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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.1.2 函數(shù)的極值教案 北師大選修1-1 一、復(fù)習(xí)引入： 1. 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： ；；；；； ；； 2.法則1 　 法則2 , 法則3 3. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：設(shè)函數(shù)y=f(x) 在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個區(qū)間內(nèi)>0，那么函數(shù)y=f(x) 在為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；如果在這個區(qū)間內(nèi)<0，那么函數(shù)y=f(x) 在為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù) 4.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：①求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x). ②令f′(x)＞0解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間 二、講解新課： 1.極大值： 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點都有f(x)＜f(x0)，就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值，記作y極大值=f(x0)，x0是極大值點 2.極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)＞f(x0).就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作y極小值=f(x0)，x0是極小值點 3.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值請注意以下幾點： （?。O值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小 （ⅱ）函數(shù)的極值不是唯一的即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個 （ⅲ）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點，是極小值點，而> （ⅳ）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點 4. 判別f(x0)是極大、極小值的方法: 若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則是的極小值點，是極小值 5. 求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟: (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù) (2)求方程=0的根 (3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么f(x)在這個根處無極值 三、講解范例： 例1求y=x3－4x+的極值 解：y′=(x3－4x+)′=x2－4=(x+2)(x－2) 令y′=0，解得x1=－2，x2=2 當(dāng)x變化時，y′，y的變化情況如下表 -2 (-2,2) 2 + 0 － 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ ∴當(dāng)x=－2時，y有極大值且y極大值=當(dāng)x=2時，y有極小值且y極小值=－5 例2求y=(x2－1)3+1的極值 解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1 當(dāng)x變化時，y′，y的變化情況如下表 -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 － 0 － 0 + 0 + ↘ 無極值 ↘ 極小值0 ↗ 無極值 ↗ ∴當(dāng)x=0時，y有極小值且y極小值=0 求極值的具體步驟：第一，求導(dǎo)數(shù).第二，令=0求方程的根，第三，列表，檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根處取得極小值，如果左右都是正，或者左右都是負(fù)，那么f(x)在這根處無極值. 如果函數(shù)在某些點處連續(xù)但不可導(dǎo)，也需要考慮這些點是否是極值點 四、課堂練習(xí)： 1．求下列函數(shù)的極值. (1)y=x2－7x+6 (2)y=x3－27x (1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7令y′=0，解得x=. 當(dāng)x變化時，y′，y的變化情況如下表. － 0 + ↘ 極小值 ↗ ∴當(dāng)x=時，y有極小值，且y極小值=－ (2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3)令y′=0，解得x1=－3，x2=3. 當(dāng)x變化時，y′，y的變化情況如下表 -3 (-3,3) 3 + 0 － 0 + ↗ 極大值54 ↘ 極小值-54 ↗ ∴當(dāng)x=－3時，y有極大值，且y極大值=54當(dāng)x=3時，y有極小值，且y極小值=－54 五、小結(jié) ：函數(shù)的極大、極小值的定義以及判別方法.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的三個步驟.還有要弄清函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間而言的，在整個定義區(qū)間可能有多個極值，且要在這點處連續(xù).可導(dǎo)函數(shù)極值點的導(dǎo)數(shù)為0，但導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是極值點，要看這點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)是否異號.函數(shù)的不可導(dǎo)點可能是極值點.