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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 10.1《分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理》備課資料 舊人教版必修 運(yùn)用乘法原理解決問題時(shí)，首先要搞清完成的是怎樣的“一件事”，其次要正確地決定按什么來分步、分為哪幾步，然后為每一步的方法.只有把這件事的每一步都完成，這件事才能算完成.以下例題主要對(duì)問題中描述的是怎樣“一件事”及如何分步進(jìn)行分析，以便于合理正確地運(yùn)用乘法原理解決問題. ［例1］（1）4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每人報(bào)一項(xiàng)，共有多少種報(bào)名方法？ （2）4名同學(xué)爭奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？ 分析：（1）要完成的是“4名同學(xué)每人從三個(gè)項(xiàng)目中選一項(xiàng)報(bào)名”這件事，因?yàn)槊咳吮貓?bào)一項(xiàng)，四人都報(bào)完才算完成，于是按人分步，且分為四步，又每人可在三項(xiàng)中選一項(xiàng)，選法為3種，所以共有3３３３=81種報(bào)名方法. （2）完成的是“三個(gè)項(xiàng)目冠軍的獲取”這件事，因?yàn)槊宽?xiàng)冠軍只能有一人獲得，三項(xiàng)冠軍都有得主，這件事才算完成，于是應(yīng)以“確定三項(xiàng)冠軍得主”為線索進(jìn)行分步.而每項(xiàng)冠軍是四人中的某一人，有4種可能情況，于是共有4４４=43=64種可能的情況. 答案：(1)81;(2)64. ［例2］乘積（a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展開后共有多少項(xiàng)？ 分析：因?yàn)檎归_后的每一項(xiàng)為第一個(gè)括號(hào)中的一個(gè)，第二個(gè)括號(hào)中的一個(gè)與第三個(gè)括號(hào)中的一個(gè)的乘積，所以應(yīng)分三步：m1=3,m2=4,m3=5,于是展開后共有m1m2m3=3４５=60項(xiàng). 答案：60項(xiàng) ［例3］有4部車床，需加工3個(gè)不同的零件，其不同的安排方法有 A.34 B.43 C.A D.44 分析：事件為“加工3個(gè)零件”，每個(gè)零件都加工完這件事就算完成，應(yīng)以“每個(gè)零件”為分步標(biāo)準(zhǔn)，共3步，而每個(gè)零件能在四部機(jī)床中的任一臺(tái)上加工，所以有4種方法， 于是安排方法有4４４=43=64種. 答案：B ［例4］5名同學(xué)去聽同時(shí)進(jìn)行的4個(gè)課外知識(shí)講座，每個(gè)同學(xué)可自由選擇，則不同的選擇種數(shù)是 A.54 B.45 C.5４３２ D. 分析：因?yàn)?名同學(xué)都去聽講座，這件事才能完成，所以應(yīng)以同學(xué)進(jìn)行分步，又因?yàn)橹v座是同時(shí)進(jìn)行的，每個(gè)同學(xué)只能選擇其中一個(gè)講座來聽，于是有4種選擇. 當(dāng)完成時(shí)共有4４４４４=45種不同選法. 答案：B ［例5］集合M={1，2，3}的子集共有 A.8 B.7 C.6 D.5 分析：此題事件為：從集合M中選取部分元素組成子集，因此就以元素為對(duì)象進(jìn)行分步.而M中每個(gè)元素有選中與不選兩種情況，于是子集的個(gè)數(shù)應(yīng)為22２=23=8個(gè). 答案：A 說明：此題可推廣到有n個(gè)元素的集合M，其子集個(gè)數(shù)為2n. ［例6］設(shè)集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},則從A到B的所有不同映射的個(gè)數(shù)是 A.81 B.64 C.12 D.以上都不正確 分析：因映射為從A到B，所以A中每一個(gè)元素在B中應(yīng)有一元素與之對(duì)應(yīng)，也就是A中所有元素在B種都有象，因此應(yīng)按A中元素分為4步，而對(duì)于A中每一元素，可與B中任一元素對(duì)應(yīng)，于是不同對(duì)應(yīng)個(gè)數(shù)應(yīng)為3３３３=81. 答案：A ●備課資料 一、基本原理在高考中的體現(xiàn) ［例1］（xx年高考）某賽季足球比賽的計(jì)分規(guī)則是：勝一場，得3分；平一場，得1分；負(fù)一場，得0分.一球隊(duì)打完15場，積33分.若不考慮順序，該隊(duì)勝、負(fù)、平的情況共有________種. A.5 B.4 C.3 D.6 分析：此題運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理. 勝 負(fù) 平 積分 11 4 0 33 10 2 3 30+3 9 0 6 27+6 由上述分類可得，該隊(duì)勝、負(fù)、平的情況共有3種，故選C. ［例2］（xx年高考）如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相連.連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間為可以通過的最大信息量.現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時(shí)傳遞，則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量是 A.20 B.24 C.26 D.19 分析：網(wǎng)絡(luò)中，信息的傳輸要通過結(jié)點(diǎn)和網(wǎng)線，在單位時(shí)間內(nèi)，所能傳輸?shù)男畔⒘?，受其容量和流量的制約.