2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程二教案 北師大選修1-1.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程二教案 北師大選修1-1
教學(xué)過程:
一、復(fù)習(xí)引入:
1.1997年初,中國(guó)科學(xué)院紫金山天文臺(tái)發(fā)布了一條消息,從1997年2月中旬起,海爾波普彗星將逐漸接近地球,過4月以后,又將漸漸離去,并預(yù)測(cè)3000年后,它還將光臨地球上空 1997年2月至3月間,許多人目睹了這一天文現(xiàn)象天文學(xué)家是如何計(jì)算出彗星出現(xiàn)的準(zhǔn)確時(shí)間呢?原來,海爾波普彗星運(yùn)行的軌道是一個(gè)橢圓,通過觀察它運(yùn)行中的一些有關(guān)數(shù)據(jù),可以推算出它的運(yùn)行軌道的方程,從而算出它運(yùn)行周期及軌道的的周長(zhǎng)
(說明橢圓在天文學(xué)和實(shí)際生產(chǎn)生活實(shí)踐中的廣泛應(yīng)用,指出研究橢圓的重要性和必要性,從而導(dǎo)入本節(jié)課的主題)
2.復(fù)習(xí)求軌跡方程的基本步驟:
3.手工操作演示橢圓的形成:取一條定長(zhǎng)的細(xì)繩,把它的兩端固定在
畫圖板上的兩點(diǎn),當(dāng)繩長(zhǎng)大于兩點(diǎn)間的距離時(shí),用鉛筆把繩子拉
近,使筆尖在圖板上慢慢移動(dòng),就可以畫出一個(gè)橢圓
分析:(1)軌跡上的點(diǎn)是怎么來的?
(2)在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,什么是不變的?
答:兩個(gè)定點(diǎn),繩長(zhǎng)
即不論運(yùn)動(dòng)到何處,繩長(zhǎng)不變(即軌跡上與兩個(gè)定點(diǎn)距離之和不變)
二、講解新課:
1 橢圓定義:
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓,這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距
注意:橢圓定義中容易遺漏的兩處地方:
(1)兩個(gè)定點(diǎn)---兩點(diǎn)間距離確定
(2)繩長(zhǎng)--軌跡上任意點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和確定
思考:在同樣的繩長(zhǎng)下,兩定點(diǎn)間距離較長(zhǎng),則所畫出的橢圓較扁(線段)
在同樣的繩長(zhǎng)下,兩定點(diǎn)間距離較短,則所畫出的橢圓較圓(圓)
由此,橢圓的形狀與兩定點(diǎn)間距離、繩長(zhǎng)有關(guān)(為下一節(jié)學(xué)習(xí)離心率概念作鋪墊)
2.根據(jù)定義推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程:
取過焦點(diǎn)的直線為軸,線段的垂直平分線為軸
設(shè)為橢圓上的任意一點(diǎn),橢圓的焦距是().
則,又設(shè)M與距離之和等于()(常數(shù))
,
,
化簡(jiǎn),得 ,
由定義,
令代入,得 ,
兩邊同除得
此即為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在軸上,焦點(diǎn)是,中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓方程 其中
注意若坐標(biāo)系的選取不同,可得到橢圓的不同的方程
如果橢圓的焦點(diǎn)在軸上(選取方式不同,調(diào)換軸)焦點(diǎn)則變成,只要將方程中的調(diào)換,即可得
,也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
理解:所謂橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,一定指的是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn);在與這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程中,都有的要求,如方程就不能肯定焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上;分清兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程,可與直線截距式類比,如中,由于,所以在軸上的“截距”更大,因而焦點(diǎn)在軸上(即看分母的大小)
三、講解范例:
例1 寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:
⑴兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-4,0)、(4,0),橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離
之和等于10;
⑵兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,-2)和(0,2)且過(,)
解:(1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為
所以所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為
2 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為
由橢圓的定義知,
+
又
所以所求標(biāo)準(zhǔn)方程為
另法:∵
∴可設(shè)所求方程,后將點(diǎn)(,)的坐標(biāo)代入可求出,從而求出橢圓方程
點(diǎn)評(píng):題(1)根據(jù)定義求 若將焦點(diǎn)改為(0,-4)、(0,4)其結(jié)果如何;
題(2)由學(xué)生的思考與練習(xí),總結(jié)有兩種求法:其一由定義求出a與b長(zhǎng),根據(jù)條件寫出方程;其二是由已知焦距,求出長(zhǎng)軸與短軸的關(guān)系,設(shè)出橢圓方程,由點(diǎn)在橢圓上的條件,用待定系數(shù)的辦法得出方程
四、課堂練習(xí):
1 橢圓上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5,則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為( )
A.5 B.6 C.4 D.10
2.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是( )
A.(5,0) B.(0,5) C.(0,12) D.(12,0)
3.已知橢圓的方程為,焦點(diǎn)在軸上,則其焦距為( )
A.2 B.2
C.2 D.
4.,焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
5.方程表示橢圓,則的取值范圍是( )
A. B.∈Z)
C. D. ∈Z)
參考答案:
1.A2.C3.A4. 5. B
五、小結(jié) :本節(jié)課學(xué)習(xí)了橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程,應(yīng)注意以下幾點(diǎn):
①橢圓的定義中, ;
②橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,焦點(diǎn)的位置看,的分母大小來確定;
③、、的幾何意義
六、板書設(shè)計(jì)(略)
七、課后記:
寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(口答)
(1) a=4,b=3,焦點(diǎn)在x軸;(2)a=5,c=2,焦點(diǎn)在y軸上.(答案:;)
(2) 已知三角形ΔABC的一邊長(zhǎng)為6,周長(zhǎng)為16,求頂點(diǎn)A的軌跡方程
解:以BC邊為x軸,BC線段的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系,則A點(diǎn)的軌跡是橢圓,其方程為:
若以BC邊為y軸,BC線段的中垂線為x軸建立直角坐標(biāo)系,則A點(diǎn)的軌跡是橢圓,
其方程為: