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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3 圓的方程 2.3.2 圓的一般方程課堂探究 新人教B版必修2 探究一 二元二次方程表示圓的條件 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的兩種判斷方法： (1)(配方法)對形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通過配方變形成“標(biāo)準(zhǔn)”形式后，觀察是否表示圓； (2)(運(yùn)用圓的一般方程的判斷方法求解)即通過判斷D2＋E2－4F是否為正，確定它是否表示圓． 【典型例題1】 若關(guān)于x，y的方程x2＋mxy＋y2＋2x－y＋n＝0表示的曲線是圓，則m＋n的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：因為x2＋mxy＋y2＋2x－y＋n＝0表示圓， 所以 解得n＜，所以m＋n＜. 答案：A 探究二 用待定系數(shù)法求圓的方程 1．用待定系數(shù)法求圓的方程的大致步驟如下： 2．對圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的選擇： (1)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑來列方程的問題，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r. (2)如果已知條件和圓心或半徑都無直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再利用待定系數(shù)法求出常數(shù)D，E，F(xiàn). 【典型例題2】 (1)已知A(－1,1)，B(6,0)，C(－1,7)，則△ABC的外接圓的方程是__________． 解析：設(shè)圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，解方程組得D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0，從而圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0. 答案：x2＋y2－6x－8y＝0 (2)求圓心在y＝－x上且過兩點(diǎn)(2,0)，(0，－4)的圓的一般方程，并把它化成標(biāo)準(zhǔn)方程． 解： 探究三 與圓有關(guān)的軌跡問題 圓是一個雙重對稱圖形，與圓有關(guān)的軌跡問題可結(jié)合圓的有關(guān)性質(zhì)解決，解決的方法可以是直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)代入法等． (1)直接法：根據(jù)題設(shè)，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出動點(diǎn)坐標(biāo)，并找出動點(diǎn)所滿足的關(guān)系式； (2)定義法：當(dāng)所列出的關(guān)系式符合圓的定義時，可利用定義寫出點(diǎn)的軌跡方程； (3)相關(guān)點(diǎn)代入法：若動點(diǎn)P(x，y)因為圓上的另一動點(diǎn)Q(x1，y1)而運(yùn)動，且x1，y1可用x，y表示，則將Q點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知圓的方程，求得動點(diǎn)的軌跡方程． 【典型例題3】 已知一曲線是與兩定點(diǎn)(0,0)和(3,0)距離之比為m(m>0)的點(diǎn)的軌跡，求此曲線方程，并說明是什么曲線． 思路分析：設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，將題設(shè)條件等式用方程給出，化簡方程為最簡形式即可． 解：設(shè)所求曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x，y)， 由題意得，＝m， 即(m2－1)x2＋(m2－1)y2－6m2x＋9m2＝0. 當(dāng)m＝1時，x＝，其軌跡為兩點(diǎn)的中垂線； 當(dāng)m≠1時，方程可化為2＋y2＝2，其軌跡是以為圓心，以為半徑的圓． 點(diǎn)評 求軌跡方程與軌跡是不同的，求軌跡方程時只需要求出方程，求軌跡時，不僅要求出軌跡方程，還要指出方程表示的圖形，如果方程中含有參數(shù)要分類討論，如有不符合條件的點(diǎn)要舍去． 【典型例題4】 已知點(diǎn)P在圓C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上運(yùn)動，求線段OP的中點(diǎn)M的軌跡方程． 解法一：設(shè)點(diǎn)M(x，y)，點(diǎn)P(x0，y0)， 則所以 因為點(diǎn)P(x0，y0)在圓C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上， 所以x20＋y20－8x0－6y0＋21＝0. 所以(2x)2＋(2y)2－8(2x)－6(2y)＋21＝0. 即點(diǎn)M的軌跡方程為x2＋y2－4x－3y＋＝0. 解法二：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，連接OC，PC，取線段OC的中點(diǎn)A，連接MA. 圓C的方程可化為(x－4)2＋(y－3)2＝4，圓心C(4,3)，|CP|＝2，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為. 如圖所示，在△OCP中，M，A分別是OP，OC的中點(diǎn)， 則|MA|＝|CP|，即|MA|＝1. 又當(dāng)O，C，P三點(diǎn)共線時，|MA|＝1. 所以點(diǎn)M的軌跡是以A為圓心，1為半徑的圓． 所以點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2＋2＝1. 探究四 求圓關(guān)于點(diǎn)(線)對稱的圓 1．求圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2關(guān)于點(diǎn)P(x0，y0)對稱的圓的方程，首先要找出圓心C(a，b)關(guān)于點(diǎn)P(x0，y0)的對稱點(diǎn)，得到對稱圓的圓心，半徑不變，即得所求圓的方程． 2．求圓關(guān)于直線mx＋ny＋p＝0對稱的圓的方程，只需求出圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)即可． 【典型例題5】 試求圓C：x2＋y2－x＋2y＝0關(guān)于直線l：x－y＋1＝0對稱的曲線C′的方程． 思路分析：對稱圓的圓心坐標(biāo)變化、半徑不變，另外可利用相關(guān)點(diǎn)法來求． 解法一：設(shè)P′(x，y)為所求曲線C′上任意一點(diǎn)，P′關(guān)于l的對稱點(diǎn)為P(x0，y0)，則P(x0，y0)在圓C上． 由題意可得 解得 (*) 因為P(x0，y0)在圓C上， 所以x20＋y20－x0＋2y0＝0，將(*)代入， 得(y－1)2＋(x＋1)2－(y－1)＋2(x＋1)＝0. 化簡，得x2＋y2＋4x－3y＋5＝0， 即曲線C′的方程是x2＋y2＋4x－3y＋5＝0. 解法二：(特殊對稱) 圓C關(guān)于直線l的對稱圖形仍然是圓，且半徑不變，故只需求圓心C′， 圓心C關(guān)于直線l：x－y＋1＝0的對稱點(diǎn)為C′，因此所求圓C′的方程為(x＋2)2＋2＝.