ∴P(AB+)=P(A)P(B)+P()P()=+=. (2)隨機變量ξ的可能取值為0,1,2,3,4,且ξ~B. ∴P(ξ=k)=(k=0,1,2,3,4). ∴變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 P Eξ=0+1+2+3+4=2.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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