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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一課時 兩角和與差的余弦教案 蘇教版必修4 教學(xué)目標(biāo)： 掌握兩角和與差的余弦公式，能用公式進(jìn)行簡單的求值；培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì). 教學(xué)重點： 余弦的差角公式及簡單應(yīng)用 教學(xué)難點： 余弦的差角公式的推導(dǎo) 教學(xué)過程： Ⅰ.課題導(dǎo)入 在前面咱們共同學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)，在研究三角函數(shù)時，我們還常常會遇到這樣的問題：已知任意角α、β的三角函數(shù)值，如何求α＋β、α－β或2α的三角函數(shù)值?即：α＋β、α－β或2α的三角函數(shù)值與α、β的三角函數(shù)值有什么關(guān)系? Ⅱ.講授新課 接下來，我們繼續(xù)考慮如何把兩角差的余弦cos（α－β）用α、β的三角函數(shù)來表示的問題. 在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊分別作角α、β，其終邊分別與單位圓交于P1（cosα，sinα）、P2（cosβ，sinβ），則∠P1OP2＝α－β.由于余弦函數(shù)是周期為2π的偶函數(shù)，所以，我們只需考慮0≤α－β＜π的情況. 設(shè)向量a＝＝（cosα，sinα），b＝＝（cosβ，sinβ），則： ab＝︱a︱︱b︱cos （α－β）＝cos （α－β） 另一方面，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有 ab＝cosαcosβ＋sinαsinβ 所以：cos （α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ （C（α－β）） 兩角和的余弦公式對于任意的角α、β都是成立的，不妨，將此公式中的β用－β代替，看可得到什么新的結(jié)果? cos ［α－（－β）］ ＝cos αcos （－β）－sinαsin（－β） ＝cos αcos β－sinαsinβ 即：cos （α＋β）＝cos αcos β－sinαsinβ （C（α＋β）） 請同學(xué)們觀察這一關(guān)系式與兩角差的余弦公式，看這兩式有什么區(qū)別和聯(lián)系? (1)這一式子表示的是任意兩角α與β的差α－β的余弦與這兩角的三角函數(shù)的關(guān)系. (2)這兩式均表示的是兩角之和或差與這兩角的三角函數(shù)的關(guān)系. 請同學(xué)們仔細(xì)觀察它們各自的特點. (1)兩角之和的余弦等于這兩角余弦之積與其正弦之積的差. (2)兩角之差的余弦等于這兩角余弦之積與其正弦之積的和. 不難發(fā)現(xiàn)，利用這一式子也可求出一些與特殊角有關(guān)的非特殊角的余弦值. 如：求cos 15可化為求cos（45－30)或cos（60－45）利用這一式子而求得其值. 即：cos 15＝cos（45－30） ＝cos 45cos 30＋sin45sin30 ＝＋＝ 或：cos 15＝cos （60－45） ＝cos 60cos 45＋sin60sin45 ＝＋＝ 請同學(xué)們將此公式中的α用代替，看可得到什么新的結(jié)果? cos（－α）＝coscos α＋sinsinα＝sinα 即：cos（－α）＝sinα 再將此式中的α用－α代替，看可得到什么新的結(jié)果. cos［－（－α）］＝cosα＝sin（－α） 即：sin（－α）＝cosα Ⅲ.課堂練習(xí) 1.求下列三角函數(shù)值 ①cos （45＋30）②cos 105 解：①cos（45＋30）＝cos 45cos 30－sin45sin30 ＝－＝ ②cos 105＝cos （60＋45）＝cos 60cos 45－sin60sin45 ＝－＝ 2.若cos αcos β＝－，cos（α＋β）＝－1，求sinαsinβ. 解：由cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ 得：sinαsinβ＝cosαcosβ－cos（α＋β） 將cosαcosβ＝－，cos（α＋β）＝－1代入上式可得：sinαsinβ＝ 3.求cos 23cos 22－sin23sin22的值. 解：cos 23cos 22－sin23sin22＝cos（23＋22）＝cos 45＝ 4.若點P(－3，4)在角α終邊上，點Q（－1，－2）在角β的終邊上，求cos （α＋β）的值. 