解答本題要抓住結(jié)點(diǎn)的分流（或合流作用），以及網(wǎng)絡(luò)支路的信息流量. 解法一：依題意，每個(gè)信息由A傳遞到B都要經(jīng)過兩個(gè)中間結(jié)點(diǎn)，由網(wǎng)絡(luò)圖可知： 由A送出的信息量最大值為12+12=24. 但經(jīng)過第一個(gè)結(jié)點(diǎn)分流時(shí)，能通過的信息量最多為（5+6）+12=23， 再經(jīng)過第二個(gè)結(jié)點(diǎn)分流到達(dá)B的信息量最多只能是3+4+6+6=19. 故所求最大信息量為19. 解法二：由結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞的信息，可由不同的4條支路通過，依所設(shè)網(wǎng)絡(luò)圖，由上至下四條支路所能傳遞的最大信息量依次是3，4，6，6，由于滿足3+4≤12,6+6≤12, 因此，雖然由A出發(fā)時(shí)，開始只有2個(gè)支路，也不妨礙信息的通過，所以由A到B，在單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量是3+4+6+6=19. 答案：D ［例3］（xx年高考題）某電腦用戶計(jì)劃使用不超過500元的資金購買單價(jià)分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共有________種. A.5 B.6 C.7 D.8 分析：本題主要考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決簡單應(yīng)用問題的能力，問題的背景是購買時(shí)額定資金的分配方式，要求在處理問題時(shí)懂得合理的科學(xué)分類，并準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)數(shù)，不重 不漏. 解法一：將購買x件軟件與y件磁盤所需資金列寫成下表（表中的金額以不大于500元為限，且x≥3,y≥2） x y 3 4 5 6 2 320 380 440 500 3 390 450 4 460 由上表可知不同的選購方式為7種. 解法二：設(shè)所購買的軟件數(shù)為x，磁盤數(shù)為y，依題意可知：x,y都是整數(shù)，且應(yīng)滿足下列各式： 問題轉(zhuǎn)化為求該不等式組的整數(shù)解組個(gè)數(shù). 不等式組等價(jià)于 當(dāng)y=2時(shí)，得3≤x≤6, 所以x的值為3、4、5或6; 當(dāng)y=3時(shí)，得3≤x≤4; 所以x為3、4； 當(dāng)y=4時(shí)，得3≤x≤3. 所以x=3. 當(dāng)y=5時(shí)，得3≤x≤,無解. 綜合得原方程組共有7組整數(shù)解. 答案：C ［例4］（xx年高考題）在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟.為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法有______種.（結(jié)果用數(shù)字作答） 分析：本題是一道排列組合的應(yīng)用題，主要考查基本原理的靈活運(yùn)用以及基本的計(jì)數(shù) 技能. 解法一：用表示種上作物的地壟，○表示沒有種上作物的地壟，則合乎題意的不同用地方式可畫圖如下： ○○○○○○○○ ○○○○○○○○ ○○○○○○○○ ○○○○○○○○ ○○○○○○○○ ○○○○○○○○ 共有6種，對(duì)于每種用地方式，地壟上所種的兩種作物可以互換位置，即有兩種不同的種植方式.應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理，共有62=12種不同選壟方法. 解法二：將10壟地順次編號(hào)為0，1，2，…，9，依題意，種植作物的2壟地的序號(hào)x和y應(yīng)滿足|x-y|≥7, 為計(jì)算方便，不妨設(shè)x＞y,即得x-y≥7, 式中x、y的取值范圍是數(shù)集{0，1，2，…，9}. 所以7≤y+7≤x≤9. 因此，y只能取值為0，1，2. 當(dāng)y=0時(shí)，7≤x≤9, 即x只能取7，8，9； 當(dāng)y=1時(shí)，8≤x≤9, 即x只能取8，9; 當(dāng)y=2時(shí)，9≤x≤9, 即x只能取值9. 所以，不等式的解共6組，每一組解（x,y)對(duì)應(yīng)著一種取壟方式，而每一種取壟方式種上不同兩種作物的方法共有2種，故應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理得不同的選壟方法數(shù)為62=12種. 解法三：轉(zhuǎn)化插空法. 把空的6壟地看作一個(gè)整體，A、B兩種作物可在其余4壟地上種植，共有如下6種情形：A種1壟，B種2，3，4壟；A種2壟，B種3，4壟；A種3壟，B種4壟.同理B與A位置可交換，再將6壟空地插入，一種插法. 故不同取壟方法為62=12種. 答案：12 二、參考練習(xí) 1.自然數(shù)2520有多少個(gè)正約數(shù)? 分析：先考慮2520的分解. ∵2520=2332５７, 分四步完成： 第一步：取20,21,22,23有4種； 第二步：取30,31,32有3種； 第三步：取50,51有2種； 第四步：取70,71有2種. 由分步計(jì)數(shù)原理，共有4３２２=48個(gè)正約數(shù). 2.從1，2，3，4，7，9中任取不相同的兩個(gè)數(shù)，分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，能得到多少個(gè)不同的對(duì)數(shù)值？ 分析：注意到1不能為底數(shù)，底數(shù)為1的對(duì)數(shù)為0，以2，3，4，7，9中任取兩個(gè)不同數(shù)為真數(shù)、底數(shù)，可有54個(gè)值，但log23=log49,log24=log39,log32=log94,log42=log93, 所以不同對(duì)數(shù)值共有54-4+1=17(個(gè)）. 答案：17個(gè).