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2019-2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)案 考綱指要： “統(tǒng)計(jì)”是在初中“統(tǒng)計(jì)初步”基礎(chǔ)上的深化和擴(kuò)展，本講主要會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布，并會(huì)用樣本的特征來估計(jì)總體的分布。熱點(diǎn)問題是頻率分布直方圖和用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征。統(tǒng)計(jì)案例主要包括回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用和獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和初步應(yīng)用。 對(duì)概率考察的重點(diǎn)為互斥事件、古典概型的概率事件的計(jì)算為主，了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法（包括計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來進(jìn)行模擬）估計(jì)概率，初步體會(huì)幾何概型的意義。 考點(diǎn)掃描： 1．三種常用抽樣方法：(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；（2）系統(tǒng)抽樣；（3）分層抽樣。 2．用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征： （1）眾數(shù)、中位數(shù)；（2）平均數(shù)與方差。 3．頻率分布直方圖、折線圖與莖葉圖。 4．線性回歸：回歸直線方程。 5．統(tǒng)計(jì)案例：相關(guān)系數(shù)、卡方檢驗(yàn)， 6．隨機(jī)變量：隨機(jī)變量的概念，離散性隨機(jī)變量的分布列，相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式，隨機(jī)變量的均值和方差，幾種特殊的分布列：（1）兩點(diǎn)分布；（2）超幾何分布； （3）二項(xiàng)分布；正態(tài)分布。 7隨機(jī)事件的概念、概率；事件間的關(guān)系：（1）互斥事件；（2）對(duì)立事件；（3）包含； 事件間的運(yùn)算：（1）并事件（和事件）（2）交事件（積事件） 8古典概型：古典概型的兩大特點(diǎn)；古典概型的概率計(jì)算公式。 9幾何概型：幾何概型的概念；幾何概型的概率公式；幾種常見的幾何概型。 考題先知： 例1．為了科學(xué)地比較考試的成績(jī)，有些選拔性考試常常會(huì)將考試分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分，轉(zhuǎn)化關(guān)系式為：（其中x是某位學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)，是該次考試的平均分，s是該次 考試的標(biāo)準(zhǔn)差，Z稱為這位學(xué)生的標(biāo)準(zhǔn)分）.轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)分后可能出現(xiàn)小數(shù)和負(fù)值，因此， 又常常再將Z分?jǐn)?shù)作線性變換轉(zhuǎn)化成其他分?jǐn)?shù). 例如某次學(xué)業(yè)選拔考試采用的是T分?jǐn)?shù)，線性變換公式是：T=40Z+60. 已知在這次考試中某位考生的考試分?jǐn)?shù)是85，這次考試的平均分是70，標(biāo)準(zhǔn)差是25，則該考生的T分?jǐn)?shù)為 . 分析：正確理解題意，計(jì)算所求分?jǐn)?shù)。 解：。 點(diǎn)評(píng)：本題如改編為：已知在這次考試中某位考生的考試分?jǐn)?shù)是85，這次考試的平均分是70，標(biāo)準(zhǔn)差是25，而該考生的T分?jǐn)?shù)為84，求T分?jǐn)?shù)的線性變換公式。 例2．隨機(jī)拋擲一個(gè)骰子，求所得點(diǎn)數(shù)的數(shù)學(xué)期望。 1 2 3 4 5 6 P 解：拋骰子所得點(diǎn)數(shù)的概率分布為 ∴ 變式1 設(shè)n把外形完全相同的鑰匙，其中只有1把能打開大門，用它們?nèi)ピ囬_門上的鎖，若抽取鑰匙是相對(duì)獨(dú)立且等可能，每把鑰匙開后都不放回，試求開鎖次數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。 分析： 求時(shí)，由題意知前次沒有打開，恰好第次打開，取發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，再推廣到一般。的可能取值為 1 2 … k … n P … … ∴的分布列為 ∴ 由公式可算得方差 變式2 有一幢樓房共19層，現(xiàn)若選擇其中某一層作為會(huì)議室，開會(huì)時(shí)每層去1 人，則會(huì)議室設(shè)在第幾層時(shí)，可使每人所走過的路程最短（每層樓高度相同）？ 分析： 大部分的讀者拿到該題首先想到利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式建立路程與之間的關(guān)系，然后求最值，這是一種常規(guī)的思路。