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2019-2020年高中數(shù)學 第九課時 三角函數(shù)的簡單應用教案 北師大版必修4 一、教學目標:1、知識目標：a通過對三角函數(shù)模型的簡單應用的學習，使學生初步學會由圖象求解析式的方法；b體驗實際問題抽象為三角函數(shù)模型問題的過程；c體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．2、能力目標：讓學生體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題的數(shù)學“建?！彼枷?從而培養(yǎng)學生的建模、分析問題、數(shù)形結合、抽象概括等能力．3、情感目標：讓學生切身感受數(shù)學建模的過程，體驗數(shù)學在解決實際問題中的價值和作用，從而激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)鍥而不舍的鉆研精神；培養(yǎng)學生勇于探索、勤于思考的精神。 二、教學重難點 教學重點：根據(jù)已知圖象求解析式；將實際問題抽象為三角函數(shù)模型。 教學難點：分析、整理、利用信息，從實際問題中抽取基本的數(shù)學關系來建立數(shù)學模型，并調動相關學科的知識來解決問題． 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 （一）、例題探析（學生邊做教師邊提示） 例1、一緝私艇發(fā)現(xiàn)在方位角45方向，距離12海里的海面上有一走私船正以10海里/小時的速度沿方位角為105方向逃竄，若緝私艇的速度為14海里/小時，緝私艇沿方位角45+α的方向追去，若要在最短的時間內追上該走私船，求追及所需時間和α角的正弦.（注：方位角是指正北方向按順時針方向旋轉形成的角）. 解：設緝私艇與走私船原來的位置分別為A、B，在C處兩船相遇，由條件知∠ABC=120，AB=12（海里）， 設t小時后追及，，由正弦定理得 由正弦定理得； 再由余弦定理得 但當，不合， . 例2、如圖，人眼在M處看一幅畫AB，AB=6米，OB=2米，問人應在何處，使視角∠AMB最大？ 解：設∠AMO=，∠BMO=，∠AMB==- ,OM=x (x>0) tan=,tan=,tan=tan(-)== 當且僅當x=，即x=4時，tan最大。因為正切函數(shù)在（0, ）上是增函數(shù)，所以當人距O點4米，∠AMB最大。 例3、水渠橫斷面為等腰梯形，渠深為h，梯形面積為S. 為了使渠道的滲水量達到最小， 并降低成本，應盡量減少水與水渠壁的接觸面. 問此時水渠壁的傾斜角α應是多少？ A B D C 例3、解：設，， ， 設記 ，等號成立時，； （注）也可以對u求導：得， 單調遞減，處左負右正， 時，u最小，從而y最小. 例4. 已知cosa - cos b = ，sina - sinb = ，求tan(a + b)的值 解：∵cosa - cos b = ，∴ ① sina - sin b =，∴ ② ∵ ∴ ∴ ∴ （二）課堂練習 1、下表是某城市1973-xx年月平均氣溫（華氏） 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平均氣溫 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 73.1 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 若用表示月份，表示平均氣溫，則下面四個函數(shù)模型中最合適的是（ ）答案：【C】 A、 B、 C、 D、 2、如圖3-5-1為一半徑為3的水輪，水輪圓心O距離 水面，已知水輪自點B開始1旋轉4圈，水輪上 的點P到水面距離與時間滿足函數(shù)關系 ，則有（ ） 答案：【 A】 A、， B、， C、， D、， 3、一條河寬1 km，相距4 km（直線距離）的兩座城市A與B分別位于河的兩岸（如下圖），現(xiàn)需鋪設一條電纜線連通A與B，已知底下電纜的修建費用為2萬元／km，水下電纜的修建費用為4萬元／km，假定河的兩岸是平行的直線，問應如何鋪設電纜可以使總的修建費用最少？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【答案：見后附】 （三）、課堂小結：1.三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學模型,可以用來研究很多問題,我們可以通過建立三角函數(shù)模型來解決實際問題,如天氣預報,地震預測,等等. 2.建立三角函數(shù)模型的一般步聚: 改造 抽象 概括 數(shù)學 方法 還原 說明 是否符合實際 修改 （四）、作業(yè)布置：1、如圖所示，足球比賽地寬為a m，球門寬b m在足球比賽中，甲方邊鋒從乙方球門附近過人沿直線（貼近球場邊線）向前推進．試問：該邊鋒在距乙方底線多遠時起腳射門的可命中角最大（圖中AB表示乙方所守球門，AB所在直線為乙方邊線，表示甲方邊鋒前進的直線）？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2、技能培養(yǎng) 物體沿斜坡由靜止下滑，物體下滑到坡底的水平距離為定值S，若不計摩擦阻力，求當斜坡傾斜角為何值時，物體到達坡底的時間最短？ 如圖甲所示，人（眼）在點C處看一幅畫AB，AB＝6 km，OB =2 m，問人應站在何處，使視角∠ACB最大？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 課外練習：3、拓展空間 （1）、傾角為45的山坡上某處有一風暴點，該風暴點到達山腳有兩條路，一條是筆直到達山腳的銷路，另一條是與小路夾角成45的直線公路，若某輛汽車的最大爬頗度數(shù)是35，問這輛汽車能否到達該風暴點？ （2）、平面上有兩個向量，今有動點P向（－１，2）開始沿著與向量相同的方向做勻速直線運動，速度為｜｜，另一動點Q從點（－2，－1）出發(fā)，沿與向量＋相同的方向做勻速直線運動，速度為｜?。?，設P，Q在時刻t = 0 s 時分別在處，求當時，t為多少？ 答案: 五、教學反思：