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2019-2020年高中數(shù)學 2.1.1 橢圓及其標準方程二教案 北師大選修1-1 教學過程： 一、復習引入： 1．1997年初，中國科學院紫金山天文臺發(fā)布了一條消息，從1997年2月中旬起,海爾波普彗星將逐漸接近地球，過4月以后,又將漸漸離去,并預測3000年后,它還將光臨地球上空 1997年2月至3月間,許多人目睹了這一天文現(xiàn)象天文學家是如何計算出彗星出現(xiàn)的準確時間呢？原來，海爾波普彗星運行的軌道是一個橢圓，通過觀察它運行中的一些有關數(shù)據(jù)，可以推算出它的運行軌道的方程，從而算出它運行周期及軌道的的周長 （說明橢圓在天文學和實際生產(chǎn)生活實踐中的廣泛應用，指出研究橢圓的重要性和必要性，從而導入本節(jié)課的主題） 2.復習求軌跡方程的基本步驟： 3．手工操作演示橢圓的形成：取一條定長的細繩，把它的兩端固定在 畫圖板上的兩點，當繩長大于兩點間的距離時，用鉛筆把繩子拉 近，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓 分析：（1）軌跡上的點是怎么來的？ （2）在這個運動過程中，什么是不變的？ 答：兩個定點，繩長 即不論運動到何處，繩長不變（即軌跡上與兩個定點距離之和不變） 二、講解新課： 1 橢圓定義： 平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫作橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距 注意:橢圓定義中容易遺漏的兩處地方： （1）兩個定點---兩點間距離確定 （2）繩長--軌跡上任意點到兩定點距離和確定 思考：在同樣的繩長下，兩定點間距離較長，則所畫出的橢圓較扁（線段） 在同樣的繩長下，兩定點間距離較短，則所畫出的橢圓較圓（圓） 由此，橢圓的形狀與兩定點間距離、繩長有關(為下一節(jié)學習離心率概念作鋪墊) 2.根據(jù)定義推導橢圓標準方程： 取過焦點的直線為軸，線段的垂直平分線為軸 設為橢圓上的任意一點，橢圓的焦距是（）. 則，又設M與距離之和等于()（常數(shù)） ， ， 化簡，得 ， 由定義, 令代入，得 ， 兩邊同除得 此即為橢圓的標準方程 它所表示的橢圓的焦點在軸上，焦點是，中心在坐標原點的橢圓方程 其中 注意若坐標系的選取不同，可得到橢圓的不同的方程 如果橢圓的焦點在軸上（選取方式不同，調(diào)換軸）焦點則變成,只要將方程中的調(diào)換，即可得 ，也是橢圓的標準方程 理解：所謂橢圓標準方程，一定指的是焦點在坐標軸上，且兩焦點的中點為坐標原點；在與這兩個標準方程中，都有的要求，如方程就不能肯定焦點在哪個軸上；分清兩種形式的標準方程，可與直線截距式類比，如中，由于，所以在軸上的“截距”更大，因而焦點在軸上(即看分母的大小) 三、講解范例： 例1 寫出適合下列條件的橢圓的標準方程： ⑴兩個焦點坐標分別是(-4,0)、（4，0），橢圓上一點P到兩焦點的距離 之和等于10； ⑵兩個焦點坐標分別是（0，－2）和（0,2）且過（,） 解：（1）因為橢圓的焦點在軸上，所以設它的標準方程為 　　　　 所以所求橢圓標準方程為 2 因為橢圓的焦點在軸上，所以設它的標準方程為 由橢圓的定義知， ＋ 　 　又 所以所求標準方程為 另法：∵ ∴可設所求方程，后將點（,）的坐標代入可求出，從而求出橢圓方程 點評：題（１）根據(jù)定義求 若將焦點改為(0,-4)、（0，4）其結(jié)果如何； 題（２）由學生的思考與練習，總結(jié)有兩種求法：其一由定義求出a與b長，根據(jù)條件寫出方程；其二是由已知焦距，求出長軸與短軸的關系，設出橢圓方程，由點在橢圓上的條件，用待定系數(shù)的辦法得出方程 四、課堂練習： 1 橢圓上一點P到一個焦點的距離為5，則P到另一個焦點的距離為（ ） A.5 B.6 C.4 D.10 2.橢圓的焦點坐標是（ ） A.(5，0) B.(0，5) C.(0，12) D.(12，0) 3.已知橢圓的方程為，焦點在軸上，則其焦距為（ ） A.2 B.2 C.2 D. 4.,焦點在y軸上的橢圓的標準方程是 5.方程表示橢圓，則的取值范圍是（ ） Ａ. Ｂ.∈Ｚ）  Ｃ. Ｄ. ∈Ｚ） 參考答案： 1.A2.C3.A4. 5. Ｂ 五、小結(jié) ：本節(jié)課學習了橢圓的定義及標準方程,應注意以下幾點: ①橢圓的定義中, ； ②橢圓的標準方程中,焦點的位置看,的分母大小來確定； ③、、的幾何意義 六、板書設計（略） 七、課后記： 寫出適合下列條件的橢圓的標準方程:(口答) (1) a=4,b=3,焦點在x軸；(2)a=5,c=2,焦點在y軸上.（答案：；） (2) 已知三角形ΔABC的一邊長為6,周長為16,求頂點A的軌跡方程 解：以BC邊為x軸，BC線段的中垂線為y軸建立直角坐標系，則A點的軌跡是橢圓，其方程為： 若以BC邊為y軸，BC線段的中垂線為x軸建立直角坐標系，則A點的軌跡是橢圓， 其方程為：