如果我們換一個(gè)角度思考：會(huì)議室設(shè)在哪一層是隨機(jī)的，而設(shè)在任一層樓的概率都為，這樣，與上面兩個(gè)問題完全相同，所以我們“希望”會(huì)議室所在的樓層即為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。由題意得會(huì)議室所在的樓層的分布列如下： 1 2 … 19 P … ∴ 于是，會(huì)議室設(shè)在第10層為所求。 為什么就是我們所求解問題的最小值呢？請(qǐng)看命題： 對(duì)于任何實(shí)數(shù)c，若 則。（是樣本方差，為樣本平均數(shù)，即） 證明： ∴當(dāng)時(shí)取得最小值。 而數(shù)學(xué)期望就是概率意義上的平均數(shù)，所以，利用離散隨機(jī)變量的分布列的數(shù)學(xué)期望可解決上述問題的最值問題。 若把19改為，則可進(jìn)一步引申出更為一般的結(jié)論：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，會(huì)議室應(yīng)設(shè)在層；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，會(huì)議可設(shè)在或?qū)又械娜魏我粚泳鶟M足題設(shè)要求。 變式3 數(shù)軸上有個(gè)定點(diǎn)，其中對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別為為數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)，坐標(biāo)為，求函數(shù)的最小值。 分析： 該題的常用解決法是利用數(shù)形結(jié)合分類討論。但我們也這樣思考：動(dòng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，落在哪個(gè)位置是隨機(jī)的，盡管問題是個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，但所求函數(shù)的最值仍可用上述方法求得。 P點(diǎn)停在處，的概率分布為 1 2 … n P … ∴ ∴當(dāng)為奇數(shù)，在點(diǎn)時(shí)，的值最??；當(dāng)為偶數(shù)，中任一點(diǎn)時(shí)，的值最小。 復(fù)習(xí)智略： 例3．甲有一個(gè)放有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、1個(gè)黃球的箱子，乙也有一個(gè)放有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、1個(gè)黃球的箱子，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色，規(guī)定同色時(shí)為甲勝，異色時(shí)為乙勝．這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？請(qǐng)說明理由。 解析: 由題意，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色共有＝36(種)不同情形，每種情形都是等可能的，記甲獲勝為事件A，則 ，所以甲獲勝的概率小于乙甲獲勝的概率，這個(gè)游戲規(guī)則不公平； 變化一:如果甲方偷偷的在自己的箱子里再放了若干個(gè)同色球，仍規(guī)定同色時(shí)為甲勝，異色時(shí)為乙勝，則他勝的概率能達(dá)到嗎？ 解析:不妨設(shè)甲在自己的箱子中又放了x個(gè)紅球，則他取勝的概率為，同理甲在自己的箱子中又放了x個(gè)白球或黃球時(shí)，也不能達(dá)到，所以他獲勝的概率仍不能達(dá)到，這個(gè)游戲規(guī)則不公平； 變化二: 如果甲方偷偷的在自己的箱子里再放了若干個(gè)任意球，仍規(guī)定同色時(shí)為甲勝，異色時(shí)為乙勝，則他勝的概率能達(dá)到嗎？ 解析:不妨設(shè)甲在自己的箱子中又放了x個(gè)紅球，、y個(gè)白球、z個(gè)黃球，則他取勝的概率為， 因?yàn)椋? 所以他獲勝的概率仍不能達(dá)到，這個(gè)游戲規(guī)則不公平； 變化三: 甲有一個(gè)放有a個(gè)紅球、b個(gè)白球、c個(gè)黃球的箱子，乙也有一個(gè)放有a個(gè)紅球、b個(gè)白球、c個(gè)黃球的箱子，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色，規(guī)定同色時(shí)為甲勝，異色時(shí)為乙勝．這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？ 解析: 由題意，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色共有 ＝(a+b+c)2 (種)不同情形，每種情形都是等可能的，記甲獲勝為事件A，則， 不妨設(shè) （１）當(dāng)時(shí)，則 所以甲獲勝的概率不能達(dá)到，這個(gè)游戲規(guī)則不公平； （2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則， ， 若，則，所以甲獲勝的概率恰為，這個(gè)游戲規(guī)則是公平的； 若，則，這個(gè)游戲規(guī)則也不公平； 若，則，這個(gè)游戲規(guī)則也不公平； 變化四: 甲有一個(gè)放有a個(gè)紅球、b個(gè)白球、c個(gè)黃球的箱子，乙有一個(gè)放有x個(gè)紅球、y個(gè)白球、z個(gè)黃球的箱子，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色，規(guī)定同色時(shí)為甲勝，異色時(shí)為乙勝．