2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.1.2 函數(shù)的極值二教案 北師大選修1-1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.1.2 函數(shù)的極值二教案 北師大選修1-1.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.1.2 函數(shù)的極值二教案 北師大選修1-1
教學(xué)過程:
一、創(chuàng)設(shè)情景,導(dǎo)入新課
1、通過上節(jié)課的學(xué)習(xí),導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是什么?(提問學(xué)生回答)
2、觀察下圖表示高臺跳水運(yùn)動員的高度h隨時(shí)間t變化的函數(shù)=-4.9t2+6.5t+10的圖象,回答以下問題:
(1)在點(diǎn)t=a附近的圖象有什么特點(diǎn)?
(2)函數(shù)在t=a處的函數(shù)值和附近函數(shù)值之間有什么關(guān)系?
(3)在點(diǎn)t=a附近的導(dǎo)數(shù)符號有什么變化規(guī)律?
(4)函數(shù)在t=a處的導(dǎo)數(shù)是多少?
共同歸納: 函數(shù)h(t)在a點(diǎn)處h/(a)=0,在t=a的附近,當(dāng)t<a時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增, >0;當(dāng)t>a時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減, <0,即當(dāng)t在a的附近從小到大經(jīng)過a時(shí), 先正后負(fù),且連續(xù)變化,于是h/(a)=0.
3、觀察下列函數(shù)的圖像,回答問題。
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增
b
a
o
問題同上(略)學(xué)生討論回答。
4、對于這一事例是這樣,對其他的連續(xù)函數(shù)是不是也有這種性質(zhì)呢?
二、函數(shù)極值概念的形成
1、極大值: 一般地,設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)a附近有定義,如果對a附近的所有的點(diǎn),都有f(x)<f(a),且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè),右側(cè)就說f(a)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值,記作y極大值=f(a),a是極大值點(diǎn)
2、極小值:仿照極大值的定義讓學(xué)生自己寫出來。
3、極大值與極小值統(tǒng)稱為極值
在定義中,取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn),極值點(diǎn)是自變量的值,極值指的是函數(shù)值
注:概念講解完,在分析概念的時(shí)候分別從f(a)和他附近函數(shù)值的大小,以及x=a處的導(dǎo)數(shù)值和附近導(dǎo)數(shù)符號的正負(fù)加以分析。
三、強(qiáng)化概念、例題解析
(一)、給出圖象,找出圖中的極值點(diǎn)。(以幻燈片的形式給出圖像)通過觀察圖像得出結(jié)論
結(jié)論:(1)函數(shù)的極值不是唯一的;
(2)極大值未必大于極小值;
(3)區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)
例1.(課本例4)求的極值
解: 因?yàn)椋浴?
令,得
下面分兩種情況討論:
(1)當(dāng)>0,即,或時(shí);(2)當(dāng)<0,即時(shí).
當(dāng)x變化時(shí), ,的變化情況如下表:
—2
(-2,2)
2
+
0
-
0
+
↗
極大值
↘
極小值
↗
因此, =;
=。
函數(shù)的圖像如圖所示。
(二)、鞏固練習(xí):
1.求下列函數(shù)的極值
(3)函數(shù)的極值點(diǎn)為x=0
解: ((1)略)
(2):y′=(x3-27x)′=3x2-27=3(x+3)(x-3)
令y′=0,解得x1=-3,x2=3.
當(dāng)x變化時(shí),y′,y的變化情況如下表.
-3
(-3,3)
3
+
0
-
0
+
↗
極大值54
↘
極小值-54
↗
∴當(dāng)x=-3時(shí),y有極大值,且y極大值=54.
當(dāng)x=3時(shí),y有極小值,且y極小值=-54
例2 設(shè),在和處有極值,且=-1,求,,的值,并求出函數(shù)的極值。
解:,∵是函數(shù)的極值點(diǎn),則-1,1是方程的根,即有?,又,則有,由上述三個(gè)方程可知,,,此時(shí),函數(shù)的表達(dá)式為,∴,令,得,當(dāng)變化時(shí),,的變化情況表:
-1
(-1,1)
1
+
0
-
0
+
↗
極大值1
↘
極小值
-1
↗
由上表可知, ,
(3)錯誤(通過圖象法或求極值的步驟去說明)結(jié)論:導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要不充分條件
2 總結(jié)求函數(shù)極值的方法(讓學(xué)生回答,然后教師總結(jié),以幻燈片的形式給出)
3(補(bǔ)充習(xí)題)
下圖是導(dǎo)函數(shù) 的圖象, 試找出函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn) , 并指出哪些是極大值點(diǎn), 哪些是極小值點(diǎn).
y
O
a
x1
X4
x3
X24
x5
x6
b
四、歸納總結(jié):
1.極值
(?。O值是一個(gè)局部概念由定義,極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是大或??;并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小。
(ⅱ)函數(shù)的極值不是唯一的,即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè)
(ⅲ)極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系。即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值。
2. 判別f(x0)是極大、極小值的方法:
3. 求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟:
(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間,求導(dǎo)數(shù)f′(x)
(2)求方程f′(x)=0點(diǎn)(一階導(dǎo)數(shù)為0的x的值)
(3)列表,并通過表格求出函數(shù)的極值。
五、課后作業(yè):書本P32 4 . 5