解：由點P（－3，4）為角α終邊上一點；點Q（－1，－2)為角β終邊上一點， 得：cos α＝－，sinα＝；cosβ＝－，sinβ＝－. ∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ ＝（－）（－）－（－）＝ 5.已知cos（α－β）＝，cos（α＋β）＝－，求：tanαtanβ的值. 解：由已知cos（α－β）＝，cos（α＋β）＝－ 可得：cos（α－β）＋cos（α＋β）＝－＝ 即：2cosαcosβ＝ ① cos（α－β）－cos（α＋β）＝1 即：2sinαsinβ＝1 ② 由②①得＝tanαtanβ＝ ∴tanαtanβ的值為. 6.已知cosα－cosβ＝，sinα－sinβ＝－，求：cos （α－β）的值. 解：由已知cosα－cosβ＝ 得：cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＝ ① 由sinα－sinβ＝－ 得：sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝ ② 由①＋②得：2－2（cosαcosβ＋sinαsinβ）＝ 即：2－2cos（α－β）＝ ∴cos（α－β）＝ Ⅳ.課時小結(jié) 兩公式的推導(dǎo)及應(yīng)用. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P96習(xí)題 1，2，3 兩角和與差的余弦 1．下列命題中的假命題是 （ ） A.存在這樣的α和β的值，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ B.不存在無窮多個α和β的值，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ C.對于任意的α和β，都有cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ D.不存在這樣的α和β值，使得cos（α＋β）≠cosαcosβ－sinαsinβ 2．在△ABC中，已知cos Acos B＞sinAsinΒ，則△ABＣ一定是鈍角三角形嗎？ 3．已知sinα＋sinβ＝，求cosα＋cosβ的最大值和最小值. 4．已知：α∈（，），β∈（0，），且cos（－α）＝，sin（＋β）＝－ 求：cos （α＋β）. 5．已知：α、β為銳角，且cosα＝，cos（α＋β）＝－，求cosβ的值. 6．在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，求cos C的值. 兩角和與差的余弦答案 1．B 2．在△ABC中，已知cos Acos B＞sinAsinΒ，則△ABＣ一定是鈍角三角形嗎？ 解：∵在△ABC中，∴0＜C＜π，且A＋B＋C＝π 即：A＋B＝π－C 由已知得cos Acos B－sinAsinB＞0，即：cos（A＋B）＞0 ∴cos（π－C）＝－cos C＞0，即cos C＜0 ∴C一定為鈍角 ∴△ABC一定為鈍角三角形. 3．已知sinα＋sinβ＝，求cosα＋cosβ的最大值和最小值. 分析：令cosα＋cosβ＝x，然后利用函數(shù)思想. 解：令cosα＋cosβ＝x，則得方程組： ①2＋②2得2＋2cos (α－β)＝x2＋ ∴cos (α－β)＝ ∵|cos (α－β)|≤1， ∴| |≤1 解之得：－≤x≤ ∴cosα＋cosβ的最大值是，最小值是－. 4．已知：α∈（，），β∈（0，），且cos（－α）＝，sin（＋β）＝－ 求：cos （α＋β）. 解：由已知：α∈（，） －α∈（－，－）－α∈（－，0） 又∵cos （－α）＝， ∴sin（－α）＝－ 由β∈（0，）＋β∈（，） 又∵sin（＋β）＝sin［π＋（＋β）］＝－sin（＋β）＝－ 即sin（＋β）＝， ∴cos（＋β）＝ 又（＋β）－（－α）＝α＋β ∴cos（α＋β）＝cos［（＋β）－（－α）］ ＝cos（＋β）cos（－α）＋sin（＋β）sin（－α） ＝＋（－）＝－ 5．已知：α、β為銳角，且cosα＝，cos（α＋β）＝－，求cosβ的值. 解：∵0＜αβ＜，∴0＜α＋β＜π 由cos （α＋β）＝－，得sin（α＋β）＝ 又∵cosα＝，∴sinα＝ ∴cosβ＝cos［（α＋β）－α］ ＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sinα ＝（－）＋＝ 評述：在解決三角函數(shù)的求值問題時，一定要注意已知角與所求角之間的關(guān)系. 6．在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，求cos C的值. 分析：本題中角的限制范圍就隱含在所給的數(shù)字中，輕易忽視，就會致錯. 解：由sinA＝＜知0＜A＜45或135＜A＜180， 又cos B＝＜，∴60＜B＜90，∴sinB＝ 若135＜A＜180則A＋B＞180不可能. ∴0＜A＜45，即cos A＝. ∴cos C＝－cos（A＋B）＝.