這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？ 解析:由題意，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色分別有和 (種)不同情形，每種情形都是等可能的，記甲獲勝為事件A，則， 當(dāng)時(shí), 這個(gè)游戲規(guī)則是公平的,否則,是不公平的. 變化五:在原問題中,如果甲可調(diào)整自己箱子中的球的顏色，但必須確保總球數(shù)仍為6個(gè)，由由甲能否達(dá)到游戲規(guī)則公平的目的? 解析：設(shè)甲將自己箱子中的球調(diào)整為x個(gè)紅球、y個(gè)白球、z個(gè)黃球,且x+y+z=6， y x O C(6,0) 則， 令，則x、y滿足約束條件，作出如圖可行域，由可知當(dāng)x=6、y=0時(shí)，u有最大值12，此時(shí)P（A）有最大值,所以甲能達(dá)到游戲規(guī)則公平的目的。 檢測(cè)評(píng)估： 1．對(duì)滿足A B的非空集合A、B有下列四個(gè)命題 ①若任取，則是必然事件；②若，則是不可能事件； ③若任取，則是隨機(jī)事件；④若，則是必然事件． 其中正確命題的個(gè)數(shù) （ ） A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 2． 在網(wǎng)絡(luò)游戲《變形》中，主人公每過一關(guān)都以的概率變形（即從“大象”變?yōu)椤袄鲜蟆被驈摹袄鲜蟆弊優(yōu)椤按笙蟆保?，若將主人公過n關(guān)不變形的概率計(jì)為Pn，則 A．P5>P4 B．P8P16 3. 已知隨機(jī)變量，若，則分別是 A. 6和2.4 B. 2和2.4 C. 2和5.6 D. 6和5.6 4.某公司甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150 個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷售點(diǎn)。公司為 了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為 ①；在丙地區(qū)中有20個(gè)特大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其收入和售后服務(wù)等情況，記 這項(xiàng)調(diào)查為②。則完成①、②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是 （ ） A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B．分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法 C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法 5.xx年春季，我國(guó)部分地區(qū)SARS流行，黨和政府采取果斷措施，防治結(jié)合，很快使病情得到控制，下表是某同學(xué)記載的5月1日至5月12日每天北京市SARS病患者治愈者數(shù)據(jù)，及根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪制出的散點(diǎn)圖: 日期 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 人數(shù) 100 109 115 118 121 134 日期 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 人數(shù) 141 152 168 175 186 203 下列說法： ①根據(jù)此散點(diǎn)圖，可以判斷日期與人數(shù)具有線性相關(guān)關(guān)系； ②若日期與人數(shù)具有線性相關(guān)關(guān)系，則相關(guān)系數(shù)r與臨界值r0.05應(yīng)滿足|r|> r0.05； ③根據(jù)此散點(diǎn)圖，可以判斷日期與人數(shù)具有一次函數(shù)關(guān)系，其中正確的個(gè)數(shù)為 ( ) A、0個(gè) B、1個(gè) C、2個(gè) D、3個(gè) 6．已知約束條件 的可行域?yàn)镈, 將一枚骰子連投兩次，設(shè)第一次得到的點(diǎn)數(shù) 為x，第二次得到的點(diǎn)數(shù)為y，則點(diǎn)(x, y)落在可行域D內(nèi)的概率為______________. 7.已知A箱內(nèi)有1個(gè)紅球和5個(gè)白球，B箱內(nèi)有3個(gè)白球，現(xiàn)隨意從A箱中取出3個(gè)球放入B箱，充分?jǐn)噭蚝笤購(gòu)闹须S意取出3個(gè)球放人4箱，共有_________種不同的取法，又紅球由A箱移人到B箱，再返回到A箱的概率等于___________. 8．兩個(gè)相互獨(dú)立事件和都不發(fā)生的概率為，發(fā)生不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相同，則事件發(fā)生的概率是 9．設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0 2，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作 若一周5個(gè)工作日里均無故障，可獲利潤(rùn)10萬(wàn)元；發(fā)生一次故障可獲利潤(rùn)5萬(wàn)元，只發(fā)生兩次故障可獲利潤(rùn)0萬(wàn)元，發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬(wàn)元。