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2019-2020年高中數(shù)學 4.1.2 函數(shù)的極值二教案 北師大選修1-1 教學過程： 一、創(chuàng)設情景，導入新課 1、通過上節(jié)課的學習，導數(shù)和函數(shù)單調性的關系是什么？（提問學生回答） 2、觀察下圖表示高臺跳水運動員的高度h隨時間t變化的函數(shù)=-4.9t2+6.5t+10的圖象，回答以下問題： （1）在點t=a附近的圖象有什么特點？ （2）函數(shù)在t=a處的函數(shù)值和附近函數(shù)值之間有什么關系？ （3）在點t=a附近的導數(shù)符號有什么變化規(guī)律？ （4）函數(shù)在t=a處的導數(shù)是多少？ 共同歸納: 函數(shù)h(t)在a點處h/(a)=0,在t=a的附近,當t＜a時,函數(shù)單調遞增, ＞0;當t＞a時,函數(shù)單調遞減, ＜0,即當t在a的附近從小到大經過a時, 先正后負,且連續(xù)變化,于是h/(a)=0. 3、觀察下列函數(shù)的圖像，回答問題。 單調遞減 單調遞增 b a o 問題同上（略）學生討論回答。 4、對于這一事例是這樣，對其他的連續(xù)函數(shù)是不是也有這種性質呢？ 二、函數(shù)極值概念的形成 1、極大值： 一般地，設函數(shù)f(x)在點a附近有定義，如果對a附近的所有的點，都有f(x)＜f(a)，且在點x=a附近的左側，右側就說f(a)是函數(shù)f(x)的一個極大值，記作y極大值=f(a)，a是極大值點 2、極小值：仿照極大值的定義讓學生自己寫出來。 3、極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值 注：概念講解完，在分析概念的時候分別從f(a)和他附近函數(shù)值的大小，以及x=a處的導數(shù)值和附近導數(shù)符號的正負加以分析。 三、強化概念、例題解析 （一）、給出圖象，找出圖中的極值點。（以幻燈片的形式給出圖像）通過觀察圖像得出結論 結論：（1）函數(shù)的極值不是唯一的； （2）極大值未必大于極小值； （3）區(qū)間的端點不能成為極值點 例1．（課本例4）求的極值 解： 因為，所以。 令，得 下面分兩種情況討論： （1）當>0,即，或時；（2）當<0,即時. 當x變化時， ，的變化情況如下表： —2 (-2,2) 2 + 0 － 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 因此， =； =。 函數(shù)的圖像如圖所示。 （二）、鞏固練習： 1．求下列函數(shù)的極值 （3）函數(shù)的極值點為x=0 解: ((1)略) （2）：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3) 令y′=0，解得x1=－3，x2=3. 當x變化時，y′，y的變化情況如下表. -3 (-3,3) 3 + 0 － 0 + ↗ 極大值54 ↘ 極小值-54 ↗ ∴當x=－3時，y有極大值，且y極大值=54. 當x=3時，y有極小值，且y極小值=－54 例2 設，在和處有極值，且=－1,求，，的值，并求出函數(shù)的極值。 解：，∵是函數(shù)的極值點，則－1,1是方程的根，即有?，又，則有，由上述三個方程可知，，，此時，函數(shù)的表達式為，∴，令，得，當變化時，，的變化情況表： -1 (-1,1) 1 + 0 － 0 + ↗ 極大值1 ↘ 極小值 －1 ↗ 由上表可知， ， （3）錯誤（通過圖象法或求極值的步驟去說明）結論：導數(shù)值為0的點是該點為極值點的必要不充分條件 2 總結求函數(shù)極值的方法（讓學生回答，然后教師總結，以幻燈片的形式給出） 3（補充習題） 下圖是導函數(shù) 的圖象, 試找出函數(shù)y=f(x)的極值點 ， 并指出哪些是極大值點, 哪些是極小值點. y O a x1 X4 x3 X24 x5 x6 b 四、歸納總結： 1．極值 （?。O值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是大或??；并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內最大或最小。 （ⅱ）函數(shù)的極值不是唯一的，即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個 （ⅲ）極大值與極小值之間無確定的大小關系。即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值。 2. 判別f(x0)是極大、極小值的方法: 3. 求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟: (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f′(x) (2)求方程f′(x)=0點（一階導數(shù)為0的x的值） (3)列表，并通過表格求出函數(shù)的極值。 五、課后作業(yè)：書本P32 4 . 5