則一周內(nèi)期望利潤(rùn)是 。 10.若隨機(jī)事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為P（），用隨機(jī)變量表示A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則方差的最大值是 ，的最大值是 。 11.有一種密碼，明文是由三個(gè)字符組成，密碼是由明文對(duì)應(yīng)的五個(gè)數(shù)字組成，編碼規(guī)則如下表：明文由表中每一排取一個(gè)字符組成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，對(duì)應(yīng)的密碼由明文對(duì)應(yīng)的數(shù)字按相同的次序排成一組成. 第一排 明文字符 A B C D 密碼字符 11 12 13 14 第二排 明文字符 E F G H 密碼字符 21 22 23 24 第三排 明文字符 M N P Q 密碼字符 1 2 3 4 設(shè)隨機(jī)變量ξ表示密碼中不同數(shù)字的個(gè)數(shù). （Ⅰ）求P（ξ=2） （Ⅱ）求隨機(jī)變量ξ的分布列和它的數(shù)學(xué)期望. 12．有一個(gè)翻硬幣游戲，開始時(shí)硬幣正面朝上，然后擲骰子根據(jù)下列①、②、③的規(guī)則翻動(dòng)硬幣：① 骰子出現(xiàn)1點(diǎn)時(shí)，不翻動(dòng)硬幣；② 出現(xiàn)2，3，4，5點(diǎn)時(shí)，翻動(dòng)一下硬幣，使另一面朝上；③ 出現(xiàn)6點(diǎn)時(shí)，如果硬幣正面朝上，則不翻動(dòng)硬幣；否則，翻動(dòng)硬幣，使正面朝上. 按以上規(guī)則，在骰子擲了n次后，硬幣仍然正面朝上的概率記為Pn. （Ⅰ）求證：，點(diǎn)（Pn ，Pn+1）恒在過定點(diǎn)（，），斜率為的直線上； （Ⅱ）求數(shù)列{Pn}的通項(xiàng)公式Pn； （Ⅲ）用記號(hào)表示數(shù)列{}從第n項(xiàng)到第m項(xiàng)之和，那么對(duì)于任意給定的正整數(shù)k，求數(shù)列，，…，，… 的前n項(xiàng)和Tn. 點(diǎn)撥與全解： 1.解：因有空集與非空集兩種情形，所以，命題①錯(cuò)誤，故選B。 2.解:由題（， 即（，以n＋1代n，得， 所以（． 而，所以（）． 所以所以偶數(shù)項(xiàng)比它相鄰項(xiàng)大，所以答案為C． 3．根據(jù)正態(tài)分布知：選B 4.選B。 5．因說法①②正確，所以選C。 6．在可行域D中坐標(biāo)為正整數(shù)的點(diǎn)有（1，1），（1，2），所以所求概率為。 7.從A箱中取出3個(gè)球有=20種取法，再?gòu)腂箱中取出3個(gè)球有=20種取法，故共有2020=400種不同的取法. 紅球由A箱中取出的概率為，再?gòu)腂箱中取回紅球的概率為.則紅球由A箱移入到B箱，再返回到A箱的概率等于P(AB)=P(A)p(B)==0.25. 8．解：由條件得，解之得： 。 9 解 以X表示一周5天內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障的天數(shù)，則X－B(5，0.2)，于是X有概率分布P(X=k)=C0.2k0.85－k,k=0,1,2,3,4,5 以Y表示一周內(nèi)所獲利潤(rùn)，則 Y=g(X)= Y的概率分布為 P(Y=10)=P(X=0)=0.85=0.328 P(Y=5)=P(X=1)=C0.20.84=0.410 P(Y=0)=P(X=2)=C0.220.83=0.205 P(Y=－2)=P(X≥3)=1－P(X=0)－P(X=1)－P(X=2)=0.057 故一周內(nèi)的期望利潤(rùn)為 EY=100.328+50.410+00.205－20.057=5.216(萬(wàn)元) 10.解：，的最大值是； ，的最大值是。 11．解：（Ⅰ）密碼中不同數(shù)字的個(gè)數(shù)為2的事件為密碼中只有兩個(gè)數(shù)字，注意到密碼的第 1，2列分別總是1，2，即只能取表格第1，2列中的數(shù)字作為密碼. （Ⅱ）由題意可知，ξ的取值為2，3，4三種情形. 若ξ= 3，注意表格的第一排總含有數(shù)字1，第二排總含有數(shù)字2則密碼中只可能取數(shù)字1，2，3或1，2，4. 若 （或用求得）. 的分布列為： ξ 2 3 4 p 12．解：（Ⅰ）設(shè)把骰子擲了n+1次，硬幣仍然正面朝上的概率為Pn+1，此時(shí)有兩種情況： ① 第n次硬幣正面朝上，其概率為Pn，且第n+1次骰子出現(xiàn)1點(diǎn)或6點(diǎn)，硬幣不動(dòng)，其概率為；因此，此種情況下產(chǎn)生硬幣正面朝上的概率為. ② 第n次硬幣反面朝上，其概率為1-Pn，且第n+1次骰子出現(xiàn)2，3，4，5點(diǎn)或6點(diǎn)，其概率為； 因此，此種情況下產(chǎn)生硬幣正面朝上的概率為. ∴，變形得 . ∴點(diǎn)（Pn ，Pn+1）恒在過定點(diǎn)（，），斜率為的直線上. （Ⅱ），，又由（Ⅰ）知：， ∴{}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， ∴，故所求通項(xiàng)公式為. （Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知{}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，又 ∵（）是常數(shù)， ∴，，…，，…，也成等比數(shù)列， 且 從而 . 解法二：++…+ .